利用特殊角的和差关系解三角形

<正>在有关解三角形问题的学习中,常常会遇到含有一般角,如75°、15°、105°等的内角,这种情况下,可以灵活利用和差关系,通过将一般角转化为特殊角(45°、30°、60°)的方法加以解答,即过一般角的顶点,向其对边作垂线,构成含有特殊角的直角三角形,再通过解直角三角形解含有一般角的三角形．下面我们通过例题,探索如何利用特殊角的和差解决含一般角的三角形问题．     

以三角板为背景的中考题赏析

三角形是最基本的平面图形,三角板的形状是常见的直角三角形,以三角板为背景的求角问题是2011年各地中考数学热点题型,解决这类问题首先要了解三角板的构造:一个是等腰直角三角板,它的三个内角的度数分别是90°、45°、45°;另一个三角板三个内角的度数分别是90°、30°、60°。还要熟练掌握三角形的内角和定理和外角性质以及互余角、对顶角等概念。下面     

以三角板为背景的求角问题赏析

三角形是最基本的平面图形,二三角板的形状是常见的直角三角形．以三角板为背景的求角问题首先要了解三角板的构造：一个是等腰直角三角板,它的三个内角的度数分别是90°、45°、45°;另一个三角板三个内角的度数分别是90°、30°、60°．其次,还要熟练掌握三角形的内角和定理和外角性质以及互余角、对顶角等概念．下面举例说明．     

三角形重点知识研练

关于三角形的一些概念边、角、角平分线、中线、高三角形三边的关系三角形的内角和三角形的分类三角形的外角按边分类按角分类全等三角形一般三角形全等性质直角三角形全等判定三角形的稳定性角平分线的性质与判定尺规作图基本作图性质判定特殊三角形等腰三角形直角三角形等边对等角,三线合一三角形中边、角不等关系线段的垂直平分线的性质与判定等边三角形轴对称和轴对称图形性质判定斜边上的中线,含30°角的直角三角形勾股定理勾股定理的逆定理三角形本文所要复习的有关三角形的知识,都是初中平面几何的基础知识,在历年中考中占有一定的比…     

联想与构造 玩转45°角

<正>对于含有特殊角的几何问题,如果我们能抓住这些角的特殊性,展开恰当的联想,巧妙构造一些基本图形,就能使问题迎刃而解.例如45°角就是一个常见的特殊角,它和等腰直角三角形、正方形、圆等最基本的几何图形有着紧密的联系.本文从一道模考题入手,运用联想与构造的思维方法,多方位、多角度探寻解决途径,以感受45°角的美妙,体会联想与构造在解题时的重要性与有效性.     

巧用直角三角形的性质求线段长

<正>考点解读中学几何图形中最基本的图形是三角形,而直角三角形又是较特殊的三角形.许多几何问题都需要通过作辅助线将其转化为直角三角形解决.主要涉及的考点有:角与角之间的关系,边与边之间的关系,边与角之间的关系.题目常以几何证明题和几何计算题的形式呈现,既可以是考查数学基础知识的简单题,也可以是具有较高能力要求的压轴题,充分考查了学生的建模能力、运算能力、推理能力等.     

“三招”妙解斜三角形内角大小问题

三角形是初中平面几何问题中最为基本的一个图形,除了特殊的等腰三角形、直角三角形,斜三角形也是一类常考的三角形.三角形问题一般聚焦于研究三角形的角和边的大小,综合性较强,涉及平面几何知识和锐角三角函数定义等.本文以一道斜三角形内角大小问题作为典型例题,探讨以下几种解法,以供参考.     

如何求sin15°的值

<正>如图1,Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=15°.我们不妨将它称为解决此问题的基本图形.在这个三角形中要求sin 15°,目前显然AB/AC’没办法直接得出比值.但我们知道直角三角形中,30°,45°,60°这几个特殊角的三角函数值,所以考虑基本图形与含特殊角的直角三角形的关系,就是顺理成章的.     

折出60°的角

<正>折纸做60°、30°、15°等特殊角是在学生学习了“三角形”“四边形”“轴对称”等基本概念、性质的基础上,进一步研究图形翻折的一次数学活动。在此之前,教材已呈现折角平分线,折纸研究轴对称图形特点、全等图形性质等活动。折纸有助于学生体会研究图形性质实际上就是揭示图形中各几何要素之间的关系,明确观察、实验、猜想、证明是几何研究的基本活动,感悟“用合情推理发现结论,用演绎推理证明结论”这一几何研究的基本思考方式。本节课的教学重点是用不同的方法折出60°的角并说明理由,有了60°的角,再通过对折得到30°、15°的角。     

化斜为直巧解斜三角形

<正>在初中数学综合复习中,通过各地近几年的中考试题,综合题中出现了一些关于解斜三角形的数学问题,而解这类问题的关键是进行转化斜三角形,转化的主要手段是运用"化斜为直"的数学思想方法,即在斜三角形中仔细观察图形的特征,通过作辅助线把斜三角形恰当构造出直角三角形.涉及特殊角常常需把特殊角放在直角三角形中,再利用勾股定理和三角函数解直角三角形知识即可解决.针对斜三角形或不规则四边形化归为直角三角形,可采     

菱形背景下几何图形问题的求解策略——以2021年中考试题为例

菱形是特殊的平行四边形,具有轴对称性与中心对称性.以菱形为背景的几何问题常与等腰或直角三角形的性质、全等三角形的判定定理等有紧密的联系.本文从2021年全国中考试卷中选择若干以菱形为背景的几何问题,通过对此类图形问题解决策略的分析,挖掘问题解决的常规思路或方法,为初中几何教学提供一些建议或指导.     

