如何理解“y=f（x）”的一些问题

对函数y=f(x)这一抽象关系式的认识,十分有益于抽象思维能力的提升． 1．y=f(x)的定义域的意义当函数y=f(x)是用一个具体的解析式表示时,它的定义域就是指使这个式子有意义的实数x的集合.比如求函数f(x)=((x 1)~(1/2))1/x-1 的定义域,就是求使((x 1)~(1/2))1/x-1有意义的实     

从函数y=f~(-1)(x+1)与y=f(x+1)的反函数说起

函数问题是中学学习的难点,是高考的必考内容,它不仅内容丰富,而且抽象难懂.而反函数问题更是中学教学过程中难度最大,学生最难学的内容之一.这主要是因为:一是反函数的概念,内容杂、多、抽象,难以理解;二是学生在学习时对一些抽象式子混淆不清,常常出现误解.下面笔者就一道例题的分析谈谈在反函数问题上存在的问题以及采取的相应措施. 例已知:f(x+1)=x/(x+1),求f-1(x+ 1).     

全面解析分式题

一、分辨分式 例1 判断下列各式是否是分式:(1)1/2x;(2)2/x;(3)x/x-1;(4)x2-y/π;(5)3/x+1.解析:判断式子A/B是否为分式,首先看A、B是否为整式,其次要看除式B中是否含有字母.从题中给出的式子可以看出,(1)中的2和(4)中的π不是字母.根据以上的分析可知,(2)、(3)、(5)是分式.点拔:掌握分式的概念是解决这类问题的关键.     

重要极限公式lim/x→0(1+x)1/x=e的推广

lim/x→0(1 x)1/x=e是高等数学中重要的极限公式之一.教材中这类1∞型极限的解题方法比较单一,为此我们拓宽了求解此类型极限的思路,对重要极限公式lim/x→0(1 x)1/x=e进行了推广、论证,推广式的计算方法简便易行,具有较好的实用性.     

Inx,x和差积商函数的解题应用

由式子lnx和x组合而成的函数是考查导数函数的常见载体,考查的形式多种多样,一般地,需通过适当变形,构造函数进行求解.那么,究竟构造什么样的函数较为适宜呢?虽然解无定法,但是,由式子lnx和x构成的一些常见函数如     

方程1/(x a) 1/(x b)=0的启示

众所周知，分式方程的解是均数的相反数．显然，如果c d=a b，那的解也是从而可推知的解也为因此得如下命题1如果a b=c d，且a、b、c、d互不相等，那么分式方程1/x a-1/x d=1/x c-1/x b的解是x=-a b c d/4.证明由1/x a-1/x d=1/x c-1/x b可得（若不然，则有与已知条件矛盾）利用这个结论，可简洁地解一些分式方程例1解方程解这个方程满足命题1的条件，所以方程的解是注利用命题1解分式方程不会产生增根，故验根这一步骤可略去．例2解方程：解原方程可变形为：由命题1，原方程的解为命题1中的x换成关于x的整式、分式、根式，也有类似结论．命…     

解三角问题的若干技巧

一、用合分比定理 合分比定理是：若a/b=c/d≠1,则a＋b/a-b=c＋d/c-d在三角问题中，对形如y=f（x）＋g（x）/f（x）-g（x）的式子，若能活用合分比定理，则可简化问题，优化解题．下面举例说明．     

例说函数f(x)=x+k/x(k>0,x>0)的最值

高考在求最值问题的函数中,有不少都可归结为求函数y=x+k/x(k>0)的最值问题,有鉴于此,适当关注这种函数是有必要的. 应用导数,f(x)=1-k/x2=x2-k/x2,x ∈(0,+ ∞),令f(x)>0,得函数f(x)的单调减区间(0,k~(1/2);令f(x)<0,得f(x)的单调增区间(k~(1/2),+ ∞)。     

符合f[f（x）]= x＋1/x＋2的f（x）存在吗？

文[1]指出，标题中函数方程的解不仅有f（x）=1/1＋x，还有f（x）=2x＋1/x＋3．     

导数公式(|x|)'=x/|x|=|x|/x的应用

导数公式(| x |)'-x/|x|=|x|/x. 证明:(|x|)'=(√x2)'=2x/2√x2=x/|x|=|x|x. 注:基本的导数公式中没有|x|的导数公式,而用复合函数的求导法则可以求出其导数,涉及(|x|)'的问题,有时用公式(|x|)'=x/|x|=|x|/x(x≠0)可以方便简洁的解决.     

