巧用韦达定理求三角函数值

例1,求值:①A_1=sin20°+sin40°-sin80°; ②A_2=sin20°sin40°-sin40°sin80°-sin80°sin20°; ③A_3= sin20°sin40°sin80°; ④A_4=sin~220°+sin~240°+sin~280°; ⑤A_5=sin~320°+sin~340°-sin~380°。对于上述三角函数的求值问题,常规的方法一般要用到和积互化公式,本文将介绍用韦达定理巧妙求这类三角函数的方法,它可使得其     

一道三角题的多种解法及其推广

例求sin2 20°+cos2 50°+sin20°cos50°的值．解法1:原式点评:本解法先通过半角公式进行降幂,然后运用三角函数的和差化积与积化和差公式进行化简,同时把握对公式的灵活应用,体现了数学中     

x^2＋xy＋y^2的一种变形及其巧妙应用

代数式x2+xy+y2是一个非常特别的式子,它的一种特殊的变形与余弦定理的结构式非常吻合,即x2+xy+y2=x2+y2-2xycos 120.°这种特殊的变形可以用来处理一些相关的问题,往往能使某些问题化生为熟、化繁为简、化难为易,达到非常好的效果.例1(1995年全国高考题)求sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°的值.分析标准答案和其他一些解法都利用了和差化积、积化和差等公式,而现在这两组公式不作为学生的记忆公式,要求已经淡化.能否利用其他方法来解答陈题就是一个挑战.由于sin220°+cos250°+sin 20c°os 50°=sin220°+sin240°-2sin 20°sin 40°·c…     

一类三角求值问题的一般化

新编高中数学第一册,有一类例题和习题,比如154页的例题:“求 cos10°cos30°cos50°cos70°的值”,它具有角度等差,函数同名连乘的特点。教材通过积化和差来解答此类问题,籍以巩固有关的三角公式。但这种解法一般比较麻烦,本文试图导出几个公式,使解答问题简化。为了解决问题的方便,我们先从三倍角     

勤思考 巧变换

1998年成人高考文科数学试题的第(21)题:如果 sinα cosα=1/5(0<α<π)那么 tanα的值是____。这是一道利用三角函数恒等变换的“给式求值”的填空题,解答此题时需要利用同角三角函数的基本关系式,两角和与两角差的三角公式,倍角公式,半角公式,万能公式,甚至诱导公式,和差化积公式等,使用公     

三角运算关键在变

三角恒等变形,公式繁多,技巧性强,不易熟练掌握.但如果在“变”字上下功夫,常可抓住关键,找到解题途径.一、变角对已知角进行和、差、倍、半角等各种形式的合理变换,有利于某些三角函数化简求值.例1(1997年高考题)sin7°+cos15°sin8°cos7°+sin15°sin8°的值为.解:由7°=15°-8°,利用差角正弦和余弦公式,化简得原式=sin15°cos15°=1-cos30°sin30°=2-3.练习(1992年高考题)已知π2<β<α<3π4,cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-35,求sin2α的值.二、变项对于某些三角函数化简,求值问题,若添项或拆项等,则往往能一举成功.例2(1994年高考题)…     

一个三角公式及其应用

在平面三角中,有不少如cos20°cos40°cos80°,sin20°sin40°sin80°,tg10°tg50°tg70°,…之类的求值问题。它们具有同一形式:f(a)·f(60°-a)·f(60°+a)。这里f(x)表示某个三角函数。对这类求值问题我们将利用三倍角公式的变形来寻求统一的处理。     

例说三角变换技巧

由于三角公式比较多,变换灵活多样,解答此类题时,考虑选择恰当的变换就能使复杂问题简单化,收到事半功倍之效果。下面介绍几种常用的三角变换技巧.变换三角函数名称一般地,在一个三角函数式中,若含有多种三角函数,则常把“切割”统一变为“弦”,减少函数种类,易于变形.例1.求tan20°+4sin20°的值.解:原式=sin20°+4sin20°·cos20°cos20°=sin20°+2sin40°cos20°=(sin20°+sin40°)+sin40°cos20°=2sin30°·cos10°+sin40°cos20°=sin80°+sin40°cos20°=2sin60°·cos20°cos20°=2sin60°=3√.点评:本题的解题关键有二:一是把tan2…     

合理安排数学第二课堂教学内容

一、课堂内容要与已有知识相联系 完全陌生的课题,难以使学生感兴趣,若能把已有知识加以延伸、拓展,并增加一定新内容,可使学生有“耳目一新又似曾相识”之感,引起学生兴趣。例如,将高一代数第一册中求“ cos10°· cos30°· cos50°· cos70°的值”改编为“求 sin10°· sin30°· sin50°· sin70°的值”,经过启发,学生完全可以仿照课堂上方法进行一题多解 .在此基础上再提出两种思路：①利用三倍角公式求解;②应用二倍角公式求解,让学生试探,诱导学生得出正弦、余弦的三倍角公式： sin3θ =3sinθ－ 4sin3θ =4sinθ sin…     

构造模型解三角题

通过构造数学模型来解决三角问题,目的在于培养学生观察、分析、联想的思想方法以及创造性思维能力. 例1 (1991年全国高中联赛题)求cos210°+cos250°-sin40°sin 80°的值. 导析:看到此题,学生自然会联想到课本中的例题:求sin210°+cos240°+sin 10°cos 40°的值.他们会通过降次、和差化积来解决这个问题.这时,我们可引导学生观察,揭示其本质.注意到sin 40°=cos 50°,sin 80°=cos 10°,且问题关于cos 10°,     

一类三角函数求值题的结构分析

一类三角函数求值题的结构分析□徽县一中李宗奇在中学数学复习资料上，常见到下面两道三角求值题：１．ｃｏｓ３６°ｃｏｓ７２°；２ｃｏｓ２０°ｃｏｓ４０°ｃｏｓ８０°．对１来说，采用积化和差得ｃｏｓ３６°ｃｏｓ７２°＝１２（ｃｏｓ１０８°＋ｃｏｓ３６°）...     

