数学问答

问题 155.已知a、b、c是正实数且a b c=1,求证:1/a b 1/b c 1/c a≥9/2.     

《一组猜想不等式的证明》引发的思考

在文[1]中,陆爱梅老师提出一组四个猜想不等式: 猜想1 已知a,b,c是满足abc=1的正数,证明:a2/a3+2+b2/b3+2+c2/c3+2≤1/3(a+b+c); 猜想2 已知a,b,c是满足a+b+c=1的正数,证明:a2/b+c2+b2/c+a2+c2/a+b2＞3/4; 猜想3 已知a,b,c是满足a+b+c=3的非负实数,证明:a+b/a+1+b+c/b+1+c+a/c+1≥3; 猜想4 已知a,b,c是两两不同的实数,证明:(a-b/a-c)2+(b-c/b-a)2+(c-a/c-b)2≥a2+c2/a2+b2+b2+a2/b2+c2+c2+b2/c2+a2.     

一道数学竞赛试题的多解及推广

题目设a,b,c为正实数,且a＋b＋c=1,求证：（a2＋b2＋c2）（1/b＋c＋b/a＋c＋c/a＋b）≥1/2.     

例析解题中应用参数的妙招

例1a、b、c是非零实数,且a＋b-c/c=a-b＋c/b=-a＋b=c/a,     

一道第42届IMO试题的推广

第42届IMO第2题是对所有正实数a,b,c,证明本文将其推广为对所有正实数a,b,c,及λ≥8,证明证明不等式左边可化为令bc/a2=x,ca/b2=y,ab/c2=z,则 xyz=1.从而只要证明对于满足xyz=1的一切正     

真的需要分类讨论吗?——几个不等式的证明及探究

正引言文[1]—[4]研究了如下几个有意思的不等式:问题1已知a,b,c为正实数,求证:(a2+b2)2≥(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).问题2已知a,b,c为正实数,求证:(ab)2≥1/4(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a))c+a-b).问题3若a,b,c为正实数,且满足a+b+c=3,求证:(3/a-2)(3/b-2)(3/c-2)≤1.     

把握整体,灵活解题

在解决有些问题的过程中,我们往往不知不觉地把注意力集中在一个局部上,甚至被一些假象迷惑,因而迷失了解题的方向,如能全面地观察、分析整体与局部、整体与结构的关系,则可把握问题的实质,灵活解题,现介绍几种方法如下:一、整体代入例1 巳知a、b、c为不等于零的实数,且a+b+c=0,则a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)的值为__.(1999年山东省初中数学赛题)解:求值式=a+b+c/a+a+b+c/b+a+b+c/c-3=-3二、整体换元例 2 已知实数a、b满足a2+ab+b2=1,求a2-ab+b2的取值范围.(1998年黄冈市初中赛题)解:设a2-ab+b2=t,由a2+ab+b2=1,得     

数学奥林匹克初中训练题（126）

第一试 一、选择题(每小题7分,共42分) 1.设a、b、c、p是不全相等的实数,且a+1/b=b+1/c=c+1/a=p. 则a2b2c2=( ). (A)-p (B)p (C)p2     

一个数学竞赛题的推广和背景剖析

近期,有学生向笔者请教两道老题：（1）已知实数a、b、c互不相同,满足a＋1/b=b＋1/c=c＋1/a=k,试求k的值.（2）（2003年全国初中数学联合竞赛试题）已知实数a、b、c、d互不相同,满足a＋1/b=b＋1/c=c＋1/d=d＋1/a=k,试求k的值[1].很显然,题（1）和题（2）是同一类型的两个问题,两题的做法也极为相似.笔者用如下方法给学生做了解答.     

一类不等式的探究

文[1]-[4]研究了如下几个有意思的不等式: 问题1:已知a,b,c为正实数,求证:(a2+ b2)2≥(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) 问题2:已知a,b,c为正实数,求证:(ab)2≥1/4(a+b+c)(a+ b-c)(b+c-a)(c+a-b) 问题3:若a,b,c为正实数,且满足a+b+c=3,求证:(3/a-2)(3/b-2)(3/c-2)≤1.     

联想·构造·创新

实数a,b,c满足a+b+c=0,abc=1,求证：a,b,c三数中必有一数大于3/2。     

复数集内一元二次方程的解法

实系数一元二次方程ax^2＋bx＋c=0在实数范围内的解的情况：ax^2＋bx＋c=a（x^2＋b/ax）＋c=a[x^2＋b/ax＋（b/2a）^2]＋c-b^2/4a=a（x＋b/2a）^2＋4ac-b^2/4a=0,即（x＋b/2a）^2=b^2-4ac/4a^2.     

一个不等式猜想的再推广及简证

宋庆老师在文[1]末提出了四个不等式猜想,其中猜想1如下: 猜想 若a,b,c是正实数,且满足abc=1,则a2/a+2+b2/b+2+c2/c+2≥1. 文[2]运用均值不等式的变式x2/y≥2x -y(x＞0,y＞0,当且仅当x=y时等号成立)证明了这个不等式猜想及如下一般性推广: 推广:若a,b,c,λ,μ是正实数,且满足abc=1,则a2/λa+μ+b2/λb+μ+c2/λc+μ≥3/λ+μ.     

一个不等式的别证及其推广

题目已知实数a＞1,b＞1, c＞1.求证: a3/b2-1+b3/c2-1+c3/a2-1≥j9√3/2. (1)当且仅当a=b=c=√3时,(1)式等号成立.     

通过一题多解拓展思路

一日,数学老师在黑板上写下这样一个题目:已知实数a,b,c满足a b c=6……①a2 b2 c2=12……②.试证:a=b=c.     

促进化学思维训练的好题

一、选择题 1.设a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数,不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为集合M和N,那么"a1/a2=b1/b2=c1/c2"是"M=N"的( ). A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件     

一道联赛题的推广

题1 已知实数a、b、c、d互不相等，且n＋1/b=b＋1/c=c＋1/d=d＋1/a=x．     

应用等比定理要注意条件

等比定理“b/a=c/d=…=m/n(?)(a c … m)/(b d … n)=a/b”是平几里成比例的线段一节的定理。其中字母 a、b、c、d、…m、n 都表示线段,属正实数,和式“a c … m”与“b d … n”也表示线段,亦为正实数。如果我们将定理中各元素所属范围加以扩充,不难证明:当 a、b、c、d、…m、n 及 a c … m,b d … n 均为非零实数时,定理依然成立。这样,定理便可广泛应     

绝对值问题5例

例1 若a、b、c均为非零实数,且a＋b＋c=0,求代数式｜a｜b/a｜b｜＋｜b｜c/b｜c｜＋｜c｜a/c｜a｜的值。     

构造一元二次方程解题的常用方法

<正>某些非一元二次方程的问题,如果能抓住特征,那么可以通过构造一元二次方程来解决,例说如下.一、利用已知等式构造一元二次方程例1若a,b,c为实数,且a2+b2+c2-ab-bc-ca=0,求证:a=b=c.证明由已知等式,可构造关于c的一元二次方程c2-(a+b)c+(a2+b2-ab)=0.∵c为实数,∴Δ=[-(a+b)]2-4(a2+b2-ab)