直线方程y0y=p（x＋x0）的几何意义

文[2]作为文[1]的续文，在直线方程x0x/a^2＋y0y/b^2=1的三种几何意义探讨启发下，给出了直线方程x0x/a^2-y0y/b^2=1的几何意义．本文再给出直线方程y0y=p（x＋x0）的几何意义，以告对此类问题的探讨圆满解决．     

关于|x+1/x|≥2

“求证 :| x + 1/x|≥ 2 ( x≠ 0 ) .”(人教社高中《代数》(下册 )第 3 0页第 1 1题 )这是训练基本不等式的一个典型题目 ,但是许多学生将其错误地理解成“只要 x≠ 0 ,就能保证 | x + 1/x|≥ 2 .”文 [1 ]举出的反例说明 ,当 x是虚数时 ,可能 | x + 1x| <2 .本文在复数范围内给出 | x + 1/x| >2 (或| x + 1x| =2 ,或 | x + 1/x| <2 )这类关系成立的一个充要条件 .定理 1 :设 z∈ C\{0 } ,m∈ R+,则| z + m2z| <2 m | z + mi| >2 m| z -mi| <2 m　　或 | z + mi| <2 m| z -mi| >2 m　　　　　 ( 1 )| z + m2z| =2 m | z + mi| =2 m　　…     

函数f（x）=sinx/x的内涵、性质及应用

1．函数f（x）=sinx/x的内涵 数学家欧拉利用方程sinx/x=0解决了自然数平方的倒数所组成的无穷级数的求和问题.     

剖析不等式f(x)(g(x))(1/2)≥0的解法

在多年的教学中,我发现学生在求解形如f(x)g(x)≥0的不等式中往往会因为一些原因不清楚而得到错误的结论,究其原因不外乎对式子中的等号理解不透,如何处理这类题呢?下面就以一个例子作为说明.题目:解不等式(x-2)x2-4x 3≥0.误解一:原不等式等价于x-2≥0x2-4x 3≥0,化简得:x≥3,     

探析圆之“最值”

与圆有关的最值问题是一类热点问题,常见解法是观察所给式子的几何意义,充分利用圆的性质,由数形结合来解决. 一、与圆上的点的坐标有关的最值问题 例1 设实数x、y满足x 2+(y-1)2=1,求y+2/x+1的最值. 分析:y+2/x+1的几何意义是圆上一动点(x,y)与已知定点(-1,-2)连线的斜率.     

重要极限limx→∞(1+(1)(x)x=e的推广--1∞型极限的求法

将重要极限limx→∞(1 1/x)^x=e（或limx→0(1 1/x)^x/1=e）推广为极限limx→x0[1 u(x)]^v(x)=e^k（其中limux→x0(x)=0,limvx→x0(x)=∞，limux→x0(x)v(x)=k)。可以解决一般的1^∞型极限的求法，当k为无穷大或不存在时也适用。因此，为求函函数的极限提供了一种简便有效的方法，具有很强的实用性．     

公式lim〔1+(1/x)〕~x x→∞=e的应用探讨

我们知道在极限运算中,公式lim〔1+（1/x）〕^x x→∞=e占有比较重要的地位,常用于求1∞类型的未定式的极限,而几乎所有中高等数学教材都采用拼凑法来解决问题,即主要利用换元法把问题转化为公式形式,再去套用公式.这种方法虽然能解决大部分较简单习题,但它具有一定的机械性和局限性,如求lim（1+1/（3x2-2x+1））^5x2-2 x→∞,这一极限运算符合公式的要求,但硬套公式则要费尽周折;又如求lim（1+2x）^3/sinx x→0,这种极限与公式相似,但与公式有一定的差距,看似可以用公式解决,但用公式又是不能解决的.鉴于这一公式的缺陷,能否找到更灵活、更全面解决问题的方法呢?本文通过假设并证明一个命题,探讨一种新的解法.     

“2x+3=2x+5”是方程吗

最近有老师和学生家长问笔者一个同类的问题:"2x+3=2x+5"是方程吗?这是在一些教辅读物中出现的题目。很多学生和家长认为"2x+3=2x+5"是方程,但是教辅书的参考答案却认为不是方程。认为不是方程的理由是:在这个式子的左右两边同时减去2x,结果得到3=5。显然3≠5,而且也不含有字母,所以不是方程。究竟"2x+3=2x+5"是不是方程呢?笔     

关于带根号函数值域求解问题

<正>在高中数学学习中,带根号函数求值域的问题是一个难点,也是各类考试的重点,在此为大家做一个总结,希望对大家有所帮助。一、单根号问题例1求y=x+(x-1)^(1/2)的值域。分析:这一类问题可以看到式子中有两个部分,即x与(x-1)(1/2)的值域。分析:这一类问题可以看到式子中有两个部分,即x与(x-1)^(1/2)组成,且易知这两部分都是单调递增的,因此可用函数的单调性求解,得y∈[1,+∞)。     

用[x]的一条性质解题

通常用[x]表示不大于x的最大整数,它具有如下一条性质: 若[x]=[y],则,|x-y|<1. 运用这条性质,可解下面类型的习题: 若[f(x)]=[g(x)],求x的取值范围. 本文将举例说明这类习题的解法. 例1 若[5x 2]=[2x 5],求x的取值范围。 解 ∵[5x 2]=[2x 5], ∴由上述性质,得|(5x 2)-(2x 5)|<1,2/3相似文献