两个精彩平方和不等式的加权推广

文[1]给出了几个精彩的平方和不等式,文[2]对文[1]进行了一点深化,本文拟对文[1]的两个精彩不等式进行加权推广．     

两类不等式的完善

在不等式解题教学研究中，有两类分式不等式成为关注的热点，然而在众多研究文章巾，有的条件过宽，导致结论错瀑，如文[1]、文[2]（笔者在文[3]中指出）；有的条什过窄，导致应用范围缩小，如文[4]、文[5]．最近文[6]、文[7]对这两类不等式作了较深刻的探讨，但若从数学的完整性考虑，则结论还有待完善．     

一类数列不等式的巧证

拜读文[1],觉得很受用．因为文[1]给出两类不等式证明的一些共性与规律,让学生有章可循,而不是盲目地探索．笔者在教学实践中发现,还有一类数列不等式：a1＋a2＋a3＋…＋an〈m（其中m为常数）就不能用文[1]提供的方法来证,但可用与其类似的方法来解决．     

对一道猜想不等式的别证

对文[2]提出的一般的猜想不等式,文[1]用柯西不等式、幂平均不等式等对其进行了证明．这里,我们尝试用拉格朗日条件极值法来重新解决这个问题．     

对一个不等式猜想的探讨

文[2]、[3]的作者注意到,对充分大的n,不等式①并不成立,且分别给出了反例．文[2]的反例是n=19,a=0．1,b=0．2,c=0．7,文[3]的反例是n=9,a=0．1,b=0．3,c=0．6．但另一方面,对于较小的n,不等式①又是成立的．当n=1时,不等式①即为瓦西列夫不等式（参见[4]）,当n=2时,不等式①的正确性文[1]已证．那么,不等式①究竟对哪些n成立,又对哪些n不成立,就是一个颇耐人寻味的问题了．本文拟对此进行一些探讨．     

也谈利用柯西不等式及其推论证明不等式

文[1]在分析文[2]解题过程后,从柯西不等式出发,推导出两个推论(推论1和推论2),并通过举例试图说明利用这两个推论可方便迅速地解决很多不等式证明问题.笔者仔细研读后,发现文[1]中给出的方法比文[2]的方法方便得多;但同时也发现文[1]对柯西不等式表达不够严谨,给出的两个推论过于特殊化(受条件     

利用凸函数性质巧求3/cosx+2/sinx的最小值

问题 求y=3/cosx＋2/sinx（0〈x〈π/2）（＊）的最小值 文[1]、文[2]分别利用柯西不等式的推广、导数知识将此问题得以解决,文[3]巧用基本不等式,通过两次缩小妙求问题的答案．最近笔者研究发现,利用凸函数性质也可以巧妙获解．本文给出这个巧解,以飨读者．     

一个优美不等式的简证与再推广

文[1]给出了一个优美不等式,文[2]又给出了它的两个推广,但其证明过程较为繁杂,本文将运用Radon不等式[3],给出这个优美不等式及其推广的一个简单证明,并进一步给出两个推广．     

一组优美三角不等式的引申与推广

文[1]由一个代数不等式引申出一组优美三角不等式,文[2]对几个有趣的三角不等式推广到圆的内接四边形之中,笔者研读后受到启发,也得到了一组优美的三角不等式．     

关于复矩阵乘积的特征值的两点注记

本文给出了两个复矩阵乘积的特征值的取值范围．从而推广了文[1]的一个主要结果．此外，指出了文[2]中的一个错误，给出了一个不等式．     

一个不等式的推广

本文讨论了文[1]中与平均值有关的不等式,并得到更为一般的结果.     

一个引起争论问题的注记

罗增儒先生在文[1]中讨论了这样一个问题,其教育意义值得我们思考． 题目 已知不等式     

构造函数证明一类积式不等式

文[1]给出了用构造“零件不等式”证明一类积式不等式方法,非常巧妙!受文[3]的启发,笔者从一个崭新的角度给出这类不等式的另一种新的证法,首先给出一个引理．     

一对优雅的姊妹不等式

文[1]介绍了两个优美的无理不等式,受此启发,笔者经过研究获得了一对优雅的姊妹不等式．现介绍如下,以飨读者．     

巧用基本不等式妙求3/cosx＋2/sinx的最小值

问题 求3/cosx＋2/sinx（0〈x〈π/2）的最小值。 文[1]利用柯西不等式的一个推广将此问题得到解决,文[2]利用导数也将此问题获解．经笔者研究发现,此类问题用基本不等式也能很好的解决,而且相比之下,较文[1]和[2]似更巧妙、明快、简捷一些,给人们一种耳目一新的感觉．现将此问题的解答过程表述如下．     

一类分式不等式的几个创新结果

文[1]给出不等式：若a,b〉0,a＋6=1,则3/2〈1/1＋a^3＋1/1＋b^3≤16/9.文[2]、[3]对该不等式作了推广．本文给出我们发现的三个创新结果．     

对第十四个优美不等式推广的加强

安振平老师在文[1]中提出了26个优美不等式．邹生书老师在文[2]中“通过构造‘尾舵函数”’证明了其中的第14个不等式：     

几个不等式猜想的证明与统一

宋庆先生在文[1]给出了4个不等式猜想,杨志明先生在文[2]证明了文[1]的猜想1和猜想3,又提出了4个猜想．本文拟给出文[1]猜想3和文[2]的4个猜想的三角证明,并进行适当的统一推广．     

均值定理的推广形式

看了文[1]、文[2]、文[3]后,笔者觉得其中关于命题的阐述、证明、猜想与高中教材中的均值不等式有着直接的联系．下面从高中教材中的两道习题谈起,试阐述自己的观点．     

用向量方法巧证一个三角不等式

文[1]用柯西不等式及二元均值不等式,文[2]用抽屉原理证明了如下熟知的三角不等式: