一望而解2002年部分高考题

20 0 2年高考数学试题的解法灵活多样 ,丰富多彩 .其中许多试题不需动笔就能一望而解 ,答案一见得知 .1 活用性质例 1　函数ｙ =2ｘ1 ｘ,ｘ∈ (-1 , ∞ )图像与其反函数图像的交点坐标为 .解　利用性质“函数ｙ=ｆ(ｘ)的图像和它的反函数ｙ=ｆ-1(ｘ)的图像关于直线ｙ=ｘ对称” ,易知两函数图像若有交点 ,则交点必在对称轴ｙ=ｘ上 ,那么由ｙ=2ｘ1 ｘ=ｘ(ｘ>-1 )即得ｘ=0或ｘ =1 ,从而ｙ=0或ｙ=1 ,故交点坐标为 (0 ,0 ) ,(1 ,1 ) .2 逆向思考例 2　函数ｙ =ａｘ 在 [0 ,1 ]上的最大值与最小值的和为 3 ,则ａ =.简析 :反过来考虑 ,易知 ,函…     

有奖解题擂台(59)

1　求证 :ｓｉｎ2 0 0 3° >12 ·ｃｏｓ2 0 0 2°。　 (不要使用计算器等工具。)2　试求出两条抛物线 ｙ2 =2 5 -6ｘ与ｘ2 =2 5 -8ｙ的所有的交点的坐标。　(不要使用一元四次方程求根公式。)3　试求出所有的有序正整数对 (ａ ,ｂ) (ａ≤ｂ) ,使得ａ能整除ｂ2 +ｂ +1 ,且ｂ能整除ａ2 +ａ +1。4　试求出所有的函数 ｆ :Ｒ -{0 ,1 }→Ｒ -{0 },使得对于任何的满足“ｘ·ｆ(ｙ) ,ｙ -ｘ∈Ｒ -{0 ,1 }”的ｘ∈Ｒ -{0 },ｙ∈Ｒ -{0 ,1 },都有　　ｆ(ｘ·ｆ(ｙ) ) =(1 -ｙ)·ｆ(ｙ -ｘ)。5　试求出所有的函数 ｆ :Ｒ→Ｒ ,使得对于任何的ｘ、ｙ∈…     

不求反函数巧解题

在涉及反函数的一些问题中 ,有时不求反函数 ,反而可以更准确更快捷地解题 .一、求值例 1　若ｆ(ｘ) =3ｘ-4 ,则ｆ- 1 ( 2 ) =.解　设ｆ- 1 ( 2 ) =ａ ,则ｆ(ａ) =2 ,即3ａ-4 =2 ,ａ=2 ,∴ｆ- 1 ( 2 ) =2 .例 2　已知ｆ(ｘ) =ｘ2 (ｘ≥ 1) ,又ｆ- 1 (ｍ)= 4,则ｍ =.分析　∵ｆ- 1 (ｍ) =4,∴ｆ( 4 ) =ｍ ,∴ｍ =42 =16.例 3　若ｆ(ｘ) =3ｘ2 +2 (ｘ ≥ 0 ) ,则ｆ- 1 [ｆ( 2 ) ] = .分析　应用结论 :若函数ｙ=ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ ,ｙ∈Ｃ)存在反函数ｙ =ｆ- 1 (ｘ) ,则ｆ[ｆ- 1 (ｘ) ] =ｘ(ｘ∈Ｃ) ,ｆ- 1 [ｆ(ｘ) ] =ｘ(ｘ∈Ａ) .由上易知ｆ- 1 …     

用曲线系方程解题应注意的两个问题

大家都知道 ,过两曲线ｆ1(ｘ ,ｙ) =0 ,ｆ2 (ｘ ,ｙ) =0的支点的曲线系方程为ｆ1(ｘ ,ｙ) λｆ2 (ｘ,ｙ) =0 (λ∈Ｒ) .利用它来处理解几中过两曲线交点的某些问题显得特别方便 ,但是运用曲线系方程时应注意以下两个问题 .1　应判定解的存在性应判定解的存在性 ,是指解题之前首先应判定曲线ｆ1(ｘ,ｙ) =0与ｆ2 (ｘ ,ｙ) =0是否有交点 .如果有交点 ,则可用曲线系方程解之 ;如果无交点 ,说明本题无解 ,否则就可能将无解题求出解来 .例 1　求过两圆ｘ2 ｙ2 - 2ｘ - 3=0和ｘ2 ｙ2- 10ｘ 2ｙ 2 5 =0的两个交点的直线方程 .解　过两圆交点的曲…     

