让方法的选择更合理——例说函数最值法和分离参数法

<正>含参变量的不等式恒成立、存在性问题在高考试题中经常出现,这类问题主要采用函数最值法和参数分离法来解决.最值法是利用f(x,a)≥0(≤0)恒成立(a为参数,x∈D)等价于x∈D时f(x,a)min≥0(f(x,a)max≤0);而参数分离法是将f(x,a)≥0(≤0)在x∈D时恒成立,转化为h(x)≥g(a)(x∈D)恒成立,然后求出h(x)的最小值m,转化为解关于a的不等式g(a)≤m.什么时候选择函数最值法?什么时候选择分离参数法?笔者试通过几例略加说明,以期对我们的解题有所启发.     

一类含参函数不等式恒成立问题的求解

<正>函数的单调性问题、最值问题、某集合是另一集合的子集等问题都可以转化为不等式恒成立.本文探讨其中一类过特殊定点的函数不等式恒成立问题.重点探讨恒成立不等式f(x)≥y0(或f(x)≤y0)中参数a取值范围     

解不等式恒成立的两大思想方法

不等式恒成立 ,求参数的取值范围”是不等式中一大题型 ,因不等式的千姿百态 ,因此常令学生不知如何着手解决 ,本文介绍处理这类问题的两大思想方法 .1　函数思想若 f (x) >0 (或 f (x) <0 )在区间 A上恒成立 ,则只需 f (x) min >0 (或 f (x) m ax <0 ) .说明 :若 f (x) >0 (或 f (x) <0 )能分离变量化为 :g(a) 2时 ,不等式 x2 + ax + 8>0恒成立 ,求 a的取值范围 .解法 1 :令 f (x) =x2 + ax + 8,当 -a2 ≤ 2即 a≥ -4时 ,f (x) >2 2 +2 a + 8=1 2 + 2 a.由题意有 :2 a + 1 2≥ 0…     

分类讨论法解一类恒成立问题的模型探究

<正>在近几年的高考题中,利用分类讨论法解一类与恒成立有关的求参问题屡次出现,此类求参问题有个共同的特征,即"在某区间上不等式恒成立,区间的端点或区间内的某一点使不等式对应的方程成立".笔者根据此类题目的特点,整理出了几类模型,供同仁参考.模型一函数f(x)中含参数r,且r∈U.在区间(a,b)上f(x)>0恒成立(或在区间[a,b)上f(x)≥0恒成立),且f(a)=0,则     

浅析不等式恒成立的求解方法

近年来,高考试卷中经常出现不等式恒成立的问题,不等式恒成立与函数的最值即甬数图象的最值点密切相关,也就是利用极端思想的原理.不等式f(x)≥a恒成立,其实质就是f(x)的最小值大于或等于a,不等式f(x)≤a恒成立,实质是f(x)的最大值小于等于a.不等式f(x)≥g(x)恒成立实质是f(x)-g(x)的最大值大于等于0,不等式f(x)≤g(x)恒成立,实质是f(x)-g(x)的最大值小于等于0.这类问题有时可以用图象法解决.     

特值法在不等式恒成立问题中的应用

<正>由不等式恒成立求参数的取值范围问题是导数部分常见的题型,也是高考中的热点问题.对于问题：关于x的不等式f(x)≥0(x∈D,参数a∈P)恒成立,求a的取值范围.有时可以在集合D中取一个特殊的值x0,将其代入不等式得f(x₀)≥0,由此解得a的取值范围为集合A.显然当a∈?PA时, f(x₀)<0,不符题意,因此,如果能够证明当a∈A时不等式f(x)≥0恒成立,那么集合A就是所求的a取值范围,我们称这种解题方法为“特值法”.     

利用特殊的点,探求不等式恒成立的参数范围

不等式恒成立问题是高中数学的重点和难点,因此,历年高考试卷的压轴题中,不等式恒成立问题时有出现.这类问题的命题角度主要有两个:一是证明不等式恒成立;二是已知不等式恒成立(含参数),要求解不等式中参数的范围.对于第一类问题,我们通常的求解方法如下.f(x)≥0(或f(x)≤0)在定义域内恒成立等价于fmin(x)≥0 (...     

解两类含参数的复合不等式有解与恒成立问题

本文从学生对一道含参数的一元二次不等式恒成立问题处理的逻辑错误入手,对“a≤g(x)或a≥f(x)”和“g(x)≤a≤f(x)”这两类含参数的复合不等式有解与恒成立问题进行探讨,得出相应的等价处理方案.     

