一道中考数学试题的奇思妙解

如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点。请用尺规作图法,在△ABC内,求作∠ADE,使∠ADE=∠B,DE交 AC于 E。(不要求写作法,保留作图痕迹)     

勃罗卡点的两个新性质

命题设点 P 是ΔABC 的一个勃罗卡点,满足∠PAC=∠PBA=∠PCB=θ,点 P′是ΔABC 所在平面上的任意一点,a、b、c 分别是ΔABC 中∠A、∠B、∠C的对边.则     

错在哪里

1.广西贺县黄田松树冈中学黄健有来稿(邮编;542807)题 在△ABC中,a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边,且∠C=2∠B,试证:C~2=b(a b).证明∵∠C=2∠B,∴∠A ∠B ∠C=∠A 3∠B=180°,∠A=∠180°-3∠B,∴sin∠=sin(180°-3∠B)=sin3∠B,从而有,∠A=3∠B.由此可得∠A=90°,∠B=30°,∠C=60“,∴a=2b.由勾股定理得 c~2=a~2-b~2=(a b)(a-b))=(a b)(2b—b)=b(a b).     

巧构全等三角形证题例说

1.巧构全等三角形证线段相等例 1.已知 ,如图 ,AB=DE,直线 AE、BD相关于点 O,∠ B与∠ D互补。　　求证 :AO=ED。证明 :过点 A作 AC∥ DE交 BD于 C,则∠ D=∠ 2。∵∠ 1 ∠ 2 =180°,∠ B ∠ D=180°,∴∠ 1=∠ B,∴ AB=AC,∴ AB=DE=CA。在△ ACO和△ EDO中 ,∠ AOC=∠ EOD,∠ 2=∠ D,AC=DE;∴△ ACO △ EDO( AAS) ,∴ AO=ED。2 .巧构全等三角形证角相等例 2 .已知等边△ ABC的边长为 a,在 BC的延长线上取一点 D,使 CD=b,在 BA延长线上取一点 E,使 AE=a b。求证 :∠ ECD=∠ EDC。证明 :过 E作 EF∥ AC…     

特征分析思想在解数学竞赛题中的应用

本文结合例题介绍特征分析思想的应用.1关系式特征数学竞赛题中,常会给出一些关系式,有的时候可恰当地转化关系式的形式,使之与我们学过的某些知识建立起联系,从而找到解题的切入点.例1已知a、b、c为△ABC的三边长,且满足a2=b2 bc.求证:∠A=2∠B.分析:考虑到已知条件给出的关系式的特征a2=b2 bc=b(b c),a.a=b.b b.c.比较这两种特征,我们可以联想到相似三角形中的比例关系,同时可以构造图形来解此题.图1证明:如图1,延长CA到D,使得AD=AB=c,则CB2=CA.CD.所以,CB为△ABD的外接圆过点B的切线.注意到∠ABC=∠ADB=∠ABD,故即∠A=2∠B…     

重关联 明变化 探思维——2021年福建中考数学卷第22题赏析

<正>中学一线教师要注意以本省近几年的中考卷为导向,重视这几年中考卷中考查的相同知识点的关联,明晰这些试题内涵的变化差异.本文以2021年福建中考卷第22题为例,谈谈笔者在这一方面的一些认识.一、试题呈现如图1,已知线段MN=a, AR⊥AK,垂足为点A.(1)求作四边形ABCD,使得点B,D分别在射线AK,AR上,且AB=BC=a, ∠ABC=60°,CD//AB;(要求：尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)(2)设P,     

第42届IMO试题解答

1.设锐角△ABC的外心为O,从A作BC的高,垂足为P,且∠BCA≥∠ABC 30°。证明: ∠CAB ∠COP<90°。 证明:令α=∠CAB,β=∠ABC,γ=∠BCA,δ=∠COP。 设K、Q为点A、P关于BC的垂直平分线的对称点,R为△ABC的外接圆半径。则     

为《几何原本》遗留的一个难题立证

1 古籍轻断处,难度晚尤彰 学过初等平面几何的人都熟知外角定理,即三角形的任一外角大于每一个不与之相邻的内角. 它的传统证明可以表述为 题设 点D在△ABC的边BC的延长线上. 题断 ∠ACD＞∠CAB,∠ACD＞∠ABC. 证 取边AC的中点E.连结BE并且延长它到F,使EF=BE;作射线CF. 因为EC =EA,∠CEF=∠AEB(对顶角相等),EF=EB,所以△CEF≌△AEB(边角边).因此∠ECF=∠EAB,亦即∠ACF=∠CAB.而由于射线CF在∠ACD内,所以∠ACD＞∠ACF,可见∠ACD＞ ∠CAB.     

