关于五个积分极限定理的等价性

对勒贝格积分极限定理进行了进一步探讨,得到列维定理、勒贝格逐项积分定理、法都定理、勒贝格控制收敛定理和勒贝格一致有界定理这五个定理是等价的.     

积分理论的收敛定理

本文是东南亚地区数学联合会主席、国立新加坡大学数学系李秉彝教授85年9月的一份研究报告。这类研究资料在国内极少。现翻译成中文,以供参阅。 (一)概述我们假定读者已经熟悉勒贝格积分(简记为L积分)。在《实变函数》中,L积分的控制收敛定理叙述如下(定理1):     

控制收敛定理的一个处理方法

首先证明一个引理,然后利用该引理及几乎处处收敛型控制收敛定理证明依测度收敛型控制收敛定理。这样结合利用Fatou引理可较简捷证明几乎处处收敛型控制收敛定理的特点,从而为课堂上处理控制收敛定理提供了较理想的处理方法。并借助一个猜想给出了一个由依测度收敛型控制收敛定理直接证明几乎处处收敛型控制收敛定理的方法。     

控制收敛定理的一个处理方法

首先证明一个引理,然后利用该引理及“几乎处处收敛型”控制收敛定理证明“依测度收敛型”控制收敛定理。这样结合利用Fatou引理可较简捷证明“几乎处处收敛型”控制收敛定理的特点,从而为课堂上处理控制收敛定理提供了较理想的处理方法。并借助一个猜想给出了一个由“依测度收敛型”控制收敛定理直接证明“几乎处处收敛型”控制收敛定理的方法。     

关于Lebesgue积分中的极限定理

本文首先给出了控制收敛定理的一个完全独立和更为直接的证明,同时提供了积分与极限可交换次序的一个充要条件,然后利用控制收敛定理来证明Levi渐升列定理,最后还讨论了Levi定理、Fatou引理和Lebesgue控制收敛定理之间的等价关系。     

一种新的 q概率分布及其应用

引入两个参量 a和b ,在 q移位阶乘和Al/Salam/Carlitz积分的基础上,介绍了一种新的 q概率分布。这种 q概率分布推广了Wang提出的概率分布。在应用中,可以简化所构造的随机变量数列,通过构造一维随机变量数列,应用勒贝格控制收敛定理和Tannery定理,直接证明q二项式定理和q/Guass公式。     

Lebesgue控制收敛定理的证明及应用

通过引入Lebesgue积分与Riemann积分的关系,仔细比较两个积分的优越性,进而详细地阐述了Lebesgue控制收敛定理的证明及其应用.首先给出了Lebesgue控制收敛定理并对其进行证明,其次再举例说明其基本的应用,最后,指出该定理的不足之处并给出条件稍宽松的定理,从而可为解题带来便利,为理解并掌握Lebesgue控制收敛定理及应用提供指导.     

关于有界收敛定理的一个注记

有界收敛定理是实变函数论中的一个重要定理,在很多实变函数论教材中,它常作为Lebesgue控制收敛定理的推论出现.我们利用叶果洛夫定理给出有界收敛定理的一个新的证明,并对有界收敛定理的条件进行了讨论.     

实分析三大定理的等价性

Levi定理、Fatou定理及Lebesgue控制收敛定理是实分析中的三大定理。本文拟证明,这三个定理是等价的。     

关于一个幂级数收敛定理的讨论

文[1]中有一个关于幂级数收敛的定理1,本文就此定理及其证明作如下讨论.定理1 (i)若级数sum from n=0 to ∞(a_nx~n(2))在x_0≠0收敛,则对满足|x|<|x_0|的任何x值级数(2)都收敛,且一致收敛.(ii)(略).证(略).     

复合函数可测的一个充分条件

本文证明了:若g、f可测,且对任何勒贝格零测度集N,有f~(-1)(N)勒贝格可测,则f(g)可测。     

L上的正规测度的唯一性

本文将证明勒贝格可测集类L上的测度可以不唯一，但L上的正规测度却是唯一的。定义：设μ是勒贝格可测集类L的广义实函数，如果μ满足下列条件：（5）μ对刚体运动具有不变性。则称μ为L上的一个正规测度。如果μ满足（1）、（2）、（3）则称μ为一个测度。定理1：L上的测度不唯一。证明：α∈[0，1]，令μ=αm，其中m为勒贝格测度。则易验证μ是L上的测度且对刚体运动具有不变性。证明略。定理2：若μ为L上的一个正规测度，则μ有下列性质：即以有理数为端点的区间的μ测度等于此区间的长度。由定理2的6°可得：定理3：若μ为L上的正规…     

Mcshane积分的LSRS收敛定理

利用函数的局部小黎曼和性质(LSRS)和函数列的一致局部小黎曼和性质(ULSRS), 建立了Mcshane积分的局部小黎曼和收敛定理(定理1)．然后,通过定理2证明了Lebesgue积分的控制收敛定理为该定理的一个推论．     

勒贝格积分与测度函数的黎曼积分

本文给出测度函数的定义,并得到如下结果:可测函数f(x)在可测集E上的勒贝格积分等于f(x)在E上的测度函数的黎曼积分。从而给出了证明勒贝格积分性质的一种新方法。     

BANACH空间中集值测量度的勒贝格分解

本文主要是在Ｂａｎａｃｈ空间中建立了集值测度的勒贝格分解定理，把文［２］在有限维向量空间中集值测度的勒贝格分定理，推广了到无穷维空间。     

任意项级数敛散性判别法

定理:任意项级数(1)收敛<==>交错级数sum from n=1 to ∞((-1)~(n+1)U_n)收敛。 证明:充分性 若sum from n=1 to ∞((-1)~(n+1)U_n)收敛,由收敛必要性和柯西收敛准则有 即当 当,对任意自然数P 有 取 对任意自然数P,设是中的一项,     

平均收敛定理

本文从高中数学的一些基本概念出发,结合数学分析中极限的概念,引入算术平均收敛定理、几何平均收敛定理、调和平均收敛定理和平方平均收敛定理,并给予了证明。     

一个可积性判别定理的改进

教材[1]给出了一个可积的充分必要条件(定理1),即关于和数收敛的柯西准则.应用此定理证明关于函数的可积性问题总觉得相当麻烦,我们对此定理作一些改进,得到了定理2.应用定理2证明关于函数的可积性问题比用定理1证明要简便些.     

浅析集合分析法在实变函数中的应用

集合分析法是使用集合运算的语言来描述函数列在可测集上的极限过程,是实变函数的主要分析方法之一,在叶果洛夫定理、黎斯定理、Lebesgue控制收敛定理等这些定理的证明中常常用到,通过三道典型的题目探讨该方法在实变函数中的应用.     

用区间套定理研究Abel收敛域的存在性与唯一性

关于幂级数sum from n=0 to ∞(a_nx~n)收敛域的存在性与唯一性问题一般教科书都未给出详细的证明,给出证明的版本利用了确界定理使初学者感到困难,本文构造出一个闭区间列,利用闭区间套定理证明了收敛域的唯一性。形如sum from n=0 to ∞(a_nx~n)=a_0 a_1x_1 a2x~2 a_3x~3 …a_nx~n ……的函数项级数称为幂级数,为了研究其收敛域问题,我们重述一面的重要定理。