挖掘数学例题的潜能

原题：如图,△ＡＢＣ是一块锐角三角形余料,边ＢＣ＝１２０毫米,高ＡＤ＝８０毫米,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在ＢＣ上,其余两个顶点分别在ＡＢ、ＡＣ上,这个正方形零件的边长是多少？（人教版初中《几何》第二册Ｐ２４３例５）将此题进行一般化处理并...     

类比推广发现

文 [1 ]指出了我国 2 0 0 0年高中数学联赛一道几何题与ＩＭＯ -1 8的几何题的联系 ,并给出其三角证法。很显然 ,前者是后者的引申。反过来 ,在解题的思路上 ,前者就可以化归为后者 ,并从中得到解题的启示。先来看这两个题目 :命题 1 ( 2 0 0 0年联赛题 )　如图 1 ,在锐角三角形图 1ＡＢＣ的ＢＣ边上有Ｅ、Ｆ两点 ,使∠ＢＡＥ =∠ＣＡＦ ,作ＦＭ⊥ＡＢ ,ＦＮ⊥ＡＣ(垂足为Ｍ、Ｎ) ,延长ＡＥ交△ＡＢＣ外接圆于Ｄ ,证明 :四边形ＡＭＤＮ与△ＡＢＣ的面积相等。题中当角α =∠Ａ/2时 ,就变成了下题 :命题 2 (ＩＭＯ -2 8)　在锐角三角形ＡＢＣ…     

一道课本例题的教学探讨

人教版的初中《几何》第二册第９１页例３、第９２页练习第３题、第９６页习题第７题三道图１题都可归结为一个数学模型：已知直线ａ和ａ的同侧两点Ａ、Ｂ（图１）,求作点Ｃ,使Ｃ在直线ａ上,并且ＡＣ＋ＣＢ最小．这是一个几何极值问题,对学生来讲难点有两个,一是为何...     

一道竞赛题的再推广

题　如图 1 ,在等腰直角三角形ＡＢＣ中 ,ＡＢ =1 ,图 1∠Ａ =90° ,点Ｅ为腰ＡＣ的中点 ,点Ｆ在底边ＢＣ上 ,且ＦＥ⊥ＢＥ ,求△ＣＥＦ的面积。( 1 998年全国初中数学竞赛第 1 1题 )文 [1 ]将等腰直角三角形推广到等腰三角形 ,本文再作如下推广。图 2推广 1　如图 2 ,在等腰直角三角形ＡＢＣ中 ,∠Ａ =90°,ＡＢ =ａ ,点Ｅ为腰ＡＣ上的点 ,点Ｅ内分ＣＡ为 :ＣＥ∶ＥＡ =λ ,点Ｆ在底边ＢＣ上 ,且ＦＥ⊥ＢＥ ,则Ｓ△ＣＥＦ=λ2 ａ22 (λ 1 ) 2 (λ 2 ) 。证明　由ＡＣ =ＡＢ =ａ ,ＣＥＥＡ=λ ,知ＥＣ =λａλ 1 ,ＥＡ =ａλ 1 。作ＡＤ…     

巧引辅助线

在平面几何的证明题中,常需引辅助线,而因辅助线引法不同,可使一题有多种证法。那么如何快捷地引出辅助线,巧妙得出结论,往往又是证题的难点。下面就一道几何题的证法分析如下：已知：如图,在ＡＢＣ中,ＡＢ＝ＡＣ,ＡＤ是中线,Ｐ是ＡＤ上一点,过Ｃ作ＣＦ∥ＡＢ...     

图变题活

有这样一道题 :已知如图１ ,Ｂ是线段ＡＣ上的一点 ,分别以ＡＢ、ＢＣ为边在ＡＣ同侧作等边三角形ＡＢＤ、ＢＣＥ ,求证 :ＡＥ＝ＤＣ。我们把此题中的等边三角形ＡＢＤ、ＢＣＥ保持不变 ,只变换图形的位置 ,见图２～图４ ,你能得到哪些结论 ?我们发现图２～图４都有ＡＥ＝ＤＣ的结论 ,而且证明的方法也是类似的。这就说明 ,几何题的图形中蕴含了丰富的内容 ,教师应指导学生掌握一定的变换图形的技巧 ,提高学生对图形的认识能力 ,更能做到减轻学生负担 ,培养学习几何的兴趣图变题活$长沙市长郡中学@刘红艳     

一道习题的多种解法及潜在结论

天津市初三《几何》补充教材中有这样一道检测题：△ＡＢＣ中,∠ＡＣＢ＝９０°,Ｄ、Ｅ为斜边ＡＢ上的点,ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＢ,且ＣＤ＝ｓｉｎｘ,ＣＥ＝ｃｏｓｘ,求斜边ＡＢ．这是一道典型题,本文试就此题（下称原题）的解法和潜在结论做一些开发,以便在教学中培养学...     

一道课本习题的推广及应用

一道课本习题的推广及应用河南省浚县实验中学张立义原题：△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ为ＢＣ边上的高，ＡＤ的中点为Ｍ，ＣＭ的延长线交ＡＢ于点Ｋ，求证：ＡＢ＝３ＡＫ．（九年义务教育《几何》第二册第２６３页第１４题）以此题为基础，逐步削弱条件，可寻找出此类题...     

再谈1999年高考物理第15题的解法

本刊１９９９年第１１期、第１２期都刊登了当年高考物理第１５题的解法，我认为这两种解法比较复杂．它们都应用到几何证明及几何计算，同时，还应用到物理上找等势点、作等势线的知识．这样的解法步骤多、过程复杂，特别是在正方形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ上找Ｂ点的等势点是学生一时难以想到的． 我们知道，在匀强电场中，如两条线平行，则在这两条线上距离相等的两点间电势差相等．如图１所示：ｌ１、ｌ２是匀强电场中的两条平行线，Ａ和Ｂ，Ｃ和Ｄ分别是１１、１２上的两点，如有ＡＢ＝ＣＤ，则有ＵＡＢ—ＵＣＤ．证明如下： 过Ａ点作电场…     

一道题目抄错后的探究

一道非常容易的几何题 ,由于学生抄题画图时 ,把原图 (图 1 )的字母次序抄错 ,画成如图 2 ,导至师生共同探讨一个新题。现就此新题如何寻求用初中数学知识求解及新题的推广题的一般解法作些探讨。图 1　　　　　　图 2原题 :　如图 1 ,已知梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =1 3 ,ＣＤ =2 0 ,ＡＤ +ＢＣ =2 5 ,高为 1 2。求ＡＤ、ＢＣ的长。新题 :　如图 2 ,已知梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =1 3 ,ＣＤ=2 0 ,ＡＤ +ＢＣ =2 5 ,高ｈ =1 2 ,求ＡＤ、ＢＣ的长。1　转化为初等代数问题求解如图 2 ,过Ｂ作ＢＥ∥ＡＤ ,交ＣＤ于Ｅ。考虑△ＢＣＥ ,可知一边ＥＣ =Ｃ…     

对一道竞赛题的变式探究

１９９８年全国初中数学竞赛第二试第１１小题是一道几何计算题．图１题目如图１,在等腰直角三角形ＡＢＣ中,ＡＢ＝１,∠Ａ＝９０°,点Ｅ为腰ＡＣ的中点,点Ｆ在ＢＣ上,且ＢＥ⊥ＦＥ,求△ＣＥＦ的面积．对此,文［１］给出几种解法,知识与技巧含量方面作出较全面深...     