数学竞赛专栏——有奖解题擂台 (4 9)

题　设Ｒ是由全体实数组成的集合 ,函数 ｆ :Ｒ→Ｒ对于任意的ｘ、ｙ∈Ｒ ,都有ｆ(ｘ ｆ( ｙ) ｘ·ｆ( ｙ) ) =ｙ ｆ(ｘ) ｙ·ｆ(ｘ) ①求证 :或 ｆ(ｘ) =ｘ　 ( ｘ∈Ｒ) ,或ｆ(ｘ) =-1 ,-ｘ/ ( 1 ｘ) ,　 当ｘ =-1时 ;当ｘ≠ -1时。　　 (注　供题人对第一位完整且正确的应征解答者授予奖金 4 0元 )。数学竞赛专栏——有奖解题擂台 (4 9)$广州教育学院数学系@吴伟朝! (邮编 :5 1 0 4 0 5 )     

关于直线y=x对称到关于直线y=kx+p对称的图像表达式

从函数的表达式判定其在坐标系中的几何特性是中学生的学习难点之一。现行高中教材里在介绍到反函数部分时 ,也就只证明了互为反函数的两个函数图像关于直线 ｙ =ｘ对称。本文介绍另一个更具有启发性的一种证法 ,并沿着其思想方法探索出一般函数 ｙ=ｆ(ｘ)关于直线 ｙ =-ｘ对称的函数表达式是ｙ =-ｆ- 1(-ｘ) ,最后用代数方法推出关于更一般的直线 ｙ=ｋｘ+ ｐ对称的函数表达式。从方程的观点来看 ,函数与反函数没有什么区别 ,点 (ｘ ,ｙ)满足方程 ｙ =ｆ(ｘ) ,也满足方程ｘ =ｆ- 1(ｙ) ,所以 ,取ｘ为自变量画出的曲线ｙ=ｆ(ｘ) ,若改取 ｙ…     

由条件f(ωx φ)≡f(x)确定的函数f(x)

本文的ｆ(ｘ)是定义在Ａ上的函数 ,对于任何一个ｘ ∈Ａ ,都有ｆ(ωｘ φ) =ｆ(ｘ) (其中ω、φ为常数 ) .众所周知 ,在上式中当ω =1、φ≠ 0时 ,,ｆ(ｘ)是Ｔ=φ的周期函数 ;当ω =- 1时 ,ｆ(ｘ)的图像关于直线ｘ =- φ2 对称 ;当ω =0时 ,ｆ(ｘ)是常值函数ｙ =ｆ(φ) .那么 ,当ω≠± 1、0时 ,ｆ(ｘ)又是如何的函数呢 ?设ｕ=ωｘ φ ,ｘ0 是Ａ上的任意一个自变量值 .1)若｜ω｜ <1,记ｕ1=ωｘ0 φ ,ｕ2 =ωｕ1 φ=ω2 ｘ0 ωφ φ ,… ,ｕｎ=ωｕｎ-1 φ=ωｎｘ0 ωｎ-1φ … ωφ φ=ωｎｘ0 1-ωｎ1-ωφ ,… .当ｎ→ ∞时 ,ｕｎ…     

f[f（x）]=（x＋1）／（x＋2）确定的函数f（x）是1／（1＋x）吗？

在近期出版的一些参考资料中,均选编了下面一道题目并给出下述解法:已知ｆ(ｘ)满足ｆ[ｆ(ｘ)]=ｘ 1ｘ 2.求ｆ(ｘ).解:∵ｆ[ｆ(ｘ)]=ｘ 1ｘ 2=11 11 ｘ,∴ｆ(ｘ)=11 ｘ.该解法属定义法,看似简捷明快,令人耳目一新,但仔细推敲,题目和解法均有值得商讨之处.众所周知,两函数ｆ(ｘ)与ｇ(ｘ)构成复合函数ｆ[ｇ(ｘ)],需具备条件ＲｇＤｆ,其中Ｒｇ是ｇ(ｘ)的值域,Ｄｆ是ｆ(ｘ)的定义域.ｆ(ｘ)=11 ｘ的定义域Ｄｆ={ｘ|ｘ∈Ｒ,且ｘ≠-1},值域Ｒｆ={ｙ|ｙ∈Ｒ,且ｙ≠0}.因为ＲｆＤｆ,所以ｆ(ｘ)=11 ｘ在自然定义域上不能构成复合函数ｆ[ｆ(ｘ)].当然,如…     

