数列“回归”函数图像“透视”等差——赏析两道姐妹模考题的“另类”解法与相关性质

下面是我校高三4月份文、理科模考试卷上的两道填空题: (文科题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a13 ＞0,a14＜0,a13＞|a14|,若SkSk+1＜0,则k=__________. (理科题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S13 ＞0,S14＜0,若akak+1＜0,则k=_________. 两题结构对称,"个性"鲜明,精巧雅致,独具特色:其一,两题涉及了等差数列中一类"存在k∈N+使akak+1＜0及SkSk+1＜0"的问题;其二,两题揭示了等差数列中"项"与"和"之间关于零点、正负、单调性、最值等问题上的相互转化关系.笔者探究发现,两题除了可用常规公式求解之外,还可将数列"回归"到函数,用图像来"透视"等差(即利用an与Sn对应函数的零点关系与图像求解),且以此为指导思想,可引出此类等差数列的一些相关性质,这些性质看似浅显,但对学生充分理解等差数列的函数本质,以及如何利用图像判断等差数列中的正负、单调性、最值等问题,都将大有帮助.本文下面首先介绍几个预备性质,然后给出两题的"另类"解法,最后将此性质予以推广,供参考.     

等差数列前n项和的最值求法小技巧

设等差数列 {an}是以a1 为首项 ,以d为公差的等差数列 ,其前n项和记作Sn =S(n) .结论 1　若a1 >0 ,且d <0 ,则其数列前n项和有最大值Sn(max) =S( -a1 d) =S( 1-a1 d)=a1 2d(d-a1 ) ,( -a1 d ∈N )或Sn(max) =S( [-a1 d] +1) ,(其中 ,a1 d ∈R+ ,取n=[-a1 d] +1.[x]表示不大于X的整数部分 )证明 :∵a1 >0 ,d<0 ,∴数列 {an}前n项和Sn =S(n)必有最大值 .∴a1 ≥ 0且an+ 1 ≤ 0 ,即a1 +(n-1)d≥ 0且a1 +nd ≤ 0 ,解得n ≤ 1-a1 d 且n ≥-a1 d.讨论 :( 1)当 a1 d ∈N 时 ,则Sn(max) =S( -a1 d)=( -a1 d) +( -a1 d) ( -a1 d -1)2 d=a1 (d-a…     

用Sn=an~2+bn解等差数列问题(高一、高二、高三)

若等差数列{an)的前n项和为Sn,公差为d, 则Sn=na1 1/2n(n-1)d =d/2n2 (a1-d/2)n. 令a=d/2,b=a1-d/2,于是Sn=an2 bn(n=1,2,…). 例1 等差数列的S10=20,S20=60,则S30的值是____. (第四届93年“希望杯”高二1试) 解设前n项和Sn=an2 bn,由题设有(?)20=100a 10b,60=400a 20b.解得(?)a=1/10,b=1. 所以S30=900×1/10 30=120. 例2 已知数列{an)为等差数列,若     

等差数列求最值问题

等差数列求最值问题,由于知识综合性强,解题计算量大,因此是本节内容的重点和难点.等差数列{an}中,首项a1＞0,公差d＜0,前n项和Sn有最大值.这里主要对此类题型予以解答.其他类型同学们可以自己尝试予以解决.     

活用Sn=an^2＋bn求解等差数列问题

对于等差数列{an}，若其公差d≠0，则其前n项和Sn=na1 (n(n-1)d)/2=d/2bn^2 (a1-d/2)n。     

上期《你会解答吗?》参考解答

初一年级1．解此题的常现思路是：先设法确定持定系数a、b的值，从而确定代数式ax3＋bx＋9，然后将x＝－5代入计算．但已知条件不足以确定a、b的值，因此不可能先求得a、b的值．故需另辟蹊径．由已知得125a＋5b＋3＝8∴25a＋b＝1．于是，将x＝－5代入待求值式，并将其变形为关于25a＋b的代数式即可．当x＝－5时，2．由题设知。a≠0，b可取任何有理数值．因此，应采用分类的思想方法来确定a、b的大小关系．若b≥O，a＞0，则a＞b；若b≥0，a＜0，则a＜b；若b＜0，a＞0，则a＞b；若b＜0，a＜0，则a＜b3．要求a’的值，只要求出a和b的值即可．…     

