数学教学拾零

一、析双曲线的极坐标方程 我们知道:极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)(极点位于一焦点上,极轴为从焦点背向顶点的射线,其中,e表示离心率,如图1所示)当e>1,ρ>0此方程表示双曲线的右支,如果允许ρ<0方程就表示整个双曲线。对此,初学者往往感到困惑不解,本文给以解析。     

双曲线及其渐近线的极坐标方程

在中学《平面解析几何》课本中,根据圆锥曲线的统一定义,得出了圆锥曲线的极坐标方程ρ=ep/(1-ecos)θ。同时指出了:~e>1时,方程只表示双曲线的右支,定点F是它的右焦点,定直线l是它的右准线,如果允许ρ<0,方程就表示整个双曲线。     

圆锥曲线统一直角坐标方程的应用

众所周知,圆锥曲线统一的极坐标方程为ρ=(eρ/1-ecosθ).但它只表示双曲线的右支,若要表示整个双曲线,必须允许ρ<0,不少学生在解题时往往忽略了这一点而致错,如     

解析一得

《平面解析几何》(必修)关于圆锥曲线统一的极坐标方程ρ=(epJ)/(1-ecosθ)的分类讨论中有这样一句话:“e>1时,方程只表示双曲线右支……如果允许ρ<0,方程就表示整个双曲线。” 对此教学参考书中也没有做任何解释或证明。若学生问:“为什么允许ρ<0,方程ρ=     

极坐标方程ρ=ep/1-ecosθ中顶点的极径的应用

圆锥曲线的极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)……(1)中,当01时,它表示有心的二次曲线(椭圆,或双曲线),如果极坐标方程(1)化成直角坐标方程是(x-m)~2/a~2±y~2/b~2=1……(2),下面给出极坐标方程(1)中顶点的极径ρ与直角坐标方程(2)中a、b、c之间既简单又便于记忆的转化公式。 [定理一] 在极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)中…(1) 当01)时,设椭圆长轴两端点(或双曲线或实轴两端点)的极坐标分别是(ρ_1,0)和(ρ_2,π),则:     

对三种圆锥曲线统一的极坐标方程ρ=ep/1-ecosθ的两点注记

《平面解析几何》(全一册)教材根据椭圆、双曲线、抛物线的统一定义推出了它们统一的极坐标方程,方程形式为ρ=ep/(1-ecosθ)当 0 < e<1时,方程表示椭圆,定点是它的左焦点,定直线是它的左准线;e=1时.方程     

关于方程ρ=ep/1-ecosθ的一些补充

部编高中数学课本第二册提到了圆锥曲线统一的极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ),并且指出:当e〈1时,方程表示椭圆;当e〉1时,方程表示双曲线;当e=1时,方程表示抛物线。至于由方程ρ=ep/(1-ecosθ)本身直接去求曲线的顶点、焦点、准线等问题,课本未予深入探讨。笔者认为,若能引导学生对此方程作进一步的研究,对于前后知识的沟通,是大有裨益的。本文拟就这个问题对方程     

极坐标系下的双曲线焦点弦问题探究

圆锥曲线统一的极坐标方程是ρ=ep/1-ecosθ一般情况下,对于椭圆和抛物线上的任一点A（ρ,θ）,ρ〉0表示A到极点的距离,θ为以极轴为始边按逆时针方向旋转的旋转角．而对于双曲线,若以右焦点为极点建立极坐标系,则右支上点的坐标与椭圆和抛物线意义相同,而左支上点的坐标将有所区别．     

便于使用的一组公式

根据圆锥曲线的统一极坐标方程，用极坐标来表示曲线性质的题型，如果采用将极坐标化为直角坐标，然后再由直角坐标求出极坐标的方法求解，将是非常麻烦的。如下题：如果圆锥曲线的极坐标方程是ρ=，那么它的焦点极坐标是：A（0，0）、（6、π），B（-3，0）、（3，0），C（0，0）、（3，0），D（0，0）、（6，0）。本文试就此推导一组公式，以便于师生的教与学。e为离心率，e=，p为焦点到准线的距离由此得到：l、焦点极坐标：（0，0）、（年半，。）。其中：当0＜e＜1肘，得椭圆左焦点问，0），右焦点（In，。）；当e＞回时，得双曲线左…     

圆锥曲线统一极坐标方程的补充解释

在高二《解析几何》教材3.5节圆锥曲线的统一定义中,多数学生在对第三种e>1的情形感到费解,在复习此节内容时,经常有学生提出:为何ρ>0,方程ρ=eρ/1-ecosθ只表示双曲线的右支,而允许ρ<0,方程ρ=eρ/1-ecosθ就表示整个双曲线呢?本文在此对教材的解释作一补充。     

关于圆锥曲线统一极坐标的探讨

论述了极坐标方程　中当ｅ＞１，ρ＜０时表示的点（ρ，θ）在双曲线的左支上，而这一点的另一坐标形式（）（）不满足该方程；当极轴方向与教材中相反时，三种圆锥曲线的统一的极坐标方程为　利用极坐标来解２０００年高考理工数学最后一题。     

关于方程ρ=ep/(1-ecosθ)的推广

现行高中数学教材介绍了圆锥曲线统一的极坐标方程ρ=ep/1-ecosθ,当01,表示极点在右焦点的双曲线. 那么,极点在其它焦点时,相应的极坐标方程又是怎样的呢? 为了解决这个问题,我们先将直角坐标与极坐标互化公式结合平移进行推广. 当极点在O′(a,b),极轴平行x轴正向,单位长统一时,如右图,在Rt△O′PM中,O′P=x-a,PM=y-b,O′M=p.∠MO′P=0 x-a=pcosθ,y-b=psinθ.①p~2-(x-a)~2 (y-b)~2,tgθ=(y-b)/x-a(x≠a) ②     