二元(或三元)一次方程组的解法

解二元 (或三元 )一次方程组除教材中介绍的代入消元法和加减消元法两种基本解法外 ,为了开阔同学们的视野 ,提高解题能力 ,本文补充几种解法 ,供参考。一、整体代入法———当方程组中某个未知数的系数成整数倍时 .例 1　解方程组 2ｘ +5 ｙ =- 2 1　①ｘ +3ｙ =8　　　②解 :由①得 2 (ｘ +3ｙ) -ｙ =- 2 1　③ ,把②代入③得 16 - ｙ =2 1,ｙ =37,把 ｙ =37代入②解得ｘ =- 10 3,∴ ｘ =- 10 3ｙ =37二、消常数项法———当方程组中的常数项成整数倍时 .例 2　解方程组4ｘ +3ｙ =10　　①9ｘ - 7ｙ =- 5　　②解 :① +②× 2得2 2ｘ - 11…     

从方程的观点看函数f(x)=x+1/x的图像及其性质

关于函数 ｆ(ｘ) =ａｘ + ｂｘ(ａ>0 ,ｂ >0 )的图像与性质的文章 ,近来的一些数学刊物上发表很多 ,数学高考题中也出现过与这个函数有关的题目 .但对这个函数的图像和性质的认识都是不完整的 ,有的只是给出了它的最值和单调性 ,有的给出了这个函数的草图 (不完整的 ) .本文利用坐标的旋转公式来定性的给出当ａ =1、ｂ=1时 ,函数 ｆ(ｘ) =ｘ+1ｘ 的图像及其性质 .首先来给出平面直角坐标系的坐标旋转公式 ,设平面直角坐标系ｘＯｙ绕着它的原点Ｏ逆时针方向旋转θ后得到新坐标系ｘ′Ｏｙ′ ,则得到新旧坐标系中坐标的换算关系 :　　 ｘ=ｘ′…     

错在哪里

题　两抛物线 ｙ2 =7-3ｘ与ｘ2 =7-3 ｙ在第一象限内交点的个数为 (　　 )(Ａ) 1　　 (Ｂ) 2　　 (Ｃ) 3　　 (Ｄ) 4解　考查两抛物线 ｙ2 =7-3ｘ ,ｘ2 =7-3 ｙ可知它们关于直线 ｙ =ｘ对称 ,以 ｙ =ｘ代入方程 ｙ2 =7-3ｘ ,得ｘ2 +3ｘ -7=0 ,解得ｘ =-3± 3 72 ;以ｘ =ｙ代入方程ｘ2 =7-3 ｙ ,得 ｙ2 +3 ｙ -7=0 ,解得 ｙ =-3± 3 72 。欲使两抛物线在第一象限内相交 ,须ｘ >0且 ｙ >0 ,∴两抛物线在第一象限内的交点只有 1个。故选 (Ａ)。解答错了 !错在哪里 ?上述解法的错误在于 :误认为互为反函数的两个函数 ,若是有交点 ,则交点一定在…     

能用反函数法求函数的值域吗?

在讨论求函数的值域时 ,有些书上介绍了一种方法 ,即所谓的“反函数法” .例如 [1]介绍“反函数法”如下 :如果函数 ｆ(ｘ)存在反函数ｘ =ｆ-1(ｙ) ,则ｘ =ｆ-1(ｙ)的定义域就是函数 ｙ=ｆ(ｘ)的值域 .例 1　求函数 ｙ=1(1-ｘ) (1- 2ｘ) 的值域 .解　由函数 ｙ =1(1-ｘ) (1- 2ｘ) ,解得ｘ =3ｙ± ｙ2 +8ｙ4 ｙ .其定义域由 ｙ2 +8ｙ≥ 0 ,且 ｙ≠ 0确定 ,所以 ,ｙ=1(1-ｘ) (1- 2ｘ) 的值域是……我们认为 ,“反函数法”作为一种求函数值域的方法是不成立的 .从映射的观点看 ,一个函数包含三个要素 :数集Ａ、Ｂ ,以及从Ａ到Ｂ的对应法则 ｆ :…     

