错在哪里

1.江苏省姜堰市第二中学 石志群(225500)题 已知两椭圆方程分别为:x~2 9y~广-45=0,x~2 9y~-6x-27=0,求过两椭圆的交点且与直线x-2y 11=0相切的圆的方程.(1984年高考题)解 设过两已知椭圆交点的圆的方程为:x~2 9y~2-6x-27 λ(x~2 9y~2 -45)=0.即 (1 λ)x~2 (9 9λ)y~2-6x-27-45λ=0,由x一2y 11=0得 x=2y-11,代入上式得(13 13λ)y~ 2-(56 44λ)y 160 76λ=0.当圆与直线相切时,有△=0,即(56 44λ)~2-4(13 13λ)(16O 76λ)=0.     

注意隐晦条件

因忽略题中的隐晦条件而造成解题失误,是许多同学解题时易犯的一种错误。例 已知实数x,y满足等式x~2 4y~2-4x=0,求x~2-y~2的最大值和最小值。 有的同学求解如下: 解:∵ x~2 4y~2-4x=0, ∴ y~2=x-1/4x~2。 (1) ∴ x~2-y~2=x~2-(x-1/4x~2) =5/4x~2-x=5/4(x-2/5)~2-1/5 (2) 由(2)式可知,x~2-y~2没有最大值;当x=2/5时,x~2-y~2有最小值,其最小值为-1/5。     

论函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l(m≠0)值域的求法

一、纯粹利用判别式求函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l值域的可靠性。 [例1]求函数y=5/2x~2+5x+3的值域。解:把原式变形成2yx~2+5yx+3y-5=0 ①∵ x为实数:△=(5y)~2-4(2y)(3y-5)≥0 解得 y≥0或y≤-40 即所求值域为:{y∶y≥0}∪{y∶y≤-40}。但由原函数显然可知y≠0,所以上面求得的值域并不可靠。 [例2]求函数y=x~2-x-2/2x~2-6x+4的值域。解:把原式变形成 (2y-1)x~2+(1-6y)x+4y+2=0 ②∵ x为实数,∴△=(1-6y)~2-4(2y-1)(4y+2)=(2y-3)~2≥0 ∵所求值域为y∈R事实上,y=(x~2-x-2)/(2x~2-6x+4)=((x-2)(x+1))/(2(x-2)(x-1))     

确定双曲线方程一法

各已知渐近线方程 f_1(x)=0,f_2(x)=0而不知双曲线方程类型情况下,求双曲线方程可通过设方程为f_1(x)·f_2(x)=λ(λ≠0)来确定.例1 求以4x-3y=0,4x 3y=0为渐近线方程且过 P(4 (3~(1/2),8)的双曲线方程.解:渐近线方程可变为(4x-3y)(4x 3y)=16x~2-9y~2=0     

关于一个三元对称不等式的几点思考

文献[1]提供了一道奥赛题,这是一个三元对称不等式:题目设正实数 a,b,c 满足 a b c=1.证明:10(a~3 b~3 c~3)-9(a~5 b~5 c~5)≥1.(1)1 不等式的另证引理已知函数 f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4,则当1≥x y≥x≥y≥0时,f(x)≥f(y)≥0.(2)证明当1≥x y≥x≥y≥0时,首先f(y)=y 3y~2-y~3-3y~4=y(1 3y)(1-y~2)≥0;其次f(x)-f(y)=(x-y) 3(x~2-y~2)-(x~3-y~3)-3(x~4-y~4)=(x-y){1-(x~2 xy y~2) 3(x y)[1-(x~2 y~2)]}.因为 x-y≥0,又1-(x~2 xy y~2)≥(x y)~2-(x~2 xy y~2)=xy≥0,1-(x~2 y~2)≥(x y)~2-(x~2-y~2)=2xy≥0,所以 f(x)-f(y)≥0,即 f(x)≥f(y)≥0.不等式《1)的证明为方便起见,记f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4     