一道几何题的多种证法

一题多解有利于开拓思路，培养思维能力．本文将研究一道几何题的多种证法，供读者参考．题目如图１，已知ＡＢＣ为等边三角形，延长ＢＣ到Ｄ，又延长ＢＡ到Ｅ，使ＡＥ＝ＢＤ，连结ＣＥ、ＤＥ．求证：ＣＥ＝ＤＥ．分析利用全等三角形证明两条线段相等是最基本而又最常用的方法．但在给定图形中并没有以ＣＥ、ＤＥ为一对对应边的全等三角形，因此必须添加辅助线，构成证题所需的全等三角形．具体添加辅助线的方法有如下六种：（１）在ＡＥ上取一点Ｆ，使ＡＦ＝ＣＤ，连结ＤＦ（如图１），则ＥＦ＝ＢＣ＝ＡＣ，ＢＦ＝ＢＤ．于是，欲证ＣＥ＝Ｄ…     

勾股定理与几何证题

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系．它不仅在几何计算中有着广泛的应用,而且在几何证题中也有广泛的应用．因为勾股定理确定的是直角三角形三边平方之间的关系,所以,在几何证题中,凡涉及线段平方的和差关系或线段平方与线段积的和差关系的几何命题,都可以考虑应用勾股定理来加以证明．例１如图１,在△ＡＢＣ中,／Ｃ＝９０°,Ｄ、Ｅ分别是ＢＣ、ＡＣ上的点．求证：ＡＢ２＋ＤＥ２＝ＡＤ２＋ＢＥ２分析求证结论是线段平方的和差关系,而且给定图形中有好几个直角三角形,因此,宜考虑应用勾股定理来证明．在Ｒｔ△ＡＣＤ和Ｒｔ…     

2002年全国初中数学联赛、竞赛试题选讲

本文仅对今年全国初中数学联赛、竞赛部分试题 ,从解题思路、试题背景和答案不严谨等方面 ,谈谈个人的看法 ,不妥之处 ,敬请赐教 .1　两道相关的几何题1.(联赛一试选择题 4 )如图 1,Ｒｔ△ＡＢＣ的面积为 12 0 ,且∠ＢＡＣ =90°,ＡＤ是斜边上的中线 ,过Ｄ作ＤＥ⊥ＡＢ ,垂足为     

用《几何画板》探究高考数学第22题

20 0 0年高考第 2 2题是一道平面解析几何题 :如图 1,已知梯形ＡＢＣＤ中 ,|ＡＢ|=2 |ＣＤ|,点Ｅ分有向线段ＡＣ所成的比为λ ,双曲线过Ｃ、Ｄ、Ｅ三点 ,且以Ａ、Ｂ为焦点 .当 23 ≤λ≤34 时 ,求双曲线离心率ｅ的取值范围 .这里介绍用《几何画板》来探究这道题的过程 ,并谈一点想法 .1.首先是作出双曲线 ,找出点Ｅ( 1)如图 2 ,在ｘ轴上取一点Ｂ ,作线段ＯＢ的垂直平分线 .( 2 )在ＯＢ的中垂线上取一点Ｃ .作Ｂ、Ｃ关于 ｙ轴的对称点 ,得到点Ａ、Ｄ .( 3)连结ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ ,用直线连结ＡＣ .( 4 )以Ｃ为圆心、ＣＢ为半径画圆 ,交直线Ａ…     

谈谈几何作图教学

几何作图是平面几何教学的一个重要内容,它贯穿在初中阶段的５个学期之中。像这样单个知识点的教学延续这么长的教学时间,教材中是独一无二的。搞好几何作图教学,对提高几何教学效率有非常重要的意义。首先,教师应提高对几何作图教学的认识。几何作图是一项实际操作教学,对学生的动手能力、空间观念的培养有着几何推理不能替代的作用。几何论证过程,必须以图作基础,由图可以联想出几何思路,发现证明的突破口。例如,如图,△ＡＢＣ中,ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ,ＡＥ＝ＣＤ,ＡＤ、ＢＥ相交于ＰＢＱ　ＡＤ于Ｑ,求证：ＢＰ＝２ＰＱ。这个题…     