用设值法解一类三角求值问题

八七年高考数学(理科)试卷第三题:求sin10°sin30°sin50°sin70°之值。不少学生采用设值法解: 设所以s=1/2~4。即 sin10°sin30°sin50°sin70°=1/2~4。这种解法确实简单,但是,这类求值问题用设值法解并非都能奏效。如:求 sin12°sin24°sin48°sin84°之值就很难解决。那么满足什么条件能用设值法求呢?请看下面定理:     

一个还须加强的“注意”

某本正式出版的高考复习用书《数学》的第241页里,有一道例题是: “例6 解方程sin5x=sin4x”,接着,编者应用移项及和差化积的方法求出方程的解集,此处略。最后,编者还特地提醒学生说:“注意,本例也可以用同名函数相等的条件来解。sinA=sinB→A=nπ+(-1)~nB, cosA=cosB→A=2nπ±B,     

三角积化和差习题例析

在高中数学的三角函数知识中 ,积化和差知识显得比较难学 ,但是它却是常用的基础知识 ,且富含技巧性 .本文根据高中数学课文习题的解答 ,分析说明积化和差公式与解题的一些运用技巧 ,以帮助读者对积化和差知识的加深理解 .例 1　①求ｓｉｎ2 0°ｓｉｎ40°ｓｉｎ80°的值 ;　　②求ｃｏｓ2 0°ｃｏｓ40°ｃｏｓ80°的值 .分析 :因式中角的和差 :2 0° 40°=6 0°,40° 80° =1 2 0°,80°-4 0°=6 0°,出现特殊角 ,所以在ｓｉｎ2 0°ｓｉｎ40°ｓｉｎ80和ｃｏｓ2 0°ｃｏｓ40°ｃｏｓ80°中 ,都可运用积化和差公式对其中任意两个因式进行…     

求sin18°和cos36°值三法

<正>特殊角三角函数值的求解方法通常不惟一,例如,求sin15°的值既可以用半角公式,又可以用差角公式,还可以用数形结合等方法.本着这种一题多解的思想,本文将用三种方法分别来求sin18°和cos36°的值.     

构造法解数学问题

有些数学题目在求解时,若正面入手或者说用常规方法会相当烦琐,如果采用构造法会使问题变得简单。下面试举几例。一、构造三角形求三角函数值 例：求sin^2 20°＋cos^2 80°＋√3sin20°cos80°的值。分析：首先．使用降幂公式,然后利用和差化积与积化和差进行恒等变形,化简求值可解此题。本题也可以利用构造法,构造三角形,     

半角公式的应用

1.用公式求值例1.求tg67°30′的值解一:tg135°/2=(1-135°/1+135°)~(1/2)=(1+cos45°/1-45°)~(1/2) =((1+cos45°)~2/sin~245°)~(1/2)=(1+cos45°)/sin45°解二:tg67°30′=sin135°/1+cos135° =(2~(1/2)/2)/1-2~(1/2)/2=2~(1/2)+1 解三:tg67°30′=1-135°/sin135°=(1+45°)/sin45° =(1+2~(1/2)/2)/2~(1/2)/2=2~(1/2)+1 上面三种解法,以解三为最简便。一般说来,如果α的正弦和余弦都知道,或者α为特殊角,那么,用公式Tα/2=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)求值比较方便,特别用tgα/2=(1-cosα)/sinα最为方便,因为它的分母为单项式。但如果只知道cosα的值,α又不是特殊角,一般说用Tα/2=±(1-cosα/1+cosα)~(1/2)求值好些。     

规避难点的一个策略

我们在教学中发现,学生面对和差化积或积化和差问题,常因记不清公式或不能灵活运用公式而举步维艰,甚至中途放弃,这是很可惜的．改进教法,我们引领学生关注和差化积与积化和差公式的产生过程,采用均值法构建角,然后直接运用两角和差的三角公式求解和差化积与积化和差问题,较好地规避了三角求值时的难点,收到了良好的效果．     

高考数学模拟试卷(四)

参考公式 三角函数和差化积公式:‘n·+sin口一,sin宁·。宁;“·+”“二2此宁·邸宁;‘na一s、,=2哪甲·sin二。一、一2sin甲·沟 ;︸一,‘二Zn正棱台、圆台的侧面积公式:。1,,S台侧二言(“‘+“)l,其中。‘,‘分别表示上、下底面周长,l表示斜高或母线长.台体的体积公式: 1,,,厂二石7共.,、,V台“一言(S‘+了S’s+S)h, 其中S’、S分别表示上、下底面积,h表示高.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的4个选项中,只有一项符合题目要求.1.已知函数夕=f(x),集合M={(x,夕)l)二f(x)},N={(x,夕)}x‘1,少〔RI,则集合M门…     

高考三角函数试题的“夯基、拓深、达优”模式探讨

正三角函数作为一种特殊的函数模型,是考生必须重视的一个重要学习环节,在高考中发挥着举足重轻的作用。江苏省2013高考数学考试说明中,三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式、正弦函数和余弦函数的诱导公式、正余弦函数以及正切函数的图像与性质、二倍角的正弦余弦正切为B级要求;函数y A sin(wx)图像与性质、积化和差、和差化积及半角公式为A级要求;两角和差的正弦余弦及正切为C级要求。能正确掌握并理解三角函数的概念及性质是解题的基本要求,灵活运用公式提升运算能力是解题的关键。