例说换元法分解因式

对于比较复杂的多项式分解因式,运用换元法可使多项式中的数或式的关系明朗化,使问题化难为易、简洁清晰.例1 分解因式(x~2+x+3)(x~2-6x+3)+12x~2.解设 x~2+3=y,则原式=(y+z)(y-6x)+12x~2=y~2-5xy+6x~2=(y-2x)(y-3x)=(x~2-2x+3)(x~2-3x+3).例2 分解因式(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-120.解由于(x-1)(x-4)=x~2-5x+4,(x-2)(x-3)=x~2-5x+6,     

一类取值问题的转化

有条件限制的双变元取值问题,涉及领域宽,知识面广,需要善于转化,可以通过消元转化为函数求值域问题,但是当题目具有一定特殊形式对,也可通过另外两种常用方法转化.一、消元变函数例1 已知3x~2+2y~2=6x,求 u=x~2+y~2的取值范围.分析:为了求出 u 的范围,需将变量 x,y 用一个变量 x 表示出 u,此时要注意 x 的范围.解:由3x~2+2y~2=6x,得y~2=(1/2)(6x-3x~2)∵y~2≥0,∴x∈[0,2]u=x~2+y~2=x~2+(1/2)(6x-3x~2)=-(1/2)(x-3)~2+(9/2)结合二次函数的图象可知,u∈[0,4]     

函数值域、范围问题常见错解剖析

一、忽视定义域致错例1求函数y=x-(1-2x)~(1/2)的值域.错解由y=x-(1-2x)~(1/2)得X~2 (1-y)x y~2-1=0.因为关于x的二次方程恒有实根,所以有△=[2(1-y)]-4 (y~2-1)≥0,解得y≤1.故函数的值域为(-∞,1).剖析△=[2(1-y)]~2-4(y~2-1)≥0只能保证方程x~2 2(1-y)x y~2-1=0在整个R上有实根,而不能保证在(-∞,1/2](函数的定义域)上也有实根.     

一道竞赛试题的推广

题 (1993年全国高中数学联赛试题)设实数x、y满足4x~2-5xy4y~2=5,设S=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/(S_(min))=____·(答:8/5) 贵刊文[1]推广为:设实数x、y满足ax~2-(a 1)xy ay~2=a 1,(其中a>1或a<-(1/3),a≠-1),设s=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/S-(min))=2a/(a 1) 本文将在文[1]的基础上作一点改进,给出更为一般的推广命题的两种解法. 命题 实数x、y满足Ax~2 Bxy cy~2=D(其中B~2<4AC,D>0),设S=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/S_(min))=(A C)/D.(1)×S-(2)×D得(AS-D)x~2 BSxy (CS-D)y~2=0. 由题设知y≠0,∴(AS-D)(x/y)~2 BS(x/y) (CS-D)=0,∵x/y∈R,∴△=(BS)~2-4(AS-D)(CS-D)≥0. 即(B~2-4AC)S~2 4D(A C)S-4D~2≥0.又因B~2-4Ac<0,若记S_1相似文献   

北师大版八年级(下) 第2章 分解因式

一、精心选一选(每小题3分,共24分)1.下列变形,属于因式分解的是( ).A.2xy(x+3x~2y)=2x~2y+6x~3y~2B.(x-4)~2=x~2-8x-16C.5a~2-10a=5a(a-2)D.ax~2+bx+c=x(ax+b)+c2.把多项式-5ab+10abx-25aby 因式分解的结果是( ).A.-ab(5+10x-25y) B.-5ab(1-2x+5y)C.-5ab(2x-5y) D.-5ab(1-2x-5y)3.多项式-4xy~2+12x~2y~2-16x~3y~2z 的公因式是( ).     

