不等式x^2＋y^2≥2xy的一个推广不等式

不等式x^2＋y^2≥2xy是一个二元对称不等式,本文从二元对称方面推广这个不等式,得到不等式x^2＋y^2≥2xy的推广不等式：x^m-by^m＋b＋x^m＋by^m-b≥x^m-ay^m＋a＋x^m＋ay^m-a（x,y∈R^＋,0≤a≤b,m∈R）.     

条件为ab＋bc＋ca=1的一类不等式的证明

当遇到含有条件如ab＋bc＋ca=1的不等式时，如果不等式的项中含有类似于a^2＋1的项，则可以尝试用ab＋bc＋ca去代替其中的1，然后分解因式，有利于进一步分析问题、解决问题．     

妙用不等式e^x≥1＋x解题

e^x≥1＋x是教材上的一个不等式,这个不等式最大的优点用一次函数代替指数函数．应用此不等式及其变形可以解答较多的不等式的证明问题,下面通过几个例子说明．     

由不等式证明不等式

由不等式证明不等式陕西省永寿县中学安振平常见的条件不等式证明问题,一般题设条件是等式,而条件是不等式的不等式证明问题,其题型较为少见,证明也较难入手,本文以证法归类略做探讨．一、放缩法例１若ａ２＋ｂ２＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＜０,则ａ２＋ｂ２＜ｃ２．（第２...     

浅谈不等式ex≥x＋1的应用

在教学中我们经常会碰到像ex≥x＋1这样的不等式。经深入探究会发现此不等式应用非常广泛。下面本人就此不等式谈谈一些粗浅的看法。     

与P＋3Q≥R等价的三角形不等式链

笔者曾建立“Ｐ—Ｑ—Ｒ”法，借以证明研究一类不等式，尤其是研究三角形不等式［１］［２］，张瑞蓉老师在研究该方法的基础上，得到了如下定理［３］： 本文提出与Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ等价的四个三角形不等式链：（Ⅱ）、（Ⅲ）、（Ⅳ）、（Ⅳ）． 定理１ａ，ｂ．ｃ为△ＡＢＣ三边，则注意到（ｂ＋ｃ—ａ）＝Ｐ—２Ｑ＋Ｒ，此时，定理 １不等式链（Ⅰ），又可写成为（Ⅱ）： 定理 ２在△ＡＢＣ中，有 ３（－Ｐ—２Ｑ＋Ｒ）≤－Ｐ＋Ｒ ≤（－ Ｐ＋ ６ Ｑ＋ Ｒ） ≤３Ｑ＜Ｐ＋６Ｑ—Ｒ，（Ⅱ） 显然，（Ⅱ）包含的 １０个不等式均可化为 Ｐ＋３Ｑ …     

一个深刻的几何不等式猜想

笔者在专著《数学奥林匹克不等式研究》书中第七章“其他不等式证明例子”（第173页）介绍了以下不等式及其证明：在以上不等式中,设x,y,z则有x/√x＋y＋y/√y＋z＋z＋√z＋x≤5/4√x＋y＋z.在以上不等式中,若令x=a^2＋b^2-c^2,y=a^2-b^2＋c^2,z=-a^2＋b^2＋c^2,a、b、c为非钝角△ABC中的三边长,则上述不等式又等价于下面几何不等式：     

不等式a^2＋b^2/2≥{a＋b/2}^2的加强

a^2＋b^2/2≥{a＋b/2}^2（a,b∈R,当且仅当a=b时等号成立）是中学数学常用的不等式之一,本文将给出它的一个加强不等式．     

利用sin2θ＋cos2θ=1证明具有条件a＋b=1的几个不等式

中学数学中一些不等式的证明常常有条件a＋b=1,这类不等式若利用sin2θ＋cos2θ=1来作替换,即令a=sin2θ＋,b=cos2θ＋,然后去证明就大大简化了证明的过程．下面给出几道例题,供大家参考．     

再谈由不等式证明不等式的方法

安振平先生就条件是不等式的不等式如何证明在文［１］中进行了归类．其实,条件是不等式的不等式证明方法较多,本文再举例给出几种典型的证法．例１（文［１］中例８,数形结合法）已知ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋１≤０,求证：－３ｘ≤ｙ≤３ｘ．证明：∵ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋１...     

