微积分的历史、现状和未来（五）

9 非标准分析的现状简介 前面已提到，在微积分出现大约300年之后，美国数学家鲁宾孙又复活了牛顿和莱布尼兹那种无穷小的数，重新把微积分建立在无穷小的数的基础上。     

微积分的历史、现状和未来(四)

8 标准分析的现状简介17世纪后半期,牛顿和莱布尼兹首先使用无穷小建立了微积分的基本概念,但是其推理过程却存在着显著的矛盾,在后来长达200年的时间里,经过达兰贝尔、哥西以及外尔斯特拉斯等人的努力,终于建立了严格的极限理论,把微积分的基本概念全部建立在极限概念之上,使得上述矛盾第一次被成功地消除。与此同时,也把牛顿和莱布尼兹的那种无穷小彻底地赶出了微积分阵地,并且使用无穷小变量,即其极限为零的变量代替了无穷小的数。但是,大约又过了100年,即微积分出现大约300年之后,美国数学家鲁宾孙(Abraham Robinson,1918     

超幂理论在分析中的应用

自从十七世纪,Newton和Leibniz建立了微积分以后,“无穷小”究竟是什么东西曾引起很大的争论,直致十九世纪,Cauchy对“无穷小分析”严格化以后,人们对“无穷小”才有了深刻的认识。在微积分中,“无穷大”、“无穷小”并不是一个“数”,而是作为一个变量,从此,“无穷大”、“无穷小”在数坛上销声灭迹了。本世纪六十年代初,数理学家Robinson创立了非标准分析。他利用现代数理逻辑的概念与方法,使“无穷大”和“无穷小”作为“数”而进入微积分,从此“无穷大”“无穷小”重返数坛。但是,Robinson用了极其抽象的非标准模型论(Model,Theory)作为基础。因此,它对于分析中的一些基本定理的讨论是极其抽象和复杂的。本文利用Van、Osdol的     

微积分的历史、现状和未来(六)

10 展望未来展望任何一门科学的未来都是十分困难的,但是,我们仍然坚信当代最伟大的数理逻辑专家哥德尔(Gdel)的话:“我们有充分的理由相信,以这种或那种形式表示的非标准分析,将成为未来的分析学.”首先,从上述历史和现状的叙述,我们可以看到,微积分初期就处在一种朴素的非标准分析状态.从非标准分析的角度来看,牛顿和莱布尼兹的概念和推理基本上是正确的.虽然莱布尼兹关于微分 dx 及 dy 在不同的地方有不同的解释,但是,在紧要关头,他总是认为 dx 是一个正无穷小,而dy 是无穷小(可能是正无穷小,负无穷小或零).当莱布尼兹把曲线的切线定义为连结曲线上无限接近的两点(即这两点隔开一段距离,而这段距离小于任何指定的长度时)的直线时,他把这两点的横坐标之差称为 dx,把这两点的纵坐标之差称为     

微积分的历史、现状和未来（四）

8 标准分析的现状简介 17世纪后半期，牛顿和莱布尼兹首先使用无穷小建立了微积分的基本概念，但是其推理过程却存在着显著的矛盾。在后来长达200年的时间里，经过达兰贝尔、哥西以及外尔斯特拉斯等人的努力，终于建立了严格的极限理论，把微积分的基本概念全部建立在极限概念之上，使得上述矛盾第一次被成功地消除。与此同时，也把牛顿和莱布尼兹的那种无穷小彻底地赶出了微积分阵地，并且使用无穷小变量，即其极限为零的变量代替了无穷小的数。但是，大约又过了100年，     

微积分的历史、现状和未来(三)

6 标准分析的形成经过一个多世纪的努力,微积分基础严格化的进程在19世纪初获得重大进展,其代表人物是法国数学家哥西(A.L.Cauchy,1789～1851).哥西在他的《代数分析教程》(Cours d′analyse alge′brigue,1821)和《无穷小分析教程概论》(Re′sume′des lecons sur le calcul infinite′simal,1823)中,对微积分的基本概念:变量、函数、极限、连续性、导数、微分、积分及收敛等等给出了较明确的定义.哥西在他的1821年的书中写道:“依次取许多互不相同的值的量叫做变量”.“当变量之间这样联系起来的时候,即给定了这些变量中     

统一无穷理论是消解悖论的典型案例

从数理辩证逻辑的观点看“统一无穷理论”,可以消解涉及无穷小的微积分悖论和涉及无穷大的集合论悖论,并能引出与有穷实数相互谐调一致的,涉及大小实无穷常数与最大最小潜无穷常数间的加、减、乘、除、乘方、开方的非标准数计算,由此讨论了“统一无穷理论”存在的合理性.     

