利用圆的对称性找漏解

<正> 不少同学在解答与圆有关的几何计算问题时常常漏解.若能够充分利用圆的对称性,则可找回漏解. 一、平行弦间的距离问题例1 ⊙O的半径为5厘米,弦AB∥CD,.AB=6厘米,CD=8厘米,求AB和CD的距离.(人教版第三册几何第85页习题)     

一道课本习题的推广及其应用

九年义务教材《几何》第三册第210页第25题是: 如图,已知半圆的直径AB=40cm,点C、D是这个半圆的三等分点,求弦AC、AD和CD围成的图形的面积S. 解 ∵AC的度数=BD的度数=60°, ∴.CD//AB.     

例说几何题的多解

学生的几何作业中,常可发现因概念不清、考虑不周而使原应有多解的几何题漏解.举例如下.例1填空线段AB的对称轴是线段AB所在直线和线     

初学几何防漏解

对于未给出图形的几何计算题,如果不注意几何图形可能出现的不同位置情况,常常会造成漏解.下面以“线段、角”有关的问题举例剖析如下. 例1 在一直线上截取线段AB=6cm,截取线段AC=10cm,求线段AB的中点D与线段AC的中点E间的距离.错解:如图1,因为AB=6cm,AC=10cm,所以AD=1/2AB=3cm,AE=1/2AC=5cn.A D E B C图1     

圆中的多解问题

正圆的问题具有较强的隐蔽性和多样性,因考虑问题不全面常出现漏解.与圆相关的几何题,如果没有图形,往往存在多种可能,需分类讨论.一、平行弦与圆心的位置关系不确定产生的多解例1(2010年襄樊卷)已知⊙O的半径为13cm,弦AB∥CD,     

周密考察图形位置可防漏解

在有些几何问题中 ,适合条件的图形不是唯一的 ,其解也就不唯一了 .对于初学者而言 ,往往思考问题欠周密 ,在给定条件下只考虑一种情况 ,容易造成漏解 .现举例加以剖析 .例 1　已知线段 AB在直线 l上 ,且 AB =2 cm ,在 l上取一点 M,使 BM =3 cm ,则线段AM的长为 cm .误解 :如图 1,∵ AB =2 cm ,BM =3 cm ,∴ AM =2 + 3 =5 (cm ) .图 1　　　　　　　　图 2剖析 :例 1的解法貌似正确 ,其实遗漏了另一种情况 ,如图 2 ,同以上解法相同可得另一解 ,AM =1cm .∴ AM =5 cm或 1cm .产生漏解的根源是忽视了点 M既可以在线段 AB延长线上 ,也…     

平面几何中由图致误种种

初学几何的同学,由于知识和经验的不足,在解题、证题过程中会出现这样那样的错误,其中有些是由于作图的片面或错误所造成的,其错误的类型大致可分为下列三种。 1.漏解例1 已知△ABC中,AB=15,AC=20,高AD=12,求∠BAC的平分线的长。(平     

求几何极值问题的错误简析

对于几何的极值问题,必须注意题中几何量之间的数量关系和位置关系,否则可能造成错误。下面看几个例题。例1.如图1,在矩形ABCD中,AB=8a,BC=9a(a>0),半径为x的⊙O与AB、BC两边相切,⊙O′与⊙O相切,并与AD、CD相切,试求两圆面积之和S的最大值和最小值。错解:设⊙O′的半径为y,则     

漏解启示录

人教版《数学》九年级(上册)第95页第8题是这样的:⊙O的半径是13cm,弦AB//CD,AB=24cm,CD=10cm,求AB和CD     

周密考察图形位置可防漏解

在有些几何问题中,适合条件的图形不是惟一的,其解也不惟一.对于初学者而言,思考问题往往欠周密,在给定条件下只考虑一种情况,容易造成漏解.现举例加以剖析.例1已知线段AB在直线l上,且AB=2cm在l上取一点M,使BM=3cm,则线段AM的长为__cm.     

添加辅助线一题多解法

添加适当的辅助线,是解几何题的一个重要手段,也是几何推理入门中的一个难点.本文以一道几何题为例,和七年级同学谈谈添加辅助线解几何题的方法和技巧. 例如图1,已知:AB∥CD,用多种方法求∠B+∠P+∠D的度数. 方法一过点P作PE∥AB(如图2).则PE∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行). ∴∠B+∠1=180(两直线平行,同旁内角互补),∠2+∠D=180(两直线平行,同旁内角互补). ∴∠B+∠1+∠2+∠D=360(等式的性质). 即∠B+∠BPD+∠D=360. 方法二过点P作PE∥AB(如图3).则PE∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行). …     

一道平几题的启示

初中几何第一册第225页第8题: 在△ABC中,∠C=90°,AC=2.1cm,BC=2.8cm。①求△ABC的面积;②求AB;③求高CD。要求高CD,一般的解法是先求出面积:S_(△ABC),再用勾股定理求斜边AB,然后利用面积相等的关系求出斜边上的高CD,如果不先求出面积和斜边上的长,能否直接求出斜边上的高呢?     