一个应用广泛的不等式

设ｘ、ｙ、ｚ是任意实数,Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π,则ｘ２＋ｙ２＋ｚ２≥２ｘｙｃｏｓＣ＋２ｙｚｃｏｓＡ＋２ｚｘｃｏｓＢ．（＊）证　注意到Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π,将不等式（＊）移项、配方、整理,该不等式等价于（ｘ－ｙｃｏｓＣ－ｚｃｏｓＢ）２＋（ｙｓｉｎＣ－ｚｓｉｎＢ）２≥０．上面不等式显然成立,故不等式（＊）成立．不等式（＊）揭示了任意三个实数ｘ、ｙ、ｚ与满足条件Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π的三个角Ａ、Ｂ、Ｃ的余弦值之间的一个重要关系．在解题中灵活地运用这个不等式,可使有些证明难度较大的不等式获得简洁、巧妙的证明．例１　在△ＡＢＣ…     

浅谈与哥西-施瓦兹不等式有关的一些不等式

哥西一施瓦兹不等式（ε，η）2≤（ε，ε）（ηη）等号成立的克要条件是e与0线性相关，是欧氏空间中重要的不等式。著名的哥西不等式（albl＋a。b：＋…＋a．久）‘＜（aZ＋aZ＋…＋as）（厨十bZ＋…十件）（2）与施瓦兹不等式形式上似乎无共同之处，但它们在欧氏空间的不等式（1）下统一了起来。本文的目的在于给出（2）与（3）的其他一些证明，它们之间的联系，（2）的极限形式及相关的更一般的不等式。一、美于哥西不等式（－）公式的证明哥西不等式在中学数学中已有详尽的证明。现用高等数学的代数方法和分析方法再给出证明。证明1…     

不等式的证明

关于不等式的证明,不少学生感到无从下手,其原因是证明思路没有一定的程序可循。各种类型不等式的证明,虽然涉及的范围广泛,技巧多样,方法灵活,但常用的有下面几种方法。一、比较法这是证明不等式的基本方法。如要证A＞B,可证A－B＞0或B－A＜0——求差比较法;如A＞0．B＞0．要证A＞B．可证＞1或求商比较法。例1、求证：a2＋b2＋c2＋4＞ab+3b+2c二、综合法利用题没和某些已知不等式作为基础,运用不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的思路是“由因导果”。例2（见上倒入I小口H：“．’a“＋b“＋c“＋4＝ta“＋＿r）＋〕t…     

一些特殊不等式的巧用

在不等式证明中,如果多留意,多反思,就可以发现一些课本上没有作为公式,但却十分有用的不等式,如a/b〈（a＋m）/（b＋m）,（b〉a〉0,m〉0）（a＋b）/2≤√（a^2＋b^2）/2,a^2＋b^2＋c^2≥ab＋bc＋ca等等,在证明某些不等式时,利用这些不等式可以简化思路、缩短解题过程。     

用类比法拓展推广不等式

我们对不等式a/b＋c＋b/a＋c＋c/a＋b≥3/2…………①（a、b、c∈R^＋）已经非常熟悉了，本文用类比的办法将此不等式从元数和次数上分别进行了开拓，得到了更一般的结论．     

利用uvw变换证明一类不等式问题

在不等式问题中,经常遇到三元对称型不等式或轮换型不等式．这类不等式形式优美,结构对称,可尝试使用uvw变换解证,即令a＋b＋c=3u,ab＋bc＋ca=3v^2,abc=w^3,将不等式转化为含u、v、w的不等式问题解决．在解题过程中,通过uvw变换可简化问题,同时建立了u、v、w三者之间的关系,为解题增加条件,也为解决问题带来便利．     

浅谈不等式与不等式组解题

研究一元一次不等式（组）的解集的概念,并在不等式性质的基础上,进一步研究一元一次不等式（组）的解法以及在数轴上表示解方法.其中利用不等式解集确定有关特殊解的问题,利用不等式求一些字母的值或范围的问题,是中考中常见的题型.一、一元一次不等式及其解集1.不等式分为绝对不等式和条件不等式两种.绝对不等式即恒成立的不等式,如x~2≥0,3x~4＋1〉0等;条件不等式即在一定条件下才成立的不等式,如2x-6〈8,     

不等式｜x-a｜＋｜x-b｜〉c（〈c）的简解

一、定理1 （1）若｜a-b｜〉c,则不等式｜x-a｜＋｜x-b｜〉c的解集为R。 （2）若｜a-b｜≤c,则不等式｜x-a｜＋｜x-b｜〉c等价于｜（x-a）＋（x-b）｜〉c,其解集为{x｜x〈1/2（a＋b-c）或x〉1/2（a＋b＋c）}。[第一段]     

数列型不等式的证明

在不等式的证明中,有一类不等式很值得我们注意,这类不等式就是通常称作数列型不等式．那什么是数列型不等式呢？我们把数列{an}中：a1＋a2＋…＋an〈f（n）（或〉）,（其中f（n）为n的代数式）称为数列型不等式．这类题目在证明时。要依据题设和题断的特点、内在联系,才能选择适当的变形得证明的方法,它对解题人的恒等变形能力要求很高．观察能力。     

用柯西不等式证明不等式

用柯西不等式证明不等式□天水二师刘仕关于不等式的证明,现行中学数学教材介绍了最基本的方法．本文介绍用柯西不等式来证明一些不等式的方法．定理：（柯西不等式）设ａ１,ａ２,ａ３,,…,ａｎ,ｂ１,ｂ２,ｂ３,…,ｂｎ是两组实数,则有不等式：（ａ１ｂ１＋ａ...