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1.
题目 已知四边形ABCD是圆内接四边形,证明:|AB—CD|+|AD—BC|≥2|AC—BD|.
《中等数学》2000年第4期刊载了李宝毅老师提供的三角证法,其运算量较大.之后,国内出版的多种中等数学书籍也都是引用此证法.其实,该题采用“截长补短法”并不难证,而且有多种证法,本文仅介绍其中比较简洁的2种. 相似文献
2.
2006年北京市中学生数学竞赛(初二)第三题为:在五角星形ABCDE中,相交线段的交点字母如图1所示.已知AQ=QC,BR=RD,CR=RE,DS=SA.求证:BT=TP=PE.图1文[1]给出了一种简洁证法,仅添加了3条辅助线就巧妙地解决了这道竞赛题.笔者经过研究,发现本题添加2条辅助线即可解决,且便于推广.下面是笔者给出的另一种简证并对其进行了推广,供读者们参考.证明如图2,连结CD,QS.图2因AQ=QC,AS=SD,根据三角形中位线定理,得QS=∥21CD.由BR=RD,CR=RE,得BEDC为平行四边形,故BE=∥CD.所以QS=∥21BE,故QS为△BER的中位线,所以Q,S分别为BR,… 相似文献
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题1已知圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD交于点E,直线AD与BC交于点F,G、H分别为边AB、CD的中点.证明:EF与过点E、G、H的圆切于点E. 相似文献
4.
题目 已知a,b,c≥0,且a+b+c=1,求证:√a+4^-1(b-c)^2+√b+√c≤√3,①(2007年女子数学奥林匹克竞赛试题) 相似文献
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题目 设a,b,c〉0,且abc≥1,求证:
(a+1/a+1)(b+1/b+1)(c+1/c+1)≥27/8 相似文献
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2005年全国初中数学竞赛试题的第12题:如图1,半径不等的两圆相交于A,B两点,线段CD经过点A,且分别交两圆于C.D两点,连结BC,BD,设P,Q,K分别是BC.BD,CD的中点,M,N分别是弧BC和弧BD的中点.求证: 相似文献
8.
刘东辉 《中学数学研究(江西师大)》2009,(1):F0004-F0004
题目(2008年全国高中数学联赛江西省预赛题)AD是直角三角形ABC斜边BC上的高(AB〈AC),I1、I2分别是△ABD、△ACD的内心,△AI1,I2的外接圆⊙O分别交AB、AC于E、F,直线FE与CB的延长线交于点M.求证:I1,I2分别是△ODM的内心和旁心. 相似文献
9.
李歆 《数理天地(高中版)》2008,(7):23-23
题目已知a,b,c≥0,且a+b+c=1,求证(a+1/4(b-c)2)1/2+b1/2+c1/2≤31/2.(07年女子数学奥林匹克)分析所证不等式中(a+1/4(b-c)2)1/2的出现,给解题增加了难度.如果由此入手,寻找问题突破口,就会发现"(a+1/4(b-c)2)1/2"可以放大为"(a+1/2(b1/2-c1/2)2)1/2",从而用放缩法求 相似文献
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题目:圆内接凸四边形 ABCD 的面积记为S,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,证明:(1)S=((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))~(1/2),其中 p:(a b c d)/2;(2)如果四边形 ABCD 同时具有外接圆和内切圆,则 S=abcd~(1/2).(2005年北京市高一赛题)本题可作如下拓展:定理:任意凸四边形 ABCD 的面积是 S= 相似文献
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原题在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,P是对角线AC、BD的交点,M、N分别是AB、CD上的点,满足DM⊥AC,BN⊥AC.求证:M、N、P三点共线.[第一段] 相似文献
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第 31届西班牙数学奥林匹克第 2题是 :证明 :如果 ( x+ x2 + 1 ) ( y+ y2 + 1 )=1 ,那么 x+ y=0 .分析 注意到式子 x+ x2 + 1 ,y+y2 + 1的结构完全相同 ,我们引进函数f( x) =x+ x2 + 1 .容易知道函数 f( x)具有以下性质 :1 f( x) f( - x) =1 ;2 f( x)在定义域 R上是增函数 .(对于性质 2 ,只需把 f ( x1 ) - f ( x2 )化为 ( x1 - x2 ) x21 + 1 + x22 + 1 + x1 + x2x21 + 1 + x22 + 1,利用 x21 + 1 + x22 + 1 + x1 + x2 >| x1 | + | x2 |+ x1 + x2 ≥ 0即可证得 .)显然 ,原竞赛题就是证明 :如果 f ( x) f ( y) =1 ,那么 x+ y=0 .现在简证如… 相似文献
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题目 在凸四边形ABCD中,对角线BD既不是∠ABC的平分线,也不是∠CDA的平分线,点P在四边形ABCD内部,满足∠PBC=∠DBA和∠PDC=∠BDA.证明:四边形ABCD为圆内接四边形的充分必要条件是AP=CP。 相似文献
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