一道高考题的五种解法

2002年春季高考第(16)题是: 对于任意两个复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,y1,x2,Y2为实数),定义运算“⊙”为:z1⊙z2=x1x2+y1y2,设非零复数ω1、ω2在复平面内对应的点分别为P1.p2,点o为坐标原点,若w1⊙w2=0,则在△P1OP2中,相似文献   

竞赛题中的新定义运算

对于新定义下的运算问题,必须认清其运算特点,将新定义的运算转化为熟知的普通四则运算,使问题顺利获解.例1有一个运算程序,可以使:当m×n =k(k为常数)时,得(m+1)×n=k-1,m×(n+1)=k+2.     

对《曲线的运动与变换》一文的一点修正

<中学数学杂志>2001年第6期<曲线的运动与变换>一文中有一个结论是:"函数y=f(x)定义在R上,则函数y=f(ωx+A)与y=f(B-ωx)的图象关于直线x=B-A/2对称".我认为,函数y-f(ωx+A)与y=f(B-ωx)的图象关于直线x=B-A/2ω对称.     

赏析自主招生考试中的复数问题

复数具有代数形式、三角形式、指数形式等多种表述方式,所蕴含的实际意义是以新的视角、新的途径沟通了代数、三角和几何等内容之间的联系,由此,该知识点是高校自主招生考试(也是高考与数学竞赛)的一个重要内容. 1复数知识 1.1 复数的表示形式与运算 代数形式:z=a+bi(a、b∈R); 三角形式: z=r(cosθ+i sinθ)(r≥0,θ∈R); 指数形式:z=reiθ(r≥0,θ∈R). 例1 设复数 ω1=-1/2+√3/2i, ω2 =cos2π/5+isin2π/5. 令ω=ω1ω2.则复数 ω+ω2+…+ω2011=(______). (2011,复旦大学自主招生考试) 解 显然,ω1=e 2πi/3,ω2 =e2πi/5. 则ω=ω1ω2=e16πi/15. 故ω+ω2+…+ω2011=ω(1-ω2011)/1-ω 而ω2011=ω2010·ω=ω,于是, ω+ω2+…+ω2011 =ω.     

关于三角形高线角平分线旁切圆半径的两个不等式

笔者在研究三角形中的不等式时得到下面几个有趣的三角形不等式,即 定理1 在△ABC中,设a,b,c分别为BC,CA,AB的边长,相应于顶点A,B,C,△ABC的中线长为ma,mb,mc;内角平分线长为wa,wb,wc;高线长为ha,hb,hc,旁切圆半径为ra,rb,rc,△ABC的面积为S,则4S√m2a/r2a+m2b/r2b+m2c/r2c≥ab+bc+ac≥4S√m2a/ω2a+m2b/ω2b+m2c/ω2c≥4√3S.(1)     

三角函数的周期与等差数列

我们知道,三角函数是周期函数.正弦函数的周期是2π,正切函数的周期是π.函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,x∈R)的周期是2πω,函数y=Atan(ωx+φ),x≠kπω+π2ω-φω(其中A>0,ω>0,k∈Z)的周期是πω.余弦函数与余切函数有类似的结论.这些函数的周期与等差数列有何关系呢?性质1一条平行于x轴的直线y=m(m为常数)与函数y=Asin(ωx+φ),x∈R(A>0,ω>0)的图象相交,则(1)如果直线y=m(m为常数)交于函数图象的最高(或最低)点,则n个周期内有n个或n+1个交点,任意区间内的交点(不少于3个)的横坐标顺次构成等差数列,等差数列的公差就是函数周期…     

新定义运算

在数学竞赛试题及近年的中考试卷上,“新定义运算”问题时有出现,部分考生因乍遇这类题目而显得无从下手,其实,解答这类问题并不难,关键是要求考生打破思维定势,准确理解定义运算的规定,按照法则转化为常规的加、减、乘、除、乘方运算,而问题的转化就是对同学们能力的考查,举例说明如下.例1“三角”表示运算a-b+c,“方框”表示x-y+z-w,则×=摇摇摇.解:由定义,得原式=(19-96+49)×(55-1+99-6)=-28×147=-4116.例2我们定义一种新运算:△(a,b)=ab+a+b郾◇(a,b)=a2-ab+b2郾那么△〔△(2,3),◇(3,2)〕=摇摇摇.解:由定义△(2,3)=2×3+2+3=11,◇(3,…     