数列教学拾零

数列既是传统的中学数学的重要内容 ,又与新增内容密切相关 .我们虽多次教过 ,但每教一次都有一些新的体会 .正是“学然后知不足 ,教而后常有悟”.下面我们把一些零星点滴体会汇报于下 ,与同行切磋 .1　关于数列 {an}前 n项和 Sn.若已知 Sn,求 an 时 ,一般是先计算 Sn -Sn-1 =f ( n) ,再验证 S1 与 f ( 1)的关系 .若 S1 =a1 = f ( 1) ,则对一切 n∈ N+ 均有 an =Sn -Sn-1 ,而若 S1 ≠ f ( 1)时需用分段表示式 an =Sn　　 ( n =1)Sn-Sn-1 ( n≥ 2 ) .实际上 ,这个检验过程可简化 ,若令 Sn =F ( n) ,只要 F ( 0 ) =0 ,则对一切 n∈ N+ …     

解数列题应掌握的8种解题思想

1.方程思想例1等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50(Ⅰ)求通项an;(Ⅱ)若Sn=242,求n.解:(Ⅰ)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组(?)a1+9d=30,a1+19d=50.解得a1=12,d=2.所以an=2n+10.(Ⅱ)由Sn=na1+(n(n-1))/2d,Sn=242得方程12n+(n(n-1)/2×2=242.解得n=11或n=-22(舍去).2.函数思想例2已知等差数列{an}中,a1≠0,前n项和为Sn,且S1=S2005,S9=Sn,求n的值.解:因为点P(n,Sn)在函数y=d/2x2+(2a1-d)/2x的图象上,且S1=S2005所以抛物线的对称轴为x=1003又S9=Sn,所以(n+9)/2=1003,即n=19973.整体思想例3等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=100,S100=10,求S110.解:S100-S10=a11+a12+…+a100=(a11+a100)/2×90又S100-     

(十三)一元一次不等式和一元一次不等式组测试卷

一、填空题（每小题4分，共16分）；1．若a＞0，根据不等式基本性质．有a＋b．2．若－m＞0．根据不等式基本性质，有0．3.若a＜b，根据不等式基本性质,有－4b．4若2x＋6＜4x，则4x－2x＞二、判断题（正确的在话号内画“√”，不正确的在括号内画“×”,每小题4分‘共12分）：1．若a＞b．则－a＞－b.2．若ab＞0．则a＞0．3．若a＋2＜b．且c＜0，则（a＋2）c＞bc．三、单项选择题（本题4分）：（1）2x＋1＞1－x2（2）（3）x＋y＞1－x；（4）中，为一元一次不等式的是四、用不等式表示（每小题5分，共20分）；1．x的与4的差比3大．2.x与6的和的…     

等差数列的性质及其应用

由于等差数列运算的灵活性与技巧性较强,因此要学会借用等差数列的性质解题,以达到选择捷径,避繁就简,合理解题. 一、若数列{an}为公差不为零的等差数列,则其前n项和Sn必为n的不含常数项的二次函数,亦即Sn=an2+bn(a≠0). 例1 设Sn和Tn为等差数列{an}与{bn}的前n项和,对任何自然数,n∈N ,都有Sn:Tn=(7n+1):(4n+27),求a11/b11的值.     

解数列题应掌握的8种解题思想

一、方程思想. 例1 等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50. (Ⅰ)求通项an; (Ⅱ)若Sn=242,求n. 解析(Ⅰ)由an=a1+(n-1)d,a10=30, a20=50,得方程组(?)a1+9d=30,a1+19d=50. 解得a1=12,d=2.所以an=2n+10. (Ⅱ)由Sn=na1+(n(n-1))/2d,Sn=242 得方程12n+(n(n-1)/2×2=242. 解得n=11或n=-22(舍去). 二、函数思想.     

从一道高考题看等差数列Sn最值的求法

例:(1992年全国高考题)设等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知a3=12,S12＞0,S13＜0,(1)求公差d的取值范围;(2)指出S1,S2,…,S12中哪一个最大,并说明理由.     

点列共线的思想在等差数列的性质证明中熠熠生辉

正等差数列的通项可以表示为an=dn+(a1-d),从函数的观点看,点列(n,an)在直线y=kx+b(k=d,b=a1-d)上.故有下面的命题:命题若{an}是等差数列,则点列(n,an)在同一条直线上.设Sn是等差数列的前n项和,易证Sn{}n为等差数列.由命题知下面的推论成立.     

