一题多变一题多证

有些习题看似平常，但如果能深钻进去，多思多想，就会发现多种思路与方法，现以人教版初中《几何》第二册第248页B组第2题为例加以说明。     

一道课本习题的多种证法

人教版第二册第254页第12题,在△ABC中,AB＝AC,AD为BC边上的高,AD的中点为M,CM的延长线交AB于K. 求证:AB＝3AK.     

由一道课本习题谈谈如何学好数学

学好数学和学习其他学科有相通的地方，比如，课前认真预习；课上积极思考，专心听讲；课后及时复习消化，巩固所学新知识等，抓住这些环节是必要的。然而，数学这门学科也有其自身的特点，比如，同样是做一道题，有的同学仅仅满足于这一道题会解了，一旦条件或结论稍作变换，便又犯难了。本文以人民教育出版社《几何》（第二册）（2001年3月第1版）第255页第17题为例，谈谈如何学好数学的问题。     

从课本的前后“矛盾”谈起

笔者记录了一次师生共同解决课本中一个前后“矛盾”问题的全过程，现将记录情况展示如下：     

初中几何中常见的假命题及反例

<正>我们知道,数学中的真命题的正确性是由条件通过推理方式来证实的,而假命题的证明只需要举出一个反例就足够.尤其是几何命题,有时举出一个反例图形胜过千言万语.但有些假命题的反例比较难找,还有些命     

一个值得命题者注意的问题

现行九年义务教育三年制初级中学《几何》第二册(人民教育出版社中学数学室编著，以下简称教材)第226页有这样一段文字：“在记两个三角形相似时，和记两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边。”关于这段文字，现行九年义务教育三年制初级中学《几何》第二册教师教学用书(人民教育出版社中学数学室编著，以下简称教参)第250页有以下注解：     

借助圆规 构造反例

数学中真命题的正确性可以由条件通过推理来加以证实,而假命题的证明只需举一个反例即可.尤其是几何命题,举一个反例,胜过千言万语.但有些假命题的反例难以构造,本文通过实例,介绍借助圆规构造常见假命题反例的方法,供读者参考.     

一道不等式课本习题的应用

人教版（试验修订本）第二册上P16练习第2题证明不等式（ac＋bd）^2≤（a^2＋b^2）（c^＋d^2），取等号的条件是bc=ad．此不等式的证明很简单，只需将右边展开对其中两项使用，x^2＋y^2≥2xy即可得证．但是利用它却可以很方便地求得一些函数的最大值或最小值．为了便于应用，我们先将不等式变形为：     

一道课本习题的引申——正多边形被覆盖的面积

人教版初中《几何》第二册第157页“想一想”中有这样一个题目：如图1，正方形ABCD的对角线相交于一点O，点O是正方形A’B’C’O的一个顶点，如果两个正方形的边长都是口，那么正方形A’B’C’O绕点O无论怎么转动，两个正方形的重叠部分的面积1总等于一个定值1/4a^2。试问：其它的正多边形吐是否有这种性质呢？     

对一道课本例题的再思考

人教社高中数学第二册（上）P12例2：已知a,b,m都是正数，并且a〈b,求证a＋m/b＋m〉a/b。（Ⅰ）