巧添辅助圆

许多几何问题,若能恰当添出辅助圆,充分利用圆的丰富性质,便能获得简捷巧妙的解法.　例1　在△ABC中,∠ABC=∠C,∠A=100°,BE是∠B平分线,求证:AE+BE=BC.图1证明　作△ABE的外接圆交BC于D,连结ED.∵∠A=100°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=40°.又∵BE平分∠ABC,∴∠EBD=20°,AE=DE,∴AE=DE.又∵四边形ABDE为圆内接四边形,∴∠DEC=∠ABC=40°,∴∠DEC=∠C.∴DE=DC,∴AE=CD.∵∠BDE+∠A=180°,∠A=100°,∴∠BDE=80°,∴∠BED=80°,∴BE=BD,∴BC=BE+AE.　例2　已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC.AD=a,BC=b,AB=CD=…     

不等式sinA/2·sinB/2·sinC/2≤1/8的几何证法

这是△ABC中较为常见的一个不等式,证法较多,本文给出它的平几证法: 如图,在△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,作∠BAC的干分线AF,则∠CAF=∠BAF=譬,过B,C两点作AF的垂线,交AF和AF的延长线于D,E两点,(当且仅当b=c时等式成立).     

与费马点有关的又一不等式

命题设max(A,B,C)<120°,点P是△ABC内的费马点(即△ABC内满足∠BPC=∠CPA=∠APB=120°的点),BC=a,CA=b,AB=c;△ABC的内切圆半径为r,点P到三边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,则有a~2r_1 b~2r_2 c~2r_3≥1/3(a b c)~2·r (1) 等号成立当且仅当△ABC为正三角形。证明:记PA=u,PB=v,PC=w;△ABC、     

平面向量常见错误例析

初学平面向量这部分内容时,同学们常常会出现各种错误.现列举几种常见错误,供大家辨析.一、两向量夹角的意义不清例1△ABC三边长均为2,且BC=a,CA=b,AB=c,求a.b+b.c+c.a的值.错解:∵△ABC三边长均为2,∴∠A=∠B=∠C=60°,|a|=|b|=|c|=2.∴a.b=|a|.|b|cosC=2,同理可得b.c=c.a=2,∴a.b+b.c+c.a=6.图1评析:这里误认为a与b的夹角为∠BCA,两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角,范围是[0,π].因此a与b的夹角应为π-∠BCA.正解:如图1,作CD=BC,a与b即向量BC与CA的夹角为180°-∠BCA=120°.∴a.b=|a|.|b|cos12…     

中考尺规作图题新走向

近几年的中考作图题出现了新变化,已不局限于对基本作图技能的考查,一些设计新颖、富有创意的作图题成为命题的热点.现以2014年中考试题为例,对各种作图题型分类说明,供你复习时参考. 一、基本作图型 例1(2014年青岛卷)已知:线段a,∠α.求作:△ABC,使AB=AC=a,∠B=∠α.(保留作图痕迹,不写画法) 解:如图1所示,△ABC为所求. 点评:尺规作图称为基本作图,解尺规作图题时,要明确直尺和圆规的功能.理解图形的本质特征,确定作图顺序是解题的关键,一定要保留作图痕迹.     

为什么要这样画——对“作一个角等于已知角”的探索

在《用尺规作线段和角》一节中,学习了利用尺规作图作一个角等于已知角.它的操作步骤如下所示:已知: ∠AOB,求作: ∠A′O′B′=∠AOB.作法:(1) 以点O为圆心,任意长为半径(用圆规)作弧,分别交 OA,OB于点C, D.(2) 作射线O′A′,以点O′为圆心, OC 的长为半径作弧交O′A′于点C′.(3) 以点C′为圆心, CD长为半径作弧,交前弧于点D′.(4) 作射线O′B′过D′点.∠A′O′B′即为所求作的角.图1　　　　　　　　　　　　　　图2我们大都用模仿复制的方法记住了这个操作步骤,那么,怎么会想到这样画呢? 下面我们一起来探索这个作图的操…     