三角形的三个基本图形的应用

三角形的内角和定理及外角性质定理是解决三角形中有关角的证明与计算问题的常用知识.其中与三角形内角和定理、外角性质相关的三个基本图形及结论能优化相关问题的解决思路与过程.本文归纳其三个基本图形与基本结     

以三角板为道具创设的几何相似问题的探究

选取学生经常使用的画图工具——三角板为道具,按某种方式与特殊几何图形(三角形、正方形)拼合在一起,以平移、旋转变换为图形的变化策略,让三角板"动"起来,为学生提供了一个动态的实践操作的数学情景,让学生经过观察、分析、猜想并进行说理验证的过程中感悟知识的发生、发展过程、探索问题的结论和规律的变与不变,真正理解图形的性质,对培养和发展学生的空间观念、探索创新能力起到一定的作用.解决此类问题要充分发挥特殊角30°、45°、60°、90°及等腰三角形的性质、直角三角形的性质的作用,掌握图形的平     

含有45°角的三角形的问题及求解

等腰直角三角形是一类特殊（含有45°角）的三角形,它有着一系列有趣的性质并且有着广泛的应用．     

一线三等角型基本图形的应用及意义分析

在几何领域,组成一个几何问题图形的最简单、最重要、最基本的,但又具有特定的性质,能阐明应用条件和应用方法的图形,称为基本图形。基本图形分析法,就是一种建立在对图形和图形性质的认识、分析、应用基础上的思考方法和分析方法。所以几何问题的分析和思考过程实质上就是剖析并找到这些基本图形,然后应用这些基本图形的性质规律,使问题得到解决的过程。一线三等角型是相似三角形几何图形中常见的基本图形中的一种,其他的还有A字型、斜A字型、8字型、斜8字型、母子直角三角形、公边公角型、旋转型等。掌握这些基本图形,学会合理运用、巧妙分离、灵活构造这些基本图形,能提高观察、猜测、综合分析能力和解决问题的能力,因此教师在教学中要重视这些常见的基本图形。     

我所认识的三角形

知识展台 1.三角形的定义:三条线段首尾相接组成的封闭图形. 2.三角形三边的关系:三角形任意两边和必大于第三边,两边差必小于第三边. 3.三角形三内角的关系:三角形三个内角之和等于180度 4.按三角形内角大小对三角形进行分类: 锐角三角形:三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形; 钝角三角形:三角形中有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形; 直角三角形:三角形中有一个角是直角的三角形角直角三角形. 例题研读 1.三角形个数确定     

当特殊角遇上K字型

<正>30°,45°,60°角在初中数学几何图形中一直扮演着重要的角色,我们称之为特殊角.当直角三角形中含有某个特殊角时,三角形的三边长便存在特殊的比例.抓住这一点,通过构造含特殊角的直角三角形,进而构造K字型三角形全等或相似,可以帮助我们解决很多几何难题,且操作方便,计算简单,起到化繁为简,化难为易的效果.下面举例说明.例1 (2017年金华中考题)如图1,已知     

活力四射的45°角

<正>45°角是平面几何中的一个特殊角,尽管其最直接相关的图形是等腰直角三角形,但当45°角与其它图形恰当"组装"时,打造出的数学问题也同样精彩纷呈.一、活跃在三角形中的45°角例1 (2018年深圳中考题)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BE平     

怎样学好几何证明(三)——例谈基本图形法

本文讲的“基本图形”是指反映几何概念和定理的图形.在初一、二年级时,我们已探索出三角形及特殊三角形的(如等腰三角形、等边三角形、直角三角形等……)许多性质,这些性质,都通过基本图形来反映的.如图1,表示等腰三角形的三线合一;图2,表示直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及“30°锐角所对的直角边是斜边的一半”的特性;如图3,表示三角形中位线性质.基本图形在解题、证题中主要作用有两个方面:一是从基本图形入手能较为顺利地找到解题、证题的途径.二是帮助我们很好地找到需要添加的辅助线.实际上,几何题中的辅助线的添加,往往是…     

倍角三角形

在平面几何中,对于三角形,重点研究过两种特殊的三角形:一是直角三角形,二是等腰三角形。但在各种书刊中,时常见到具有另一种特殊关系的三角形——有一个内角是另一个内角的两倍的三角形,我们称这种三角形为“倍角三角形”。而对于倍角三角形没有进行过系统的研究,所以在解决有关的问题时,往往显得太麻烦。为此,本文