在教学中运用口诀的实践与思考

<正>中学数学中的概念、定义、方法繁多,学生难以记忆.经过多年的教学实践,笔者把一些定理、方法以原创口诀的形式运用于教学中,不仅帮助学生理解和记忆,也活跃了课堂气氛,提高了教学效率.一、口诀介绍1.完全平方公式口诀对完全平方公式,不少同学会误记为(a+b)²=a2=a²+b2+b².为了纠正这种错误,笔者总结了一个口诀为:"前平方,后平方,前后两倍在中央".这样,大大避免了上述漏写中间项的     

一道课本习题的研究性学习

一、问题的提出本文以一道课本习题为例,谈谈对这个问题的一点做法和体会,供读者参考.高中数学课本的各种版本的双曲线部分都有这样一道习题:证明双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于双曲线的虚半轴长.证明:不妨设双曲线方程为（x²）/（a²）-（y²）/b=1（a>0,b>0）,F是右焦点（c,0）,渐近线为L:bx-ay=0,所以,F到L的距离为d=（|bc-a·0|）/（a²+b²）^1/2=（bc）/c=b,故命题得证.为方便叙述,我们将它写成一般性结论.     

灵活应用乘法公式解题

<正>学习了整式的乘法后,我们知道,关于整式的乘法公式有平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²和完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b².另外,(x+p)(x-q)=x²-(p+q)x+pq也可作为两个含有相同字母的一次二项式相乘的公式.     

巧用“积化和差”公式

<正> 在初一数学中,大家学习了下面的两个完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.两式相减得如下的“积化和差”平方差公式: 定理1 4ab=(a+b)2-(a-b)2. (1) 由于(a-b)2≥0,故由(1)式又得下面的积化和的完全平方不     

化简求值考点分析

<正>一、把握学习目标1.理解整式的概念,掌握合并同类项和去括号法则,能进行简单的整式加法和减法运算;能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘)．2.能利用公式：(a+b)(a-b)=a²-b²,(a±b)²=a²±2ab+b²进行简单的计算．     

引发逆向思维的几种情形

<正>一、由因式的分解引发逆向思维例1(¹/25-1/25-¹/23)2(8+21/23)2(8+2¹/215).分析大多数学生是从先算平方,再按多项式法则展开、合并这一常规解法.注意到8+21/215).分析大多数学生是从先算平方,再按多项式法则展开、合并这一常规解法.注意到8+2¹/215这个式子的结构特征,这个式子能"分解因式"成(1/215这个式子的结构特征,这个式子能"分解因式"成(¹/25+1/25+¹/23)2,故原式等于(1/23)2,故原式等于(¹/25-1/25-¹/23)2(1/23)2(¹/25+1/25+¹/23)2,此时再逆用积的乘方公式即可.解∵8+21/23)2,此时再逆用积的乘方公式即可.解∵8+2¹/215=5+3+21/215=5+3+2¹/215=(21/215=(2¹/25)2+(1/25)2+(¹/23)+21/23)+2¹/215=(1/215=(¹/25+1/25+¹/23)2,     

乘法公式在整式乘法中的应用常见错误剖析

<正>完全平方公式和平方差公式是初中数学中的两个重要公式,在整式乘法运算中发挥着举足轻重的作用.学生在解题过程中经常出现这样那样的错误,现一一列举.一、完全平方公式应用中的错误(一)漏掉中间项例1:计算:(a+4)2错解:(a+4)2=a2+16剖析:完全平方公式的结果有三项,首平方,尾平方,积的两倍在中央.运用公式时不要漏项.正解:(a+4)2=a2+8a+15(二)中间项漏乘2例2:计算:(2a-1)2     

一道高考不等式试题的多视角求解

<正>试题 若实数x,y满足x²+y²-xy=1,则( )(A)x+y≤1 (B)x+y≥-2(C)x²+y²≤2 (D)x²+y²≥1分析 这是2022年新高考Ⅱ卷选择题压轴题的第12题，是一道在二元变量等式的条件下判断不等式是否成立的问题.问题涉及到的两个变量x,y地位相同，条件式和各选项目标式的代数结构包含x,y的积、和及平方和，且均是齐次式.从这些特点可以看出，解答试题的切入口较宽，     

对一道课本习题的探究与推广

题目（人教A版数学选修4—4《坐标系与参数方程》第34页习题2）已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点B₁,B₂的连线分别与x轴交于P,Q两点,O为椭圆中心,求证:     

极化恒等式的妙用

<正>初中代数中有一个常用的恒等式:4ab=(a+b)²-(a-b)2-(a-b)²,它由两个完全平方公式相减而成.而今在高中向量中有一个类似的恒等式:4ab=(a+b)2,它由两个完全平方公式相减而成.而今在高中向量中有一个类似的恒等式:4ab=(a+b)²-(a-b)2-(a-b)²或ab=((a+b)/2)2或ab=((a+b)/2)²-((a-b)/2)2-((a-b)/2)²,称之为极化恒等式.它有如下几何意义:如图1,△ABC中,取BC的     

从一道课本习题的应用看经典题的示范效应

<正>一、习题再现人教B版选修4-5《不等式选讲》第43页习题2-1第9题:设a1,a2,…,an为实数,b1,b2,…,bn为正数,求证:a12/b1+a22/b2+…+an2/bn≥(a1+a2+…+an)2/(b1+b2+…+bn).这道习题,其实就是柯西不等式的变式,其辐射面广、功能强大,尤其在高考题,自主招生,数学竞赛中应用十分普遍.恰当使用该变式,往往获得让人赏心悦目的解答.     