一道全国联赛题的解题探讨

一道数学题 ,从各个不同角度进行探讨 ,可获各种不同解题方法 ,激活思维 ,培养思维的灵活性 ,发散性。本文对 2 0 0 2年全国初中数学联赛解答题第 3小题解法进行了以下几点探讨。题目 ,如图已知△ＡＢＣ三边都是整数 ,∠ＢＡＣ =90°,ＡＤ⊥ＢＣ ,且ＢＤ =1 1 3,求△ＡＤＢ与△ＡＤＣ的周长之比。分析 :此题是一几何求解题 ,大多数学生只从几何角度考虑。忽略了三边是整数的条件 ,因而分析求解较为困难 ,若思路开阔 ,能抓住三边整数 ,结合有关几何知识 ,就易找到解题思路。探讨 ( 1 )由射影定理 ,ＡＢ =1 1 3·ＢＣ ,ＡＢ、ＢＣ为整数 ,必有…     

几何证题思路从何而来

几何证题思路的获得是学生最感头痛的问题,特别是到了初三总复习时,他们面对众多的知识与方法,更难以发现思路的突破口。因此,教师必须重视几何证题思路分析,让学生掌握一定的思考方法。下面以初三复习中的一个题为例,谈谈指导学生获得几何证题思路的方法。已知：如图１,在△ＡＢＣ中,ＡＢ＝ＡＣ,ＤＢ＝ＤＣ,ＤＥ⊥ＡＢ,ＤＦ⊥ＡＣ,垂足为Ｅ、Ｆ。求证：ＤＥ＝ＤＦ。教师出示上述例题后,引导学生思考问题：看到本题条件、结论和图形,你会想到用什么方法来证明？学生思考了一会儿,有人说,由图形易知证明△ＢＤＥ△ＣＤＦ,…     

活而不偏难而适度--浅析安徽1999年中招数学试题第八题

安徽省 1 999年普通高中招生统一考试数学试题最后一题 ,即第八题是这样的 :已知 ,如图⊙Ｏ1与⊙Ｏ2 相交于点Ｃ、Ｄ ,Ａ是⊙Ｏ1上的一点 ,直线ＡＤ交⊙Ｏ2 于点Ｂ。( 1 )当点Ａ在ＣＡＤ上运动到Ａ′点时 ,作直线Ａ′Ｄ交⊙Ｏ2 于点Ｂ′,连结Ａ′Ｃ、Ｂ′Ｃ。证明△Ａ′Ｂ′Ｃ∽△ＡＢＣ。( 2 )问点Ａ′在ＣＡＤ上什么位置时 ,Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ最大 ,请说明理由。( 3)当Ｏ1Ｏ2 =1 1 ,ＣＤ =9时 ,求Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′的最大值。这是一道几何综合题 ,所考查的知识点较多。要做好本题 ,不但要有扎实的基础知识 ,而且要有较强的分析问题的能力。本…     

关于切点三角形的一个结论的应用

初中《几何》第三册第 1 2 9页例 4:如图 1 ,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 外切于点Ａ ,ＢＣ为⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 的外公切线 ,Ｂ、Ｃ为切点 .求证 :ＡＢ⊥ＡＣ .证明略 .我们把上题中的△ＡＢＣ叫做切点三角形 ,显然 ,切点三角形是直角三角形 .巧用切点三角形的这个性质能妙证许多几何问题 ,下面举例说明 .一、用于证明某条线段是某圆的直径图 1图 2　　例 1　如图 2 ,⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 外切于点Ａ ,ＢＣ切⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 于Ｂ、Ｃ ,连结ＣＡ并延长交⊙Ｏ2 于Ｄ .求证 :ＢＤ是⊙Ｏ1 的直径 .分析　连结ＡＢ ,则△ＡＢＣ是切点三角形 ,故∠ＢＡＣ =90°.从而∠ＢＡ…