有关极坐标系双曲线方程的探讨

极坐标系中圆锥曲线的统一方程ρ=(ep)/(1-ecosθ),无论从方程的推求,方程的作图,或方程的应用来说,均以e>1,即双曲线的情况最复杂。原因在于当e≤1时,方程中ρ恒取正值,而当e>1时,ρ既可取正值也可取负值。本文就此作一点探讨。一、关于方程的推导《数学》课本第二册第179页引入了方程ρ=(ep)/(1-ecosθ),推导过程是在ρ>0的限制下进行的,这对e≤1时,是没有异议的,但对e>1时,却有进一步分析的必要。     

双曲线一般方程参数化的一种方法

六年制重点中学高中数学课本《解析几何》第166页第2题第3小题是:“把参数方程:(t参数,t≠0)化成普通方程,并说明表示什么曲线。”此题结论是:x~2/a~2-y~2/b~2=1在a>0,b>0,条件下它表示双曲线。由此题我们可得到双曲线的另一种参数方程。这里有一个问题,双曲线的这种参数方程如何推导?本文拟对这     

谈“求曲线的极坐标方程”的教学

求曲线的极坐标方程是《极坐标》的重点内容之一,教材安排在§4.5第一课(见解几课本P172)。教学这段内容,主要要使学生能根据已知条件求出简单曲线的极坐标方程。然而,由于学生习惯于在直角坐标系中求曲线方程,且求曲线的极坐标方程的过程中,变化较多,学生不易掌握,所以,它又是《极坐标》的难点内容。现将本人在实际教学中的一些做法介绍如下: 一、关于曲线极坐标方程的概念曲线的极坐标方程的概念是教学的首要问题。课本中这样叙述:“在极坐标系中,曲线可以用含有ρ、θ这两个变数的方程φ(ρ,θ)=0来表示,这种方程叫做曲线的极坐标方程.”——①,紧接着又指出:“由于在极坐你平面中,曲线上每一个点的坐标都有无穷多个,它们可能不全满足方程,但     

圆锥曲线极坐标方程的拓展及应用

<正>在人教版数学选修教材4-4"坐标系与参数方程"中,给出了圆锥曲线的极坐标方程■.众所周知,建立这一方程的前提是极轴和x轴的正半轴重合,且曲线为椭圆时,极点在椭圆的左焦点;曲线为双曲线时,极点为双曲线的右焦点;曲线为抛物线时,极点为抛物线的焦点(开口向右).对此,我们自然要问,如果改变极点的位置或极轴的方向,曲线的极坐标方程还会不会相同?如果不同,会怎么变化?本文通过探讨,得到极坐标方程都不会改变的如下拓展性结论.     

点的极坐标的多值性及极坐标的应用

在极坐标系里,平面上的点与其坐标之间的关系不是一一对应的,这是极坐标与直角坐标的根本区别,这种区别根源于点的极坐标的定义而产生的多值性(即同一点的极坐标不只一个)。利用具有这种特性的极坐标来研究某些问题(特别是旋转运动的轨迹)尤其方便,比直角坐标优越得多。本文着重讨论点的极坐标的多值性,并对极坐标的某些应用作初步探讨。一、点的极坐标的多值性。首先,若(ρ,θ)为任意有序实数对,则(ρ,θ)与(-ρ,θ π)都表示同一点的极坐标。 (1)当ρ>0时,以(ρ,θ)为坐标的点M可以唯一地确定:作射线OP,使∠XOP=θ,在OP上取点M,使|OM|=ρ;而-ρ<0,按“规则”([1]P175)确定以(-ρ,θ π)为坐标的点M'的位置:作射线     

关于极坐标和直角坐标的互化的一点注记

全日制十年制学校高中数学二册课本P181推导出极坐标和直角坐标的互化公式,即 x=ρcosθ,y=ρsinθ.(1) ρ~2=x~2+y~2,tgθ=y/x,(x≠0) (2) 教材接着指出:在一般情况下,ρ取正值,由tgθ确定θ角时,应根据点M所在的象限取最小正角。利用公式(1)、(2),可以把点的坐标或曲线的方程由直角坐标的化成极坐标的,或由极坐标的化成直角坐标的。课本强调在一般情况下,ρ取正值,这在练习与习题中绝大多数题都是奏效的,正因为这一点,不少人,甚至有些书刊都忽视在某些问题中,ρ必须取正、负值,或者只能取负值。例如,由人民教育出版社出版的“全日制十年制学校高中数学第二册教学参考书P218对课本P189习题二十三第12题所作答案是极坐标方程为ρ=2αsinθcosθ,即ρ=αsin2θ(1),     

巧用直线的参数方程与极坐标方程求距离

<正>我们知道,在直角坐标系中,过点P0(x0,y0)且倾斜角为α的直线l的参数方程为{x=x_0+tcosα,y=y_0+tsinα(t为参数),其中,|t|表示直线l上的任意点P(x,y)到定点P_0(x_0,y_0)的距离.在极坐标系中,过极点O且倾斜角为α的直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R),其中,ρ表示直线l上的任意点P(ρ,θ)到极点O的距离.作为高考选考内容之一的参数方程与极     

极坐标方程表示的曲线交点的求法

在极坐标系下,曲线C_i的方程记为 f_1(ρ,θ)=0(i=1,2). 一、交点坐标与方程组解的关系: 所谓方程j(ρ,θ)=0是曲线C的极坐标方程,即满足:①f(ρ,θ)=0的解对应的点都在曲线C上;②曲线C上任一点的极坐标(ρ,θ)都满足方程f(ρ,θ)=0.由于点的极