浅析分离参数法求解范围问题

<正>在方程有解、不等式恒成立等问题中求参数的取值范围时,如果能够把参数分离出来,即方程或不等式的一端为参数,另一端为某个变量的代数式,则只要研究其对应函数的性质即可根据问题的具体设问得出参数的取值范围。下面我们就来谈谈分离参数法在解参数取值范围问题中的应用。例1已知函数f(x)=(ax²+x-1)·e x(a<0),当a=-1时,函数y=f(x)与g(x)=1/3x2+x-1)·e x(a<0),当a=-1时,函数y=f(x)与g(x)=1/3x³+1/2x3+1/2x²+m的图像有三个不同     

不等式恒成立问题巧突破

一、分离参数,将原问题转化为求给定函数的最值问题解答含参数不等式的恒成立问题最常见的方法是分离参数,将其转化为a≤f(x)恒成立或a≥f(x)恒成立,从而转化为求给定函数的最值问题.     

例谈“恒成立不等式”问题

本文“恒成立不等式”问题的界定：形如，f（x,a）〉0（或≥0或〈0或≤0），当x∈区间D时恒成立，求a的范围的问题．所谓“x∈D时，f（x,a）〉0恒成立”，从集合的观点看，就是D是不等式f（x,a）〉0的解集的子集；从数形结合的观点看，就是当x∈D时，函数y=f（x,a）的图象在x轴上方；从函数观点看，就是x∈D时，函数y=f（x，a）的最小值大于0．     

一类高考题的简便解法

利用导数解决含有参数的不等式恒成立问题,是近几年高考的一个亮点。但2008年全国Ⅱ理22题与2007年全国Ⅰ理20题、2006年全国Ⅱ理20题如出一辙,都是:"对任何x≥0,都有f(x)≤ax(或f(x)≥ax),求a的取值范围"的问题。     

函数型不等式的恒成立问题探究

正近几年来,函数型不等式的恒成立问题在高考中经常出现,常常出现在19、20题的位置,属具有区分功能的题目。由于这类问题综合性强,难度大,能力要求高,很多同学望而生畏。下面本文将通过一些典型例题来研究这类问题。1."a≥f(x)"型形如"a≥f(x)"或"a≤f(x)"型不等式,是恒成立问题中最基本的类型。a≥f(x)在x∈D     

如何求不等式恒成立的参数的取值范围

求不等式恒成立的参数的取值范围,是中学教学的难点之一,也是高考、数学竞赛的热点.下面就此问题的几种基本解法加以论述. 一、利用一次函数的性质 一次函数y=f(x)=ax+b在x∈[m,n]上恒大于零的充要条件是:{a＞0,f(m)＞0 或{a＜0,f(n)＞0或{f(m)＞0,f(n)＞0.(对于y=f(x) =ax+b恒小于零的条件亦可类似给出) 例1 若f(x)=(x-1)m2-6xm+x+1在区间[0,1]上恒为正值,求实数m的取值范围.     

利用函数零点解不等式恒成立问题

函数零点及不等式恒成立问题是常见的问题之一.f (x) g(x)> 0或f (x) g(x)<0恒成立,即两个函数积的不等式恒成立问题可用两个函数零点相等性质来解决.研究函数零点及不等式恒成立问题的求解方法能提高学生的解题能力.     

含参数的等式或不等式的恒成立、存在性问题

含参数的等式或不等式的恒成立、存在性问题,是中常数学中的一个重要知识点,是学生对数学知识综合性、能力综合性的考查.一、含参数的不等式恒成立问题①对任意x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],有f(x1)≥g(x2)成立,等价于f(x)min≥g(x)min.②对任意x1∈[a,b],x2∈[c,d],有f(x1)≥g(x2)成立,等价于f(x)min≥g(x)max.     

f（x）≥a（x-x0）n型不等式恒成立问题的解题思路

近年来高考数学压轴题常出现一类不等式题型:f（x）≥（或≤）a（x-x₀）"对x≥（或≤）x₀恒成立,其中,n,x₀为常数,a为参数,且f（x₀）=0,求参数a的取值范围".由于这类问题能有效地甄别学生的思维品质,综合性强、难度大、能力要求高,很多同学对此望而     

一个错误命题与一类问题简解

文[1]给出了一个命题,并利用该命题简解了一类问题:"对x≥0,f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)恒成立,其中f(x)含参数a,试确定参数a的取值范围."简解程序是:对x≥0,只要对f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)两边取导数,再从f′(x)≥g′(x)或     

分离参数求解一类不等式恒成立问题

<正>本文以一道高考题为例,探讨如何巧妙应用分离参数确定最值的方法求解含参不等式恒成立问题。1.试题呈现题目(2010年高考全国卷理科第21题)设函数f(x)=sinx2+cosx。(Ⅰ)求f(x)的单调区间。(Ⅱ)如果对任何x≥0,都有f(x)≤ax,求a的取值范围。2.解法展示     

用均值不等式处理一类恒成立问题

关于一类a≥f(x)对任何x∈D恒成立问题,只要满足a≥f(x)max,x∈D即可;关于a≤f(x)对任何x∈D恒成立问题,只要满足a≤f(x)max,x∈D即可.这类问题在确定f(x)的最大值或最小值时,常用到均值不等式求最值.