异路同归构造函数证明不等式

<正>近年的高三模拟试题中,经常出现含有两个变量的不等式证明问题.对这类问题,解决的方法之一是分析题目要求,适当变形,构造出一元函数关系并恰当地运用函数的单调性.下面以涉及导数的几道不等式题目进行分析,供师生参考.例1已知函数f(x)=ln x-ax2+(2-a)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a>0,证明:当0相似文献   

浅议切线分隔处理含参不等式——以2017年全国卷导数压轴题为例

<正>深入研究2017年全国卷导数压轴题中的不等式求参问题,对比常规解题方法,借切线分隔处理含参不等式,解答更显简洁与灵动.题1(2017年全国高考题)已知函数f(x)=ax~2-ax-xln x,且f(x)≥0.(1)求a;(2)略.常规解答(1)f(x)的定义域为(0,+∞).设g(x)=ax-a-ln x,则f(x)=xg(x),f(x)≥0等价于g(x)≥0.     

对2017年新课标Ⅱ文科第21题的解法探究

<正>2017年高考新课标Ⅱ文科第21题,题目虽不新颖,但是内涵丰富,引起了笔者的深入探索和思考.题目如下:设函数f(x)=(1-x²)e2)e^x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.1试题分析本题属于传统题,考查了函数的单调性和恒成立问题.以含参数不等式问题为载体,既考查学生的分类讨论思想、等价转化思想、数形结合思想和函数     

一道绝对值不等式试题的多视角探究

<正>以函数为背景的绝对值不等式的求解或在含绝对值的不等式成立背景下求参数的取值范围问题是高考的重点题型.本文以2020年一道全国高考试题为例,多视角探究这类问题的解法.一、试题呈现试题已知函数f(x)=|x-a²|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.二、解法探究1.第(1)问的思路分析与解答分析1 将a=2代入化简函数,利用零点划分区间讨论求解不等式.     

例析含参数的一元二次不等式的求解方法

<正>一元二次不等式在高中数学尤为重要。在解含参数的不等式时,由于参数的不确定性,常常要依据参数的取值范围,对参数进行全面地分类讨论。下面举例说明含参一元二次不等式的解法。例1解关于x的不等式:ax²-(2+2a)x+4>0(a∈R)。解析:当a=0时,原不等式可化为x-2<0,即x<2。当a<0时,2/a<0<2,可得2/a相似文献   

函数视角下的不等式成立问题探析

<正>一、关于存在性问题存在性不等式中变量的取值范围问题:若函数f(x)具有最小值,若存在x∈D,使得f(x)≤a成立,则只须当x∈D时,f(x)min≤a;若函数f(x)具有最大值,若存在x∈D,使得f(x)≥a成立,则只须当x∈D时,f(x)_(max)≥a。这类问题也可归结为函数的最值问题,利用函数的单调性时,导数仍     

一道高考函数题的解法探究

<正>本文以2015年江苏高考数学卷第19题为例,对高考函数的常考问题进行探究,以总结出解决这类问题的有效思路与解法.一、试题呈现题目已知函数f(x)=x³+ax3+ax²+b(a,b∈R).(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取     

导数的十大综合应用

一、导数与函数单调性相关问题例1已知a!R,求函数f(x)=x2eax的单调区间.解析函数f(x)的导函数f′(x)=2xeax ax2eax=(2x ax2)eax.(1)当a=0时,若x<0,则f′(x)<0;若x>0,则f′(x)>0.故当a=0时,函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0, ∞)内为增函数.(2)当a>0时,由2x ax2>0,解得     

如何利用导数研究函数的单调性

<正>知识点:导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法:设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f'(x)>0,则y=f(x)在该区间为增函数;如果f'(x)<0,则y=f(x)在该区间为减函数。(2)函数单调性问题包括:(1)求函数的单调区间,常常通过求导,转化为解方程或不等式,常用到分类讨论思想;(2)利用单调性证明不等式或比较大小,常用构造函数法。一、求解含参函数的单调区间     

导数与含参数的最值问题

<正>求函数的最值问题是一种常见题型,特别是含参数的最值问题,这类问题又主要包括函数关系式中含参数和区间端点含参数两种情况。本文就重点谈谈用导数来解决这类最值问题,解题步骤如下:(1)求函数的导数f′(x);(2)求方程f′(x)=0的全部实根,同时,根据参数的范围,判断f′(x)=0的根是否在区间[a,b]内;(3)根据参数的取值范围,确定函数的极大值和极小值;(4)将函数的极值与端点处的函数值进行比较,求出函数的     