用三角形面积公式妙解几何题

三角形是平面几何中最基础、最常见的一种图形 ,在有关几何的学习中 ,我们常把图中的三角形作为分析的基本单位 ,用三角形面积公式妙解几何题。一、利用同一三角形面积的两个不同表达式图 1例 1　如图 1 ,CD、AE分别是的边AB、BC上的高 ,且CD =4、AE =8、BC =6 ,求AB的长。分析 :求出△ABC的面积 ,此题便很容易得解。因为△ABC的面积可以由AB及AB边上的高和BC及BC边上的高得到两个不同的表达式 ,从而得到只含有未知数AB的相等关系。解 :△ABC的面积可表示为 :12 ·AB·CD或 12 ·BC·AE即12 ·AB·CD =12 ·BC·AEAB …     

圆中两值问题

《平面几何》的圆中两值问题是学生在解答过程中最容易出错或者遗漏的问题 ,为了降低出错率 ,在中考前的总复习 ,师生不妨尝试如下的归纳和总结 1　由于圆是轴对称图形 ,所以它的轴对称性会造成两值问题例 1　在⊙O中 ,弦AB与弦CD平行 ,且⊙O的直径为 1 0cm ,AB =6cm ,CD=4 5cm ,求 :AB与CD两弦之间的距离是多少 ?图 1　　　　　　　　图 2解　设弦AB与CD之间的距离是EF由图 1看到EF=OE OF .由图 2看到EF=OE-OF .其中 ,OE =OB2 -EB2 =2 5- 9=4 ,OF =OD2 -FD2 =5.所以 ,AB与CD两弦之间的距离是 ( 4 5cm或 ( 4 - 5)cm .…     

几个三角题的几何解法

在一些刊物上经常见到用三角方法解几何题的文章,有些解法很简练,值得学习和提倡。为了引导学生开拓思路,一题多解,有些三角题也可用几何方法解。现举几例如下: 例1 已知tgθ=1/2,tgφ=1/3,并且θ,φ都是锐角,求证θ+φ=45°。(六年制重点中学高中代数第一册,p.184,习题十、11题)。证∵θ、φ都是锐角,且tgθ<1,tgφ<1,∴0<θ<45°,0<φ<45°,0<θ+φ<90°。如图1,作线段AB=5,在AB上取AD=2;作CD⊥AB,D为垂足,使     

开拓思路 一题多解

在中学几何教学中,我体会最深的,就是在总复习时,教者要抓住各种基本几何图形及各阶段知识之间的内在联系,把知识系统化.通过一题多解,开拓学生的思路,灵活的利用所学知识,探求新的解题方法.培养学生分析问题解决问题的能力.如下题:已知:△ABC中,AB=AC,D在AB延长线上,AB=BD,E为AB的中点.求证:CD=2CE此题可利用中点,平行线,三角形、平行四边形的性质,及平行线等分线段定理的推论,三角形的全等、相似和余弦定理来证.     

反思，在考试后

学习了数学九年级第24章《圆》(华东师范大学版)的知识,在出单元检测题时,我选择了这样一道题:当汽车在雨天行驶时,要启动前方挡风玻璃上的雨刷器,如图所示,AB、CD在B处固定连接(不能转动),小明量得CD=80cm、∠D-BA=20°,CA=115cm、DA=35cm。当AB绕A转动90°时,求CD扫过的面积。(2004年济南市中考题第18题)选择这道题的原因有两点,首先,它与实际生活联系相当紧密,着重考察了学生运用所学的知识解决实际问题的能力;其次,在解这个题目时,需要运用转换的思想(将阴影部分转换为两个扇形面积相减的形式)。而在此之前,我也给学生介绍过这…     

证明线段相等的一些常见方法

<正>证明线段相等,是初中阶段学生学习几何后经常遇到的一类问题,是学生学习几何的常见入门题,也是学生后继学习的基础.本文以一道题为例,介绍证明线段相等的常见方法.问题如图1,在四边形ABCD中,∠ACB=∠BAD=105°,∠ABC=∠ADC=45°,求证:CD=AB.     

“四法”求线段的长

在考题中我们会经常遇到求线段长度的题目,怎样求解呢?下面谈谈解这类题的方法与策略.一、分段求解法例1如图1,已知线段AD=6cm,线段AC=BD=4cm,E、F分别是线段AB、CD的中点,求线段EF的长度.     

明晰错因 深度反思——以一道期末几何试题为例

<正>学生在学习几何知识或解决几何问题时,常陷入推理误区,如,推理依据模糊、推理过程生搬硬套、因果不明等错误情况．下面笔者以九年级的一道期末试题为例加以分析．一、问题呈现如图1,⊙O的弦AB,CD的延长线相交于点E,且EA=EC．求证:AB=CD.