看似无理 实则说得通有实效——等差数列和等比数列的必要条件

等差数列和等比数列有一个有趣的现象:若S_n是等差数列{a_n}或等比数列{a_n}的前n项的和,则S_0=0.这个结论看上去是毫无道理的,因为Sn的下标必须是正整数.但是,这个结论却是说的通的.因为等差数列的前n项的和为Sn=2dn2+a1-2dn,从函数的观点看,总有S0=0.等比数列的前n项的和Sn=na1(此时公比q=1)或Sn=a1qq n--1a1(此时公比q≠1,且为非零常数).从函数的观点看,也总有S0=0.所以S0=0是说的通的.我们可以说:S0=0是一个数列为等差数列或等比数列的必要条件.看似无理的结论形式,从函数的观点看,是毫无问题的了.仅仅说的通还不行,这个结论能否帮助我们思考及解决问题.我们看下面的问题:问题1下列说法中正确的是.(1)等比数列{an}的前n项的和Sn=mqn+p-rk,则m+p-rk=0.(2)数列{an}的前n项的和Sn=3×2n-1,则通项an=3×2n-1.分析(1)通常情况下,有两种思考方法:法1:求出a1=S1=mq+p-rk,a2=S2-S1=mq2-mq,a3=mq3-mq2,由a22=a1a3得,m+p-rk=0.法2:先求通项公式,即当n=1时,a...     

上期《你会解答吗?》参考解答

初一年级1．由已知条件可知，a、b、c都不为的值为1或-1；由已知等式可知．中必有两个互为相反数，并且a、b、c中有一个且只有一个是负数．不妨设a＜0，则b＞0，C＞0．abc＜0．abc＞0，2．因为数轴上表示a、b两数的点到原点的距离相等，所以a＝b或a＋b＝0．若a＝b，则x－4＝2X—5．X＝1．若a＋b＝0，则（x－4）＋（2X－5）＝0．X＝3．故X的值为1或3．3．用分类思想来处理问题．因为卜，，且a、b异号．所以或4设这个有理数为a，则此题实际上是要确定al－a的符号。用分类思想来处理问题．因为a是有理数，所以可分为a＞O、。一O、a＜O三种…     

等差数列的函数化分析

数列可以说是一种特殊的函数,它可 以看做是自变量依次取正整数,图象为 一群孤立点的函数,所以在解有关数列 的问题时,应注重将其与函数有关的知 识结合在一起,注重函数与方程思想方 法的运用与渗透. 等差数列中,Sn=na1+n(n-1)/2d=d/2n2+ (a1-d/2)n.令A=d/2,B=a1-d/2,则Sn=An2+Bn. 当A≠0(即d≠0)时,Sn是关于n的二次式,     

2010年全国高中数学联赛河南省预赛(高二)

一、选择题(每小题5分,共30分)1.设集合M=｛x｜0＜x≤3},N={0＜x≤2}.则“a∈M”是“a∈N”的( ).(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件2.设Sn是等差数列{an}的前n项和.若S5=S9,则a3∶a5=( )     

浅谈函数与方程思想在等差数列中的运用

我们知道,{αn}是等差数列时,αn=α1＋（n-1）d,Sn=nα1＋n（n-1）/2d（Sn=αn^2＋bn,Sn/n=αn＋b（a≠0））.当a≠0时,世,Sn/n是n的一次函数,S是n的二次函数,且不含常数项（n∈N^＋）．     

二次根式大小比较十法

二次很式的大小比较，方法是多种多样的，技巧性也比较强．在比较时必须正确选择方法，不要盲目地猪值比较．下面介绍几种二次根式大小的比较方法．一、差值比较法要比较两个二次根式的大小，可以让这两个根式相减，视其差值的正负就可以判断它们的大小：若a—b＞0，则a＞b；若a－b＜0，则a＜b；若a－b＝0，则a＝b.例1比较和的大小．“差值法”是一种常用的方法，一般来说，比较二次根式之间的大小，如果中间出现某些同类二次根式，就可以考虑采用这种方法．二、比值比较法如果a、b都是正实数，若，则a＞b；若，则a＜b；若，则a＝b．三、外…     

高中数学基础训练题（2）

数　列1.下列四个数中 ,哪一个是数列 { n(n+ 1) }中的一项(　 )(A) 380　 (B) 39　 (C) 35　 (D) 2 32 .在等比数列 { an}中 ,首项 a1<0 ,则 { an}是递增数列的充要条件是公比 (　 )(A) q>1　 (B) q<1　 (C) 0 相似文献