分类讨论思想在求二次函数最值中的应用

<正>一、讨论二次项的系数例1已知x²-x≤0,a>0,求函数f(x)=-x2+2ax的最值。解:由x2-x≤0,a>0,求函数f(x)=-x2+2ax的最值。解:由x²-x≤0得0≤x≤1。f(x)的对称轴为x=a,f(x)=-(x-a)2-x≤0得0≤x≤1。f(x)的对称轴为x=a,f(x)=-(x-a)²+a2+a²。1(1)02,当x=1时,f(x)_(min)=2a-1。     

一类过定点的函数族的试题命制与分析

<正>1试题内容已知函数f(x)=x²-x,g(x)=e2-x,g(x)=e^x-ax-1.(Ⅰ)讨论函数g(x)的单调性;(Ⅱ)当x>0时,f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.2考查目标本小题主要考查函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等.3命制过程     

导数在解题中的综合应用

<正>导数处理函数综上所述合问题的"必备工具",主要可以用来判断函数的单调性、求函数的极值、最值,以及利用导数的几何意义来求切线方程,本文就来谈谈利用导数解决一些综合性问题。例1已知函数f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)x+a(x-1)²有两个零点,求实数a的取值范围。     

聚焦以拐点处切线为背景的高考压轴题

<正>1考情新动向题1(2018年高考全国3卷理科)已知函数f(x)=2(+x+ax²)ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-10时,f(x)>0;⑵略.命题组给出的标准答案如下:(1)当a=0时,f(x)=2(+x)ln(1+x)-2x,f′(x)=ln(1+x)-x/1+x.设函数g(x)=f′(x)=ln(1     

一道高考题思维受阻原因分析

<正>题目(2016年全国高考题)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.本题问题(1)比较简单,问题(2)难度较大,是常见的不等式恒成立问题.考后,与学生交谈时发现多数学生都知道问题(2)的两种常规解法:分类讨论法与分离参数法,且使用这两种方法的学生各占40%左右.使用分     

例析导数在研究函数中的应用

<正>导数在研究函数性质中有哪些应用呢?下面结合具体的实例进行分析。一、利用导数研究函数的单调性例1设函数f(x)=aln x+x-1/x+1,其中a为常数。(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性。     

一道导数应用试题的解法赏析

<正>1试题已知函数f(x)=ln(x+1)-ax,a∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x>1时,f(x-1)≤lnx/x+1恒成立,求a的取值范围.本题是2016年11月临沂市高三期中试题理科数学的最后一题,是全市统一命题、统一阅卷的检测考试,笔者全程参与了命题、阅卷、统计、分析工作,有颇多的震撼和思考.本题为导数基本应用的常规题目,第(Ⅰ)问利用导数求单调区间,方法比较单一,只是在解不等式的过程中需要对a分类讨论;第     

找分界点思想在一类导数题中的应用

<正>寻找分界点是解决分类讨论问题的关键所在.对于找分界点,就是先对所需分类的参数所代表的数的分界点,都先求出来,然后逐一分类写出.笔者通过几道近几年的高考题和竞赛题为例,谈谈它的应用.例1(2014年新课标Ⅱ卷理21)已知函数f(x)=e^x-ex-e^(-x)-2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)     

多视角探究一道模拟导数题的解法

<正>一、题目呈现(2022年山东数学模拟试题)已知函数f(x)=ae^x-1-lnx+lna,(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的范围．二、总体分析本题第(1)问考查导数的几何意义,属于常规题．第(2)问则是利用导数研究不等式恒成立问题,求参数的范围．此问可以多视角解答,涉及隐零点、同构法、切线放缩、分类讨论、反函数法等多种策略．特分享于此,以飨读者．     

导数中的“摸着石头过河”——以2020山东新高考数学导数压轴题为例

一、问题的提出例1(2020·新全国Ⅰ山东)已知函数f(x)=ae x-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.试题的难点在第(2)问,这是一道“已知含参不等式恒成立进而求参数范围”的类型题,是函数导数压轴题中的热点问题,其通法是分离参数法或分类讨论法.但该题的参数无法分离,而利用分类讨论法,其如何分类也是个难点.虽然还可以利用同构思想来做等价变形,但难度也较大,不容易想到.故而不少学生在做简单尝试之后就会凭经验果断放弃,因此笔者想借此机会谈谈另外一种方法,即所谓“摸着石头过河”,同时不惴肤浅,付诸笔端,愿各位老师指正.