一组课本操作题的结论、证明和运用

<正>苏教版高中数学选修2-1有以下三道操作题:(1)(第31页第7题)准备一张圆形纸片,在圆内任取不同于圆心O的一点F,将纸片折起,使圆周过点F(如图1),然后将纸片展开,就得到一条折痕l.这样继续折下去,得到若干折痕.观察这些折痕围成的轮廓,它是什么曲线?     

椭圆的“柔情” 圆永远能懂

<正>椭圆是圆锥曲线中一个极其关键的知识点,椭圆图像和方程形式简洁、对称,探究椭圆不仅对掌握其他的圆锥曲线有极大帮助,而且还能认识到椭圆与圆的渊源关系.从图像来看,椭圆可以看作"压扁了的圆",而圆可以看作椭圆的"特"例,因而椭圆与圆有着无穷的联系.椭圆的各种"表现",圆一直掌握在"心"里;椭圆的"柔情",圆永远能够读懂.1椭圆的定义,圆能够读懂在一张圆形纸片内部设置一个不同于圆心O的点F,折叠纸片使圆的周界上有一点落于F点,然后将纸片展开,就得到一条折痕.继续如此折叠数次,形成一系列折痕,这些折痕整体地勾画出一个椭圆轮廓.(如     

利用圆的一个结论求一类线段最值

<正>圆中有一个结论,利用该结论可以求一类线段的最值.结论圆外或圆内一点到圆上各点间的线段中,当线段所在直线过圆心时取得最值.如图1、图2,若点P不在⊙O上,射线OP交⊙O于B,射线OP的反向延长线交⊙O于A,则点P到⊙O上各点之间的线段中,PB最短,PA最长.     

巧用正弦定理证题

题目如图,半圆中,O 为圆心,AB 为直径,P、C 是半圆周上的点,PE⊥AB,PF⊥OC,CD⊥AB.求证 CD=EF.证明∵PE⊥AB,PF⊥OC ∴E、P、F、O 四点共圆,设该圆的半径为 R,则OP=2R.又 OP=OC,∴在 Rt△CDO中,     

一道椭圆试题的本源探究

<正>一、问题如图1,设点P是椭圆E:x2/4+y2=1上的任意一点(异于左、右顶点A,B).(1)设椭圆E的右焦点为F,上顶点为C,求以F为圆心且与直线AC相切的圆的半径;(2)设直线PA,PB分别交直线l:x=10/3于点M、N,求证:PN⊥BM.     

对一道由圆生成双曲线习题的探究

<正>1问题提出普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1人教A版第54页习题2.2A组第5题与选修2-1人教A版第62页习题2.2A组第5题是同一道题,题目如下:如图1,圆O的半径为r,A是圆O外一个定点,P是圆O上任意一点.线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?     

折纸叠出的图形

1．折直角 如图1,任取一张纸,随意折叠出一条折痕（直线）AC,在线段AC上取一点O,再折叠纸片,使射线OC与射线OA重合,得新折痕OB,如图1所示．由“轴对称”的性质,     

一个命题的向量证明及推广发散

命题 :设点 P(x0 ,y0 ) ,⊙ O:x2 + y2 =r2 ,直线 l:x0 x + y0 y =r2则 1当点 P在圆上时 ,直线 l与⊙ O相切 ;2当点 P在圆外时 ,直线 l与⊙ O相交 ;3当点 P在圆内时 ,直线 l与⊙ O相离 .1　证明在直线 l上任取一点 Q(x,y) ,因为向量 OP =(x0 ,y0 ) ,OQ =(x,y)所以 OP .OQ =x0 x + y0 y =r2即 | OP| .| OQ| .cos∠ POQ =r2因为 l的一个方向向量 v=(-y0 ,x0 )所以 v.OP =0 OP⊥ l故圆心 O到 l的距离d =| OQ| .cos∠ POQ =r2| OP|| OP| >r时 ,d r;故命题为真 .2　画法已知点 P和⊙ …     

折纸问题中的圆锥曲线--一道试题的推广

2003年全国高中数学联赛有这样一个问题: 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A,且OA=a.折叠纸片,使圆周上某一点A′刚好与A点重合,这样的每一种折法,都留下一条直线折痕,当A′取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合.     

