关注反比例函数存在性问题

反比例函数存在性问题在近几年中考中屡见不鲜.这类问题以反比例函数图象为背景,要求我们判断是否存在符合要求的点或实数.解题思路是先假设存在符合要求的点或实数,然后进行计算或推理,肯定或否定.例1(2015年广东省中考题)如图,反比例函数y=k/x(k≠0,x>0)的图象与直线y=3x相交于点C,过直线上点A(1,3)作AB⊥x轴于点B,交反     

关注反比例函数存在性问题

反比例函数存在性问题在近几年中考中屡见不鲜.这类问题以反比例函数图象为背景,要求我们判断是否存在符合要求的点或实数.解题思路是先假设存在符合要求的点或实数,然后进行计算或推理,肯定或否定. 例1(2015年广东省中考题)如图,反比例函数y=k/x(k≠0,x＞0)的图象与直线y=3x相交于点C,过直线上点A(1,3)作AB⊥x轴于点B,交反比例函数图象于点D,且AB=3BD. (1)求k的值;(2)求点C的坐标;(3)在y轴上是否存在一点M,使点M到C、D两点距离之和(d=MC+MD)最小?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.     

平面向量中一个重要定理的多角度研究

正平面中有关三点共线的一个重要的定理:定理1:设OA,OB为平面内不共线的两个向量,且OC=xOA+yOB(x,y∈R),则A,B,C共线的充要条件是x+y=1.文[1]探究了以上定理中将"x+y=1"中右边的"1"一般化后动点C的轨迹问题,得到了如下的结论:定理2:设O,A,B为平面α内不共线三点,OC=xOA+yOB(x,y∈R),过O与直线AB平行的直线为ι0,则满足x+y=k(k∈R)的动点C的轨迹是一条平行(重合)于ι0     

抓住“对称”,探讨思路——一道求直线斜率范围问题的不同解法

圆锥曲线中,关于直线对称问题,主要考查学生对所学知识的综合运用能力,由于此类问题中的直线(曲线)在动,曲线上关于直线的对称点也在动,且解题过程中一般要涉及两个或多个参数,学生在解答时,往往抓不住主要矛盾,对合理运用动静条件感到无从下手或解题思路混乱,因此本文就此问题归纳出几种不同解法,以供参考.已知抛物线C:y2=2x-1及定点A(2,0),试问是否存在过A点的直线l,使得能在抛物线上找到不同的两点关于直线l对称?如果存在,请求出直线l的斜率的范围;不存在,请说明理由.解法1设直线l的方程为y=k(x-2),当k=0时,显然成立.当k≠0时,设抛物线…     

直线与圆锥曲线位置关系中的“存在性问题”

一、根据圆锥曲线的定义及性质,探究直线斜率的存在性问题【例1】是否存在实数k,使直线y=kx +2与x~2-(y~2)/8=1(x≤-1)的交点C、D恰好关于直线l:y=8/3x对称?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由。     

略论解析几何中的虚元素

今年高校统考数学试卷第九题: 给定双曲线x~2-y~2/2=1, (1)过点A(2,1)的直线与所给双曲线交于两点P_1及P_2,求线段P_1P_2的中点P的轨迹方程。 (2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q_1及Q_2,且点B是线段Q_1Q_2的中点?这样的直线如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由。解这一类问题,一般是联立曲线方程得方程组,化为一元二次方程,利用韦达定理,而不必求出交点坐标。解:(1)设各点坐标为P_1(x_1,y_1)、P_2(x_2,y_2)、P(x,y),又设过点A(2,1)的直线1的方程为y-1=k(x-2),即y=kx (1-2k),与     

如何处理解析几何问题中的判别式

在解析几何中 ,解决有关直线与圆锥曲线的位置关系问题时常常碰到判别式 .怎样处理判别式才能使运算简便 ?是否一定要解不等式Δ >0 ?这是一个值得注意的问题 .本文结合高考试题介绍对判别式的处理方法 ,供学习中参考 .一、验而不解例 1　 ( 1981年高考题 )给定双曲线x2 -y22 =1.过点B( 1,1)能否作直线m ,使m与所给双曲线交于两点Q1 及Q2 ,且点B是线段Q1 Q2 的中点 ?这样的直线m如果存在 ,求出它的方程 ;如果不存在 ,说明理由 .解　根据题意可设直线m的方程为y=k(x -1) +1,代入双曲线方程 2x2 -y2 =2 ,整理得( 2 -k2 )x2 +( 2k2 -2k)x -k…     

