说题:多维视角下解析一道高考试题

<正>笔者有幸参加宁波教研室组织的高中数学说题比赛.在参加比赛之前,笔者的学生问了这样一个问题:已知一个抛物线型的酒杯,杯口宽4cm,杯深4cm,若将一个玻璃球放进酒杯中,当玻璃球的半径在什么范围内,玻璃球一定会触及酒杯底部?笔者在给学生解答的过程中,发现这     

酒杯形状的几何分析

问题一 张华同学家中有两种酒杯,一种酒杯的轴截面是等腰直角三角形,称之为直角酒杯(如图1),另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线,杯口宽4cm,杯深8cm(如图2),称之为抛物线酒杯.一次张华在游戏中注意到一个现象,若将一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中,则任何玻璃球都不可能触及酒杯杯底.但若将这些玻璃球放入抛物线酒杯中,则     

酒杯中的学问——对一道课本题的探究

<正>一、课本题赏析例1一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是χ²=2y(0≤y≤20).在杯内放一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,那么玻璃球的半径r应满足什么条件?本题是苏教版选修2-1第68页第10题.它是以抛物线为背景的一道应用题,转化为数学问题后可以从不同的视角求解.解法1(几何法)设玻璃球轴截面所在     

酒杯中的学问——对一道课本题的探究

一、课本题赏析 例1一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是x2=2y（0≤y≤20）．在杯内放一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,那么玻璃球的半径r应满足什么条件？本题是苏教版选修2-1第68页第10题．它是以抛物线为背景的一道应用题,转化为数学问题后可以从不同的视角求解．     

酒杯中的解析几何问题

酒杯是我们日常生活中的常见物品.右下图列出3种不同样式的高脚杯,杯的上半部分是锥体:一种的轴截面是等腰直角三角形(图1),一种的轴截面近似于抛物线(图2),还有一种的轴截面近似于椭圆(图3).生活情景1将一些大小不一的玻璃小球放入不同的3个酒杯中,发现所有的小球都无法触及直角酒杯的底部,能放入椭圆酒杯的小球均可触及底部,而有一些小球可以触及抛物线酒杯,但也有一些小球无法触及抛物线酒杯底部.那么,对于一个固定大小的酒杯,如何确定小球的半径大小,使其一定可以触及酒杯的底部?作为研究性学习的内容之一,本文在此做一点探讨,供大家参…     

构造圆轻松突破“酒杯”最值问题

我们先从一个经典老题人手． 例1 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x^2=2y（0≤y≤20）．在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，     

它们实质相同

1．一个数学问题题1一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是x~2=2y(0≤y≤20),在杯内放入一个玻璃圆球,要使球触及酒杯底部,则球的半径的取值范围是____．解设小球轴截面圆心坐标为A(0,a) (a＞0),依题意,酒杯轴截面抛物线上的点与点     

二次曲线内部相切于顶点的最大圆

问题的提出 如图1，在轴截面为抛物线y=x^2的碗内放一个玻璃球，使得玻璃球与碗底部接触，问球的最大半径是多少?此题实际上是求抛物线内部与抛物线相切于顶点的最大圆．它有两个内容值得研究：     

酒杯盛球问题探究

题目一个酒杯,它的轴截面是一个抛物线的一部分,方程是x~2=y,y∈[0,10],在杯内放一个清洁球,要使清洁球能檫净酒杯的最底部,则清洁球的最大半径为多少?分析1可从函数的观点人手,建立以y为变量的函数,把实际问题转化为二次函数在y=0时求最小值的问题.     

简易显微镜的制作

材料用具: 干净玻璃片(黄豆粒大小)、硬纸、酒精喷灯、镊子、打孔器等。制作方法: 1.点燃喷灯,用镊子夹住玻璃片在外焰上烧熔;由于表面张力的作用,熔液会形成圆珠悬于镊尖。移开冷却,轻碰取下。 2.将硬纸剪成8×4cm的长方形纸片,再对折成4×4cm的正方形,然后用打孔器在中央打一圆孔(孔径应比玻璃球直径小些)。 3.将玻璃球放在两层纸片间的小孔处夹紧,用订书机将纸片订实。     

一道光学赛题的解法(高二、高三)

题 一种高脚酒杯,如图1所示.杯内底面为一凸起的球面,球心在顶点O下方玻璃中的C点,球面的半径R=1.50cm,O点到杯口平面的距离为8.0cm.在杯脚底中心处P点紧贴一张画片,P点距O点6.3cm.这种酒杯未斟酒时,若在杯口处向杯底方向观看,看不出画片     

基础知识巩固题精选

一、选择题1.已知F是抛物线y=1/4x²的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF的中点的轨迹方程是（）。A.x²=y-1/2 B.x²=2y-1/16C.x²=2y-1 D.x²=2y-22.已知点A（3,10/3）和抛物线y²=2x上一点P,若点P到抛物线的准线l的距离为d,则当|PA|+d取得最小值时,点P的坐标为（）。A.（0,0）B.(1,2^1/2)C.（2,2）D.（1/2,1）3.若椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）和圆x²+y²=（b/2+c）²。（其中c=（?））有四个公共点,则椭圆     

2001-2002年国内外数学竞赛题选解(五)

四、几何部分1.在平面直角坐标系中 ,考虑双曲线Γ ={M(x ,y)∈R2 x24 -y2 =1}和二次曲线Γ′ ,且Γ′与Γ不相交 .设n(Γ ,Γ′)是点对 (A ,A′)∈Γ×Γ′的数目的最大值 ,且满足对所有(B ,B′)∈Γ×Γ′ ,有AA′≤ BB′ .对于每一个p∈ { 0 ,1,2 ,4 } ,当n(Γ ,Γ′) =p时 ,求Γ′的一个方程 (Γ′只考虑圆、椭圆、双曲线和抛物线 ) .(第 5 3届罗马尼亚数学奥林匹克 (决赛 ) )解 :(1)p =0 .设Γ′ :x24 -y2 =2 .考虑点B n ,n24 - 1∈Γ ,B′ n ,n24 - 2 ∈Γ′,则BB′ =n24 - 1- n24 - 2= 1n24 - 1 n24 - 2<2n.当n→ ∞时 ,BB…     

对一道全国中学生物理预赛题的通式探究

第21届全国中学生物理竞赛预赛第6题的原题:有一种高脚酒杯,图略.杯内底面为一凸起的球面,球心在顶点O下方玻璃中的C点.球面的半径R=1.5cm.O到杯口平面的距离为8.0cm,在杯脚底中心处P点紧贴一张画片,P点距O点6.3cm,这种酒杯未斟酒时,若在杯口处向杯底方向观看,将看不出画片上的     

滚动玻璃球

目标: 用身体各部位滚动玻璃球,发展幼儿脚底、臀部、背部等部位的运动感知觉,促进血液循环 准备: 各种大小塑料盆若干只,内装若干玻璃小球(即玻璃弹子)。 过程: 1.脚底滚动玻璃球。幼儿赤脚或穿袜站在盛有玻璃球的塑料盆内,用两脚不停地前后左右滚动玻璃球。 2.臀部滚动玻璃球。幼儿坐在盛有玻璃球的塑料盆内,两手分别扶住塑料盆的两侧,用臀部不停地前后左右滚动玻璃球:3.背部滚动玻璃球。幼儿仰卧在盛有玻璃球的大塑料盆内,用背部不停地前后左右滚动玻璃球。 建议: 1.盆内的玻璃球不宜放得过多,铺满盆底即可。 2.幼儿活动时,动作幅度不宜…     

坚守规则

正曾经听到这样一个故事,一位中国游客在德国一家当地人开的酒吧喝酒,饮酒的同时对手里的酒杯产生了兴趣,甚至有些爱不释手。于是他找到老板说,不仅买他的酒,还要顺便买他的两只酒杯带回国留作纪念,没想到这一简单的想法却遭到老板的拒绝。原因很简单,政府只允许酒吧卖酒,不允许卖酒杯,再说也没有办法向政府纳税。中国人有些失望,没想到这时老板却说,如果你真的很喜欢这里的酒杯,本店可以送给你两只留作纪念。     

一道解几题解法的引申(高二)

题设P为圆C:(x-3)2 y2=1上的动点,Q为抛物线y2=x上的动点,求|PQ|的最小值. 解由条件可知C(3,0),设Q(a2,a),则|QC|2=(a2-3)2 a2=(a2-(5/2))2 11/4,即当a2=5/2时,| QC |min=(√11/2),此时,| PQ |的最小值为(√11/2)-1. 此题的解法可作以下类比,引申. 引申1 一个酒杯的横截面是抛物线的一部分,它的方程是x2=2y,今在杯内放入一个     

与垂足三角形内切圆有关的一个等式

定理设△ABC边为n，6，c，外接圆半径为尺，垂足△DEF的内切圆半径为r，则r=α^2＋b^2＋c^2-8R^2/4R.     

关联五个三角形内切圆半径的一个等式

命题　设D、E分别是△ABC的边BC上与顶点B、C不重合的任意两点 ,△ABD、△ACE、△ABE、△ACD、△ADE的内切圆半径分别记作r1、r2 、r3、r4 、r5.则图 1r1r2=r3-r5r4 -r5.引理[1] 　已知△ABC ,边BC上的高为h ,N为边BC上一点 ,△ABN与△ANC的内切圆半径分别为r1、r2 .则△ABC的内切圆半径r满足r=r1+r2 - 2r1r2h .命题证明 :如图 1 ,不妨设△ABC的内切圆半径为r,边BC上的高为h ,则由引理可得r=r1+r4 - 2r1r4 h ,①r=r2 +r3- 2r2 r3h ,②r3=r1+r5- 2r1r5h ,③r4 =r2 +r5- 2r2 r5h .④把④代入①、③代入② ,化简整理得2r1r4…     

圆锥曲线的焦点定位问题——兼与文[1]商榷

文[1]在抛物线切线已经作出的前提下,根据抛物线的有关性质给出了用尺规求作其焦点的方法.粗看,有些道理;细想,颇感疑惑.抛物线之切线怎能用尺规法轻易作出?须知,若作切线,首先需要定出其焦点.于是,该文所说之五种所谓的作法只能是"纸上谈兵".