一道课本习题的探究与发现

正人教版(A)普通高中课程标准实验教科书高中《数学》(选修2-1)第49页习题A组第7题是:如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?一、问题的解答     

一道全国高中数学联赛题的简解及推广

2003年全国高中数学联赛一试第15题:一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A,且OA=a.折叠纸片,使某一点A1刚好与A点重合。这样的每一种折法,都留下一条折痕直线。当A1取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上的点的集合。该题可表述为:已知半径为R的圆O和圆内一定点A,且OA=a。A1为圆周上动点,线段AA1的中垂线为l,求直线上l所有的点的集合。下面先给出简单解法,然后再推广。简解:以OA所在直线为x轴,线段OA的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。设P为直线l上任一点,则｜PA｜ ｜PO｜=｜PA1｜ ｜PO｜=≥OA1=R∵R>a,∴当｜PA｜ ｜PO…     

椭圆中一个最值问题的求解方法

对于椭圆的一些问题,如果类比圆,则可以事半功倍,我们首先来看下面两个命题.命题1如图甲,设P是平面内一点,过点P的直线与圆x~2+y~2=r~2(圆心为O)交于A,B两点,     

一道联赛压轴题的巧思妙解(高二、高三)

2003年全国高中数学联赛1试第15题:一张纸上画有半径为R的⊙O和圆内一定点A,且OA=a,折叠纸片,使圆周上某一点A1刚好与A点重合.这样的每一种折法,都留下一条直线折痕.当A1取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合.     

用向量法简解一道联赛题

2003年全国高中数学联赛第15题：一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=α．折叠纸片，使圆周上某一点川刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A’取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．     

一道高考解析几何试题的引申

2004年全国高考文(理)解几试题是:设椭圆x2/m 1 y2=1的两个焦点是F1(-c,0)与F2(c,0),(c>0),且椭圆上存在点P,使直线PF1与直线PF2垂直,(1)求实数m的取值范围;(2)设l是相应于焦点F2的准线,直线PF2与l相交于点Q,若|OF2|/|PF2|=2-3~(1/2),求直线PF2的方程.本题解法较多,这里仅给出其中一种解法.解(1)∵PFl1⊥PF2,∴点P在以线段F1F2的圆上,且半径为c=m~(1/2),又点P在已知椭圆上,椭圆的短半轴长为b=     

过定点的动直线的参数方程及其在焦半径问题中的应用

<正>定义1把射线OA绕端点O沿逆时针方向旋转到射线OB时所成的最小非负角记作∠AOB→(有0≤∠AOB→<2π).如图1,设动直线l过定点M0(x0,y0),点M(x,y)是动直线l上的动点.设r=M0M→.当点M,M0不重合时,点M在以M0为圆心、r为半径的圆C上.设以坐标原点O为圆心、r为半径的圆是C',把圆C'按向量OM0→平移后即得圆C.又设圆C上的点M是圆C'上的点M'按向量OM0→     

折出正方形的黄金分割点

黄金分割是几何中的一个著名问题.它是指把一条线段分成两条不等的线段,使其中较长线段为原线段与较短线段的比例中项.现有一张正方形的纸片,能否通过折叠的方式找出正方形纸片各边的黄金分割点呢?我们只需按图1～图3所示的方法折纸即可找到正方形各边的黄金分割点.1.将正方形纸片对折(图1),折痕为EF;2.折出折痕AF(图2);3.把AD边翻折到折痕AF上,新折痕为AG(图3).那么G点即为DC边的黄金分割点.现在我们来证明上面结论的正确性.如图3,设正方形ABCD的边长为a,DG=x,那么BF=12a,AF=52a,CG=a-x.因为△AGD′是由△AGD翻折所成,所以△A…     

一道解析几何题的多种解法

<正>题目已知圆O:x~2+y~2=8交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,直线l:x=-4为准线的椭圆.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若M是直线l上的任意一点,以OM为直径的圆K与圆O相交于P,Q两点,求证:直线PQ必过定点E,并求出E的坐标;(3)如图1所示,若直线PQ与椭圆C交于     

圆锥曲线切线的统一而简捷的作法

众所周知,过抛物线、椭圆、双曲线上一点的切线,可以根据它们各自的光学性质分别作出,作法也很简捷。那么,过这三种圆锥曲线上一点的切线,是否有统一的而且更为简捷的作法昵?回答是肯定的。本文旨在阐明这一作法,以飨读者。作法如下: 设圆锥曲线的一个焦点为F,相应的准线为l.点P是圆锥曲线上的任意一点(P不在过F的轴上)。连结PF,过F作直线MF垂直于PF交l于M。则直线PM就是过圆锥曲线上点P的切线,(如图) 对于本作法,以下对三种圆锥曲线分别予以证明。 1.抛物线设抛物线的方程为y~2=2px,则抛物线的焦点为     

“直线与平面垂直的判定”的教学实践及其反思(续)

3 "判定定理"的教学"课标"要求"通过直观感知、操作确认,归纳出直线与平面垂直的判定定理".为此,教科书安排了"探究:请同学们用一块三角形纸片做实验:如图3,过△ABC 的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC 与桌面接触).(1)折痕 AD 与桌面垂直吗?(2)如何翻折才能使得折痕 AD 与桌面所在平面α垂直?"