数学问答

11.由动点尸引圆J一2一卜一少一 IQ的两条切线尸A、尸B，直线尸A、 尸B的斜率分别为kl、k:. (1)若k、 kZ十k:·k，-一1， 求动点尸的轨迹方程. (2)若点尸在直线x y一m上，且尸A垂 左围_ 直PB，求实数m的取值范围. (安徽旺旺) 解:(1)不妨设点P坐标为(二。，孙，)，过点P与圆相切     

由一道试题引出的圆锥曲线的一个性质

2006年福建省高三质检理科卷21题:如图,F是抛物线y2=4x的焦点,Q是准线与x轴的交点,直线l经过点Q.(1)直线l与抛物线有唯一公共点,求l的方程;(2)直线l与抛物线交于A、B两点.(I)记FA、FB的斜率分别为k1、k2,求k1+k2的值;(II)若点R在线段AB上,且满足AR AQRB=QB,求点R的轨迹方程.本题在(2)(I)中求k1+k2的值,其值恰好为0,这个结论在一般情况下能否成立?是否可以延伸?直线AB、FA、FB的斜率之间是否存在某种特定关系?本文结合巧妙的化“1”证法探究如下:A O x R y Q F B性质1设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,相应于焦点F的准线与x轴交…     

圆锥曲线弦的定比分点的轨迹方程及其应用

圆锥曲线是解析几何中的重要内容,与圆锥曲线有关的轨迹问题也是教学的一个难点.本文给出圆锥曲线弦的定比分点的轨迹方程的几个通式,并说明它的应用.命题1设斜率为k的直线与椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>0,b>0)相交于A、B两点,动点M满足AM=λMB(λ为常数),则点M的轨迹方程是2(22)2(1)(2222b x+a ky+λ4?λb x+a y?a2b2)(b2+a2k2)=0.证明设点M(x,y),直线AB的参数方程为x0=x+t,y0=y+kt(t为参数),代入椭圆方程并整理得:(b2+a2k2)t2+2(b2x+a2ky)t+b2x2+a2y2?a2b2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2)对应的参数分别为t1,t2,则:22222t1+t2=?2(b x+a ky)/(b+a…     

由两道中考试题得出的两个优美互逆性质

在初三复习教学中,下面两道中考题引起了笔者的注意:试题1(2008南通)如图1,已知双曲线y=k/x与直线y=1/4x相交于A,B两点.第一象限上的点M(m,n)(在A点左侧)是双曲线y=k/x上的动点.过点B作BD//y轴交x轴于点D.过N(0,-n)作NC//x轴交双曲y=k/x于点E,交BD于点C.(1)若点D坐标是(-8,0),求A,B两点坐标及k的值.(2)若B是CD的中点,四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式.     

直线与圆锥曲线位置关系常见题型

一、直线与圆锥曲线位置关系问题这种问题实际上是讨论直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组是否有实解的问题.通过消元最终归结为讨论一元二次方程ax2+bx+c=0的解的个数问题.要注意a≠0与a=0两种情形,同时要特别重视判别式的作用.例1直线y=kx-1与抛物线(y+1)2=4(x-2)只有一个公共点,则k的值为.解(1)若k=0,y=-1,显然直线与(y+1)2=4(x-2)只有一个公共点.(2)若k≠0,由y=kx-1,(y+1)2=4(x-2),得k2x2-4x+8=0.∴驻=16-4k2×8=0,即k=±姨22.故k的值可能为0,-姨22,姨22.二、弦长问题若直线l与圆锥曲线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),由AB=(x2-x1)2+(y2-…     

抛物线中的两个定理及其应用

一、两个定理及其推论 定理1:过点(k,0)作一条直线和抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则x1x2=k2,y1y2=-2pk.     

让数学思想方法在探究中生根——以一道试题的解法探究及反思为例

<正>一、试题呈现试题设直线y=kx+1与圆C:x²+y2+y²-2kx-2my-7=0交于M、N两点,且M、N关于直线x+y=0对称.(1)求m、k的值;(2)若直线l:x=ay+1与圆交于P、Q两点,是否存在实数a,使得OP⊥OQ?如果存在,求a的值;若不存在,请说明理由.二、解法探究解(1)m=-1,k=1.(过程略)(2)分析1方程思想联立方程组是几何问题代数化的常见途     

一道模拟考题的联想

20 0 3年苏、锡、常第一次高考数学模拟试题 :已知椭圆 C:ax2 +y2 =2 (a>1) ,直线l:y=kx+1与椭圆交于 A,B两点 ,以 OA,OB为邻边作平行四边形 OAPB(O为坐标原点 ) .(1)若 k=1,且四边形 OAPB为矩形 ,求 a的值 ;(2 )若 a=2 ,当 k变化时 ,求 P点的轨迹方程 .我们对此题感兴趣的是 ,把它抽象为一个一般性命题 ,观其条件 ,已知椭圆及过一定点 (0 ,1)的直线与此椭圆交于 A,B两点 .结论中 P的轨迹经计算知是一个椭圆 .由此 ,可得到下列命题 .命题 1　若椭圆 x2a2 +y2b2 =1(a>b>0 ) ,椭圆内部一定点 P(x0 ,y0 ) ,过 P点的直线 l与椭圆交于 …     