设K的妙用

在解有“比”的习题时 ,设 K可以使含“比”的项用 K的代数式表示 ,有利于思路的展开 ,达到顺利解题的目的。例 1 .在△ ABC中 ,已知∠ A∶∠ B∶∠ C=1∶ 2∶ 3,求 a∶ b∶ c。略解 :设∠ A=K,则∠ B=2 K,∠C=3K,由∠ A ∠B ∠ C=1 80°,得∠ A=30°、∠ B=60°、∠C=90°。设 a=K′,则 c=2 K′。∴b=3 K′,∴ a∶ b∶ c=K′∶ 3K′∶ 2 K′=1∶ 3∶ 2。　　例 2 .如图 ,在△ ABC中 ,∠ ACB =90°,CD⊥ AB,若 AC=6,sin B=35。求 CD。略解 :由∠ACB=90°,CD⊥AB易得∠ B=∠ ACD。∵ sin B=35,∴ sin∠ ACD=ADAC=35…     

数学单元测试题（二）

︸C魂一、判断下列作圈语句是否正确1.延长射线OA2.作线段AB,使它等于已知线段a的3倍.3.过点C作线段AB的中垂线.4.过线段AB上一点M,作线段AB的中垂线.5.过直线l外一点A,作直线l的平行线.6.作△ABC的高AD,过D作月B的平行线,与AC或AC的延长线相交于点E.7.过△ABC的边刀C的中点M作艺A的平分线.二、续空.卜在几何里,把限定用_和_来画图,称为尺规作图.2.最基本、最常用的尺规作图,通常称为基本作图,学过的五种基本作图是(l)(2)(3)(4)(5)3.看图填空(1)如图1,作线段AB=_(2)如图2,作之BAC一 )争加A￡二esesjeseses一-一一一---、七…     

关于等腰三角形、直角三角形的一组变式解析

例1 如图1,AB=AC,∠C=2∠A,BD是AC边上的高,求∠DBC的度数. 解:因为AB=AC, 所以∠ABC=∠C, 设∠A=x,则∠ABC=∠C=2x. 由三角形内角和定理: x+2x+2x=180. 解得x=36°,     

一道赛题的简解及其对偶式的值

20 0 2年全国高中数学联赛加试试题一是 :如图 1 ,在△ABC中 ,∠A= 6 0°,AB>AC,点O是外心 ,两条高BE,CF交于点 H,点 M,N分别在线段 BH ,H F上 .满足 BM=CN,求 MH + NHOH 的值 .现先给出本题的两个别解 ,另再给出它的两个对偶式的值 .解法 1　连接 OB,OC,OM,ON,由 O是△ ABC的外心 ,得∠ BOC=2∠ A=1 2 0°,H是△ ABC的垂心 ,得∠ BH C=1 80°-∠ A=1 2 0°.∴∠ BOC=∠BH C,则 B,C,H ,O四点共圆 ,∴∠ OBH=∠OCH,即∠OBM=∠ OCN.又 OB=OC,BM=CN,∴△ BOM≌△CON.∴ OM=ON,∠ BOM=∠CON.于是 ,有∠…     

寻找规律 巧妙解题

有些题 ,用常规方法解 ,非常麻烦 ,甚至解不出 .如果先从几个简单情形中找出规律 ,利用规律可巧妙解题 .例 1 　如图 1所示的弹子球台 ,∠ABC =8°,从A点打出一球 ,碰撞BC边后射向BA边 ,我们称为第一次反弹 ,再碰撞BA边后射向BC边 ,我们称为第二次反弹 ,如此经过 9次反弹后垂直落进BA边上的洞里 .则球起始打出的路线与BA边的夹角∠A =　　　　 .分析　由于球经多次反弹 ,令人难以下手 ,可按下面方法思考 :先作垂线 ,再画A0 A1 ,以后使∠α2 =∠β2 ,∠α3=∠β3,∠α4 =∠β4 ,……∠BA1 A0 =∠β2 =∠α1 -∠B =∠β1 -∠B=90° …     

一个相似模型的应用

1一个相似模型图1模型:如图1,△ABC中,AB=AC,D为BC上一点.以D为项点作∠EDF,使∠EDF=∠B,并且∠EDF的一边与AB交于E点,另一边与AC(或延长线)交于F点.则有△BDE∽△CFD.证明因为AB=AC,所以∠B=∠C.又因为∠B=∠EDF,所以∠BED ∠BDE=∠BDE ∠FDC,所以∠BED=∠FDC.所以△BDE∽△CF