高考数学强化训练(试验教材)

一、选择题 :本大题共 14小题 ,共 6 0分 .第 ( 1)～( 10 )题每小题 4分 ,第 ( 11)～ ( 14 )题每小题 5分 ,在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .( 1)如果集合Ａ ={ｙ| ｙ =-ｘ2 1,ｘ∈Ｒ},Ｂ= {ｙ|ｙ=-ｘ 1,ｘ∈Ｒ},则Ａ∩Ｂ =(　　 ) .Ａ .( 0 ,1)或 ( 1,1)　　　Ｂ .{( 0 ,1) ,( 1,1) }Ｃ .{0 ,1}　　　Ｄ .( -∞ ,1]( 2 )设函数 ｆ(ｘ) =1-ｘ1 ｘ的反函数为ｈ(ｘ) ,又函数 ｇ(ｘ)与ｈ(ｘ 1)的图象关于直线ｙ=ｘ对称 ,那么ｇ( 2 )的值为 (　　 ) .Ａ .- 1　　Ｂ .- 2　　Ｃ .- 43　　Ｄ .- 13( 3)函数 ｙ =Ａｓｉ…     

有奖解题擂台(52)

题　 1 设Ｒ是由全体实数组成的集合 ,试求出所有的函数 ｆ :Ｒ→Ｒ ,使得对于任何的ｘ、ｙ∈Ｒ ,都有ｆ(ｘ ｆ(ｘ)·ｆ( ｙ) ) =ｆ(ｘ) ｘ·ｆ( ｙ)。2 试给出所有的函数 ｆ :Ｒ→Ｒ ,使得对于任何的ｘ、ｙ∈Ｒ ,都有 ｆ(ｘ ｆ(ｘ·ｙ) ) =ｆ(ｘ) ｘ·ｆ(ｙ)。　　 (注　供题人对每一个小题的第一位完整且正确的应征解答者各授予奖金 30元 )。有奖解题擂台(52)$广州大学理学院数学系@吴伟朝!邮编:510405     

函数的定义域和反函数

不少同学在学习函数时 ,由于不了解定义域对函数性质的影响 ,因而不太注意定义域 .本文讨论定义域和反函数存在的关系 .课本是这样给出反函数的概念的 :一般地 ,函数 ｙ =ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ)中设它的值域为Ｃ ,我们根据这个函数中ｘ、ｙ的关系 ,用 ｙ把ｘ表示出 ,得到ｘ=φ(ｙ) ,如果对于 ｙ在Ｃ中的任何一个值 ,通过ｘ =φ(ｙ) ,ｘ在Ａ中都有唯一的值和它对应 ,那么ｘ=φ(ｙ)就表示 ｙ是自变量 ,ｘ是自变量 ｙ的函数 ,这样的函数ｘ= φ(ｙ) (ｙ∈Ｃ)叫做函数ｙ=ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ)的反函数 ,记作ｘ =ｆ- 1 (ｙ) ,习惯写为ｙ =ｆ- 1 (ｘ) .ｙ=ｆ(…     

错在哪里

题　求函数 ｙ =-ｘｘ2 +2ｘ +2 的值域。解　ｘ2 +2ｘ +2 =(ｘ +1 ) 2 +1≥ 1 >0 ,函数定义域为Ｒ。下用△法解题。原式变为　ｙ ｘ2 +2ｘ +2 =-ｘ①两边平方并整理得ｆ(ｘ) =(ｙ2 -1 )ｘ2 +2 ｙ2 ｘ +2 ｙ2 =0②∵ｘ∈Ｒ ,∴△≥ 0 ,即 (2 ｙ2 ) 2 -4(ｙ2 -1 )·2 ｙ2 ≥ 0 ,即 -ｙ2 (ｙ2 -2 )≥ 0 ,亦即 ｙ2 -2≤ 0 ,∴ -2≤ ｙ≤ 2 ,故原函数的值域为 [-2 ,2 ]。解答错了 ,错在哪里 ?在用△法解题时 ,首先要求二次项系数 ｙ2 -1≠0 ,即 ｙ≠± 1 ,上面解法中应完整考虑 ｙ2 -1≠ 0且△≥ 0 ,这时解得 -2≤ｙ≤ 2且 ｙ≠± 1。又 ｙ =± …     