追本溯源 回归定义

著名数学教育家波利亚说过,"回到定义去"是一项重要的智力活动.数学概念常以定义的形式描述,它蕴涵着极其丰富的内涵.深刻理解定义,可抓住问题的实质,从而找到解决问题的有效途径.下面就定义在解题中的应用举例说明.一、解集合题例1对于任意两个正整数m,n,定义运算"*":当m,n都是正偶数或都是正奇数时,m*n=m+n;当m,n中有一个为正奇数,另一个为正偶数时,m*n=     

注重问题驱动,落实学科素养——对“函数y=Asin(ωx+φ)”的点评

课例“函数y=Asin(ωx+φ)”定位准确,突出了数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模等素养的落实。在教学方法上,注重以问题驱动引导学生进行探究;注重情境育人、文化渗透。     

二次根式的新题归类

近年来,关于二次根式的命题,出现了几类新题型,这些新题型能拓宽视野,培养我们综合运用知识解决新问题的能力. 一、新定义型 例1 定义运算“@”的运算法则为:x@y=√xy+4,则(2@6)@8=______. 分析:根据新运算的定义得2@6=√2×6+4=4. (2@6)@8=4@8=√4×8+4=6. 温馨小提示:新运算的实质是给出了一种运算规则.读懂新运算法则,把新运算法则转化为加、减、乘、除、乘方、开方等运算是解题的关键.     

闭的实连续统RΩЛ上的无究小微积分学（Ⅰ）

在1中,简述了毕达哥拉斯、千德谟克利特、柏拉图和伽俐略对不可分量的看法。2中给出了不可分量的定义和两个例子：H和Ω,其中H是指向正无究大的区间的交集合,它是一个R中的空集合3中分别对H和Ω定义了它们的由二元组表示的区间套组成的偏心的Dedeking-Huang分割+和+ω和不等式0&;lt;+&;lt;正实数x&;lt;+&;lt;+∞。4中证明了：实数的空集合H的测度大于任何给定的自然数,这是本文中对Lebesque测度提供的第一个反例。5中提出了吞吐能力的概念,6中对H和Ω定义了加法运算,如：H+实数α=H,H+H=H等,明显地具有吞吐能力,7中根据加法的最大吞吐能力定义H和Ω的测度,有公式m(H)=H等,在8至12中定义了H和Ω的的负元素H和Ω,并0定义了它们的序、加法、乘法和测度。13中定义了实连续统RΩH。它的元素有：R的元素、H、H和对任意α∈R,a→Ωt和Ω→a。自14到20定义了RΩп的元素的Dedekind-Huang分割表示、序、加法、乘法和测度。     

由条件f(ωx+ψ)≡f(x)确定的函数f(x)

本文的f(x)是定义在A上的函数,对于任何一个x∈A,都有f(ωx+ψ)=f(x)(其中ω、ψ为常数).众所周知,在上式中当ω=1、ψ≠0时,f(x)是T=ψ的周期函数;当ω=-1时f(x)的图像关于直线x=-ψ/2对称;当ω=0时f(x)是常值函数y=f(ψ).那么,当ω≠±1、0时f(x)又是如何的函数呢?     