微积分的历史、现状和未来（三）

经过一个多世纪的努力，微积分基础严格化的进程在19世纪初获得重大进展，其代表人物是法国数学家哥西（A.L.Cauchy,1789-1851）,哥西在他的《代数分析教程》（Cours d＇ analyse alge＇brigue,1821）和《无穷小分析教程概论》（Re＇sume＇ des lecons sur le calcul infinite＇simal,1823）中，     

封面数学家简介：

柯西(Cauchy,Augustin Louis 1789-1857)法国数学家,19世纪前期世界数学领袖人物,柯西是仅次于欧拉的多产数学家,发表论文800篇以上,其中纯数学约占60%,几乎涉及当时所有的数学分支,数学物理(力学、光学、天文学)约占35%,很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼,如柯西不等式、柯西积分公式等。其主要成果是:研究代换理论;证明了费马关于多角形数的猜测;用复变函数的积分计算实积分;建立了微积分的基础极限理论,还阐明了极限理论;研究复平面上的积分及留数计算,并应用有关结果研究数学物理中的偏微分方程等;研究了复变函数的级数展开和微分方程(强级数法);开创了积分几何,在代数方面首先明确提出置换群概念;独立发现了格拉斯曼的外代数原理。柯西出版的著作有《代数分析教程》、《无穷小分析教程概要》和《微积分在几何中应用教程》。     

无限小及其意义

微识分学是由牛顿(1642—1727)和莱布尼兹(1646—1716)所创立。当初,这两人创立微积分的思想是不同的。牛顿是用极限的思想,而莱布尼兹是用无限小的思想。按牛顿的思想形成的极限微积分理论——标准分析,在今天已广泛流行;而按莱布尼兹的思想直到三百年后的二十世纪六十年代才由美国数学家逻宾逊用数理逻辑的方法形成第一个精确的无限小微积分理论——非标准分析。二十年来熟悉这一理论的人逐渐多起来,他们发现无限小微积分与极限微积分相比,有着突出的优点:在理论上不仅本身是严密完整的,而且可以使许多数学证明大为简化,在方法上简洁直观。这将有助于新的发现;也便于教学,学好初等代数的人就能接受。     

我的故事之主人的微笑

Hello,我的名字叫星期天。唉,我就知道自己不出名,这都要怪主人鲁宾孙。众所周知,世界上最伟大探险家鲁宾孙在荒岛上收留了星期五,其实也收留了     

电话上的数阵

数学家对电话键盘突然冒出一个想法：键盘上有10个数字，如果把键盘上两个功能键*及#也换成某个数，那么就会变成一个四行三列的数阵(如图1)．如果再允许调整各个数的位置，     

鲁宾孙的精神冲突解析

英国十八世纪伟大作家笛福的长篇小说《鲁宾孙漂流记》历来受到广大中国读者的青睐 ,近年还被教育部颁布的《全日制义务教育语文课程标准》指定为必读书目。关于小说的主人公鲁宾孙 ,国人大多长期接受恩格斯的评价 ,说他是一个“真正的资产者” ,体现了资本主义原始积累时期新兴资产阶级的奋发进取与创业精神。恩格斯的评价应该说是准确地把握了鲁宾孙的本质特性。但是 ,诞生于启蒙时代的“第一部小说”———《鲁宾孙漂流记》呈现给我们的绝不是一个简单的寓言式人物 ,他的信念和行为必须有足够充分的多样性。本文试就鲁宾孙的精神冲突进行…     

对“微积分基本定理”的认识和理解

微积分基本定理(又称牛顿一莱布尼兹公式)是微积分中最重要的定理,它是由英国数学家牛顿(1642—1727)和德国数学家莱布尼兹(1646—1716)在十七世纪首先发现的,被命名为牛顿一莱布尼兹公式。它的出现标志着微积分的完成,成为数学发展史上的一个里程碑。定理命名中的“基本”二字,已表明了它在微积分中的地位,因此,对每个学习微积分的人来说。都应该对建立微积分基本定理的历史有所了结,进一步加对定理的认识和理解。本就此问题作一些相应的介绍。     

超幂理论在泛函分析中的应用

本世纪六十年初,Robinson创立的非标准分析[1],是以数理逻辑中的非标准模型为基础的,其中的基本定理,例如“紧性定理”的证明是极其抽象及复杂的。我们在[2]中不用数理逻辑,只用到以Zorn引理为基础的超滤集,建立了实数R的超幂(非标集实数系)＊R,把“无穷大”、“无穷小”作为＊R中的数,建立其运算规则,并利用*R证明了分析中函数连续及一致连续的定理。本文把[2]中的做法,推广到线性赋范空间中去,在(一)中建立线性赋范空间E的超幂(线性赋超范空何)＊E;在(二)中我们研讨了叙列的超幂和算子的超幂,并证明了叙列收敛、算子连续、紧致等定理。     

鲁宾孙的个人需要和自我实现

美国心理学家亚伯拉罕.马斯洛将人类需要从总体上分成基本需要和成长性需要两大类,其下面根据对人直接生存意义及生活意义的大小按层次排列为生理、安全、爱和归属、尊重、认知、审美、自我实现七种需要,即"需要层次"理论,它是解释人类个体行为的良好工具。丹尼尔.笛福的代表作品《鲁宾孙漂流记》记叙了主人公鲁宾孙的传奇经历。笔者认为,鲁宾孙人生的每一阶段无不对应着马斯洛对于人类需要的理解。借需要层次理论,对鲁宾孙的行为与形象进行全新的解读,提出鲁宾孙是资产阶级自我实现个人主义"本性"的典型代表。     

关于无穷小的若干比较方法及应用

函数的极限是极限理论的一个重要组成部分，无穷小的定义与计算则是函数极限的基础.无穷小的比较问题是微积分的重要内容，为了更系统地解决此类问题，文章从无穷小比较的定义、等价无穷小定阶法、比较定阶法、泰勒公式定阶法、求导定阶法这五种方法进行了讨论，并且分别给出了对应的实例分析.灵活使用这些方法，可以做到更加有效地解决无穷小的比较问题.     

无穷小的再认识

通过实例说明在实数域范畴内对无穷小认识的局限性,并简单介绍了在非标准分析下的对无穷小的认识。     

伟大探索 光辉成就——诺贝尔物理学奖获得者简介 1929年——德布罗意

德布罗意(Louis Victor De Brbgliie,1892-1960)因发现电子的波动性,获得了1929年度的诺贝尔物理学奖。从1922年起,德布罗意(左图)在法国科学院《波动力学》杂志上,连续发表了数篇有关波动和粒子统一的论文。1923年夏天,他提出了一个新的设想——把光的波粒二象性推广到物质粒子特别是电子上。他把这一想法以两篇短文的形式分别发表于《通报》杂志和《自然》杂志的评注栏内。1924年,他在巴黎大学的博士论文《关于量子理论的研究》中,详细地阐述了这一想法,提出了微观粒子波动性的物质波理论。1925年,他把这篇100余页的论文发表在《物理年…     

伟大探索光辉成就--诺贝尔物理学奖获得者简介

1929年-德布罗意德布罗意(Louis Victor De Broglie,1892-1960)因发现电子的波动性,获得了1929年度的诺贝尔物理学奖。从1922年起,德布罗意(左图)在法国科学院《波动力学》杂志上,连续发表了数篇有关波动和粒子缔一的论文。1923年夏天,他提出了一个新的设想——把光的波粒二象性推广到物质粒子特别是电子上。他把这一想法以两篇短文的形式分别发表于《通报》杂志和《自然》杂志的评注栏内。1924年,他在巴黎大学的博士论文《关于量子理论的研究》中,详细地阐述了这一想法,提出了微观粒子波动性的物质波理论。1925年,他把这篇100余页的论文…