顺应“三新”趋势探索变式教学模式——数学变式征集活动解析几何专题试题选登

<正>【精选变式题组】【母题1】(2022·江西余干一中)已知⊙O的方程为x²+y²=4,过M(4,0)的直线与⊙O交于A,B两点,则弦AB的中点P的轨迹方程为____.【变式1】(知识变式)将母题中的“圆”换为“椭圆”已知椭圆C的方程为x²/4+y²=1,     

完全平方公式与两位数平方的速算

<正>我们知道,完全平方公式可用于整式的速算,即(a±b)2=a2±2ab+b2,它也可以简记为"头平方,尾平方,乘积2倍放中央",以此口诀来进行两位数平方的速算,相当巧妙,非常简洁.     

一道课本习题的解法探究

人教A版必修五教材第69页的习题6为:已知数列{a_n}中,a₁=5,a₂=2,a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）,对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?与教材配套的教师用书给出了如下解答:由a_n=2a_n-1+3a_n-2,得a_n+a_n-1=3(a_n-1+a_n-2),及a_n一3a_n-1=-(a_n-1-3a_n-2),于是a_n+a_n-1=（a₂+a₁）·3^n-2,a_n-3a_n-1:（a₂-3a₁）·（-1）^n-2.     

向量的模就是点到点距离

<正>教材上说:向量AB(向量)的大小称为向量的长度(或称为模),记作AB(向量).教材上涉及向量的模的问题无非三种:由特殊的平面图形中获得线段的长度关系;直接给出向量的模,利用公式计算向量的数量积a·b=|a||b|cosθ;由向量的坐标(x,y)利用公式(x²+y2+y²)2)^(1/2)计算向量的模.而在实际的作业练习测试中,直接套用如上三种模型的习题可谓是少之又少,师生们发出感慨,数学真难,向量的模真难.其实啊,     

平方数对半差特性的发现及思路

<正>1 "漏网之鱼"的启发1992年2月,印度数学家J.V.Ctaudhari和M.N.Deshpande发现了956～968这13个连续自然数,其平方的对半和仍然是连续自然数的平方.比如:956²=913936 913+936=1849=432=913936 913+936=1849=43² 9572 957²=915849 915+849=1764=422=915849 915+849=1764=42²……………………………………9682……………………………………968²=937024 937+024=961=312=937024 937+024=961=31²这个发现令数学家们感到十分惊讶,被称为几千年来自然数研究的"漏网之鱼",被当代人捉住了2这个发现令数学家们感到十分惊讶,被称为几千年来自然数研究的"漏网之鱼",被当代人捉住了^([1]).     

因式分解的“小招数”

<正>不少同学在学习了因式分解的基本方法后,解题时还会遇到这样那样的一些小问题,而造成分解的思路不畅,或者分解不彻底.为了帮助同学们解决这些小问题,在此介绍几种因式分解的"小招数",希望对同学们有所帮助.一、符号变一变例1分解因式-a²+2a-1.解原式=-(a2+2a-1.解原式=-(a²-2a+1)=-(a-1)2-2a+1)=-(a-1)².评析原式有三项,虽有完全平方的"形"却不能直接用公式,提取"-"号后,便能     

椭圆定义的应用举例

<正>一、求方程所表示的曲线的轨迹问题例1已知点M(x,y),x,y∈R满足2((x-1)²+(y-1)2+(y-1)²)2)^(1/2)=|x+y+2|,判断点M的轨迹表示怎样的曲线。解析:若将方程两边平方,化简后并不能直接判断轨迹是什么曲线,并且运算量也很大。但观察式子的结构特点,等号左边的几何意义是点M到(1,1)点距离的2倍,进而     

“自互乘”与“同反积”——乘法公式新解

<正>通常我们所说的乘法公式是指完全平方公式和平方差公式.对于完全平方公式,朗朗上口的记忆口诀是:"首平方,尾平方,积的 2 倍在中央".而对平方差公式,教材上"两数和与这两数差的积,等于它们的平方差"的描述更是简单明了.但在实际教学中,学生错套公式、混淆运算对应元素的现象比比皆是,从而造成运算错误.这里,笔者就此类问题的深层次原因与大家进行一次初步探讨.一、与整式概念的矛盾初中数学中常常遇到多项式的乘法.对于单项式乘以多项式,其     

灵活运用完全平方公式

同学们都知道:(a±b)2=a2±2ab b2是完全平方公式。即:两个数的和(或差)的平方等于它们的平方和加上(或减去)它们积的2倍。在完全平方公式中,左边是一个二