布尔代数——符号逻辑中的代数学

一个布尔代数是由一个非空集合β和定义在β上的两个二元运算“+”和“·”所组成的数学系统。它使得 (1)“+”和“·”的运算都是交换的     

盘点中考二次根式问题

二次根式是初中数学的重要组成部分,与之有关问题在中考中经常遇到.解答它们的难度并不是很大,关键在于灵活利用二次根式的定义、性质及运算法则.一、字母取值问题例1无论x取任何实数,代数式x2-6x+m都有意义,则m的取值范围为.分析:依题意x2-6x+m≥0,则m≥6x-x2.要求m的取值范围,应     

定义新运算

我们从小学就开始学习了数的加、减、乘、除四则运算.到了初中,所学习的数域扩大了,运算又增加了乘方和开方.除此之外,还可以定义新运算,考察大家临场反应能力,运算能力.例1(2006年,北京)用“×”定义新运算,对于任意实数a,b,都有a×b=b2 1,例如,7×4=42 1=17,那么5×3=___________;当m为实数时,m×(m×2)=___________.解析题中定义了新运算a×b=b2 1,这个新运算过程由平方和加法构成,新运算结果与a无关,题中还针对新定义运算给了一个例子,通过阅读更易理解新定义运算.5×3=32 1=10;当m为实数时,m×(m×2)=m×(22 1)=m×5=52 1=26.例2(2006…     

从高考试题看运算能力的培养

怎样培养和提高学生的运算能力?本文根据1990～1992年三年高考数学试题给予的启示,拟从以下方面谈一些粗浅看法(如无说明,以下用的均理科试卷题号——90年为A型卷)。 1.加强概念的教学与复习,是培养和提高运算能力的基础。在中学数学里,运用一些基本概念本身就能解决一些基本运算问题并能找到解题途径(例如绝对值,函数奇偶性、增减性定义,圆锥曲线定义等)。如92年的第(2)题:“如果函数y=sin(ωx)cos(ωx)的最小正周期是4π,那么常数ω为(A)4;(B)2;(C)1/2;(D)1/4”,只需对函数、最小正周期的概念清楚,就能迅速正确她作出解答(D)。再如90年文科第(24)题:“已知a>0,a≠1,解不等式,     

函数图象初等变换的应用

学生在高一代数中已学过y=α(x+m)~2+n的图象,及y=Asin(ωx+φ)+B(ω>0)的图象.如果利用类比的方法把所学的知识适当地归纳与引申,对发展学生的思维将是有益的.兹举下面几例.     

利用基本三角函数求周期

周期性是三角函数最重要的性质之一，我们知道三种基本函数y=Asin(ωx+φ)+b、y=Acos(ωx+φ)+b、y=Atan(ωx+φ)+b(A≠0，ω)&;gt;0，φ，b为常数)中系数A，φ，b对于三角函数的周期没有根本的影响，因而考虑y=sinωx、y=tanωx两种最基本函数的周期即可。利用周期的定义，结合三角函数图象，设法化为最基本三角函数的周期，是求(或证明)三角函数周期最基本的方法。     

电路及磁路复习指导

本课程本学期学习内容从第十章至第十三章。考试方法仍为闭卷,填空题与计算题各约占50％。填空题主要有两种形式:一种为填入有关的定义、概念、重要结论等。例如:“RLC串联带通电路的中心角频率ω_0=__,上、下半功率点角频率ω_1,ω_2是指__,通频带的定义为__。”对以上空格,应分别填入正确的定义:ω_0=1/√LC”,“当转移电压比的模|A_u|下降为最大值的70.7％时的下截止频率ω_1和上截止频率ω_2”,“BW=ω_1-ω_2”等。对这类定义或概念填空题,要求准确掌握,学生应对学习     

电路及磁路复习指导

本课程本学期学习内容是第十章至第十三章。考试方式为闭卷 ,填空题与计算题各约占 5 0 %。填空题主要有两种形式 :一种为填入有关的定义、概念、重要结论等。例如 :“RLC串联带通电路的中心角频率ω0 =,上、下半功率点角频率ω1、ω2 是指 ,通频带的定义为。”对以上空格 ,应分别填入正确的定义 :ω0 =“1/ LC” ,“当转移电压比的模 |Au|下降为最大值的 70 7%时的下截止频率ω1和上截止频率ω2 ” ,“BW =ω1-ω2 ”。要做好这类定义或概念填空题 ,学生应对学习内容中有关的重要定义、概念及结论在深刻理解的基础上牢记、背熟。填空…