不等式x1^2／y1＋x2^2／y2≥（x1＋x2）^2／y1＋y2的解题功能

这是 1990年一道脍炙人口的全国高考试题 :题　如果实数ｘ、ｙ满足等式 (ｘ- 2 ) 2 + ｙ2 =3,求ｕ=ｙｘ 的最大值 .此题是个多解题 ,考生往往借助三角知识 ,或求助于数形结合解之 .其实 ,下述代数方法也颇为有趣 .解　由题设ｙ=ｕｘ ,则3=(ｘ- 2 ) 2 +ｕ2 ｘ2 =ｕ2 (ｘ- 2 ) 2ｕ2 + ｕ2 (-ｘ) 21≥ [ｕ(ｘ - 2 ) +ｕ(-ｘ) ]2ｕ2 + 1=4ｕ2ｕ2 + 1,解 3≥ 4ｕ2ｕ2 + 1,得 3≥ｕ ≥ - 3,故 (ｙｘ) ｍａｘ =3.当然 ,还有意外收获 :尚知 (ｙｘ) ｍｉｎ =- 3.分析解题过程 ,该题恰恰巧用了如下定理 :定理　设ｘ1、ｘ2 ∈Ｒ ,ｙ1、ｙ2 ∈Ｒ+,则　 …     

运用方程思想求函数值域

在求函数的值域问题中 ,有一类题可以转化为求关于ｘ的方程有解时 ,ｙ(作为参数 )的取值范围问题。为什么能这样求呢 ?下面给出此种解法的依据 :命题　设 ｙ=ｆ(ｘ)的定义域为Ｄ ,值域为Ｚ。方程 ｆ(ｘ) -ｙ =0经过同解变形后得方程 ｆ(ｘ ,ｙ) =0 ,并设此方程中ｘ的取值范围为Ｄ ,ｙ的取值范围为Ｚ ,若Ｄ =Ｄ ,则Ｚ =Ｚ。证明　由函数的定义 ,对任意的 ｙ0 ∈Ｚ ,则在Ｄ中必有一ｘ0 ,使 ｙ0 =ｆ(ｘ0 ) ,即 (ｘ0 ,ｙ0 )为 ｆ(ｘ0 ) -ｙ =0的一组解。又Ｄ =Ｄ ,则ｘ0 ∈Ｄ ,由于对 ｙ施行的是同解变形 ,故 (ｘ0 ,ｙ0 )也为 ｆ(ｘ ,ｙ) =0的解…     

关于初等函数图像的对称性

对称性是函数图像的重要特性之一 ,一方面学生难于理解 ,另一方面高考和高中会考中频繁出现。其对称性试题可分为两种类型 :一是解几中点对称问题 ;二是函数图像的对称问题。而现行高中数学课本中关于对称性的结论主要有 :(1)奇函数的图像关于原点成中心对称图形 ;偶函数的图像关于 ｙ轴成轴对称图形 ;(2 )函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图像和它的反函数 ｙ =ｆ-1(ｘ)的图像关于直线 ｙ =ｘ对称等。从历年高考和高中会考的试题来看 ,难度要比教材中出现的题要稍难一点。能否给出几个一般性的结论 ?回答是肯定的。笔者给出了一般性的几个命题 ,供同行参…     

浅谈抽象函数的解题策略

抽象函数是考试中经常考查的问题 考生面对此问题会本能地产生恐惧 其实抽象函数面纱并不神秘 ,只需多留心观察平时学过的函数 ,借助这些基本函数 ,抓住其特征结构 ,打开思维的闸门 ,问题是能够解决的 本文试从特征结构入手 ,探讨某些抽象函数的解题策略 1　ｆ(ｘ+ｙ) =ｆ(ｘ) + ｆ(ｙ)型问题中出现 ｆ(ｘ + ｙ) =ｆ(ｘ) +ｆ( ｙ)这个特征结构 ,联想一次函数及其相应的性质 ,则问题迅速可解 例 1　设ｆ(ｘ)是奇函数 ,对于任意ｘ ,ｙ∈Ｒ ,都有 ｆ(ｘ + ｙ) =ｆ(ｘ) + ｆ( ｙ) ,且ｘ >0时 ,ｆ(ｘ)<0 ,ｆ( 1) =- 2 ,试问在 - 3≤ｘ≤ 3时…