求直线方程常见错解剖析

一、忽略斜率不存在若将直线方程设为点斜式或斜截式,则应针对斜率是否存在进行分类讨论,否则极易漏解.【例1】　求过(2,1)且与直线y=3x-1夹角为30°的直线方程.错解:设所求斜率为k,因为直线y=3x-1的斜率为k1=3,由3-k1+3k=tan30°=33,得k=33.故所求直线方程为y-1=33(x-2),即x-3y+3-2=0.剖析:这里忽略了斜率不存在的情况.事实上,还有一条直线x=2也满足.【例2】　已知直线l经过点(4,8),且到原点的距离是4,求直线l的方程.错解:设所求直线l的方程为y-8=k(x-4),可化为kx-y+(8-4k)=0,由点线距离公式可得|8-4k|k2+1=4,解得k=34.所求直线方程为y-8=3…     

一个定理的引申——对一道解析几何例题的再探究

文[1]对高中数学(试验修订本·必修)第二册(上)P130例2:“直线y=x?2与抛物线y2=2x相交于点A、B,求证:OA⊥OB(如图1)”进行探究,得到如下结论:若直线l与抛物线y2=2px相交于点A、B,则OA⊥OB?直线l过定点(2p,0).文[2]在上述命题的基础上作了进一步的探究,得到如下的定理:定理若直线l与抛物线y2=2px相交于点A、B,C(x0,y0)为抛物线上不同于点A、B的一定点,若直线CA、CB的斜率存在且分别记为k CA、k CB,则k CA?k CB=d(d为定值)?直线l过定点200(2,)2y p yp?d?.(如上右图)本文在上述定理的基础上作进一步探究,对定理进行引申.1由“k CA…     

逆用直线方程的点斜式解题

如果直线l经过点A(x0 ,y0 )且斜率为k ,则直线l的方程为y - y0 =k(x -x0 ) ,反过来 ,如果直线l的方程为 :y- y0 =k(x-x0 ) ,那么直线l经过点A(x0 ,y0 ) ,在解题中 ,如果能逆用直线方程的点斜式 ,能简化解题过程 ,现分析几例 ,供参考 .　　　　　图 1例 1　曲线 y =4 -x2 + 1与直线 y=k(x- 2 ) + 4有两个交点 ,求k的范围 ,分析　该题若利用解方程的方法来解较繁 ,但若将直线方程变形为 y- 4=k(x- 2 ) ,会发现直线恒过定点A(2 ,4 ) ,这样就可以利用数形结合来解决 .解　将曲线方程变形得x2 + (y- 1) 2 =4　 (y≥ 1) ,该曲线是以 (0 ,1)为圆…     

二次曲线中的定值(点)问题再探讨

众所周知,在圆锥曲线中蕴含着许多几何性质,它们和谐统一,简洁明了,美轮美奂,是激发学生学习兴趣、感受数学美的好素材.在教材和练习中经常出现类似的问题:过二次曲线上一定点P0(x0,y0)的2条直线与曲线交于点P1,P2,直线P0P1和直线P0P2的斜率分别为k1和k2,当k1,k2满足k1k2=-1或k1+k2=0时,探讨直线P1P2是否过定点、斜率是否为定值.文献[1]指出:过二次曲线上一定点P0(x0,y0)的2条直线与曲线交于点P1,P2,直线P0P1和直线P0P2的斜率分别为k1和k2,当k1,k2满足k1k2=t(其中t≠0)时,直线     

圆锥曲线中点弦问题的解题策略

直线和圆锥曲线的位置关系中,涉及弦的问题特别多,其中以弦的中点问题最为丰富多彩.中点弦问题是中学数学的一类重要问题,解决圆锥曲线的中点弦问题,有以下几种策略.1“设而不求”的策略例1已知P(1,1)为椭圆22194x+y=内一定点,过点P的弦AB被点P平分,求弦AB所在直线的方程.分析常规思路设直线AB的斜率为k由方程组求A、B的坐标,由AB的中点坐标建立k的方程求k,但注意到弦的中点坐标公式x=12(x1+x2),y=12(y1+y2),故可用韦达定理,绕过求交点的步骤.设所求直线的方程y=k(x?1)+1,并过A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由方程组:22(1)1,1,94y k xx y????…