一九七九年全国高等学校统一招生考试试题解答 数学（理工农医类）

1.若(z-x)~2-4(x-y)(y-z)=0, 求证:x,y,z成等差数列。 [证一] (z-x)~2-4(x-y)(y-z) =z~2-2zx+x~2+4zx-4xy-4yz+4y~2 =(x+z)~2-2·2y(z+x)+4y =(z+x-2y)~2 =0,     

由一道与圆相关的求值问题引发的思考

<正>在高中学习圆的知识后,经常会遇到下面的这类问题:引例已知x~2+y~2-4x+1=0,(1)求■的取值范围;(2)求y-x的取值范围;(3)求x~2+y~2的取值范围.解法1 (几何法) x~2+y~2-4x+1=0变形为(x-2)2+y~2=3记为圆C.(1)■的几何意义为圆C上任意一点P(x,y)     

圆锥曲线方程中变量的取值范围在解题中的应用

椭圆方程x~2/b~2 y~2/b~2=1中x,y的范围-a≤x≤a,-b≤y≤b;双曲线壬—长二l中x的范围x≥a或x≤-a;抛物线方程y~2=2px (p>0)中x的范围x≥0,是圆锥曲线的最基本最重要的几何性质,由于课本上对于它们的应用几乎没有介绍,因此,这些性质往往不被人们所重视,以至不能发挥其在解题中的作用.其实,许多数学题用圆锥曲线的范围来解,具有特殊的功效,而且,有些问题若不注意圆锥曲线范围的挖掘,则会造成解题的错误.本文就圆锥曲线的范围在解题中的应用,分类归纳如下,供教学参考. 1 求解有关代数最值(值域)问题 例1 当点(x,y)在曲线(x-5)~2/16 y~2/9=1上变动时,代数式x/16 y/9所能取到的最大值与最小值之和是( ).(1991年上海市高三数学竞赛题) 解 已知椭圆(x-5)~2/16 y~2/9=1中x的范围是-4≤x-5≤4,即1≤x≤9,则 t=x~2/16 y~2/9=x~2/16 1-(x-5)~2/16=     

求函数f(x,y)=x~2 y~2在条件x y=1下最小值的方法及其推广

求函数f(x,y)=x~2 y~2在条件x y=1下的最小值,通常有如下几种解法: 解法一 应用一元函数的配方法 由条件x十y=1,得y=1—x,将其代入f(x,y)=x~2 y~2,得到一元函数 f(x)=x~2 (1—x)~2=2x~2-2x 1=2(x-1/2)~2 1/2(1)因为(x-1/2)~2≥0,故由(1)式知,当x=1/2时,函数f(x)取最小值。将x=1/2代入y-1—x,得y=1/2。因此,当x=1/2,y=1/2时,函数f(x,y)-x~2 y~2在条件x y=1下取最小值(1/2)~2     

两数和的完全平方及其应用

早在初中代数课上,就已经知道了两数和的平方公式 (x y)~2=x~2 2xy y~2(1)、这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们介绍它的部分应用。 一、推证公式问题 以下乘法公式 (x-y)~2=x~2-2xy y~2 (x y)(x-y)=x~2-y~2 (x y)~3=x~3 3x~2y 3xy~2 y~3 (x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 (x-y)(x~2 xy y~2)=x~3-y~3 (x y)(x~2-xy y~2)=X~3 y~3等都可运用公式(1)来推导 例1、求证:(x y)(x-y)=x~2=y~2 证:令a=(x y)/2,b=(x-y)/2, 则两数x、y的平方差,x~2-y~2=(a b)~2-(a-b)~2运用公式(1)有x~2-y~2=4ab据假设条件,得x~2-y~2=4(x y)/2·(x-y)/2,即x~2-y~2=(x y)(x-y) 例2、求证:(x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 证:将上式右端进行配方变换即得证 x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 =x~3-2x~2y xy~2-x~2y 2xy~2-y~3 =x(x-y)~2-y(x-y)~2 =(x-y)~3 类似地,乘法公式都可用公式(1)来推导,此外,还可推证一些多项因式的乘法     

使用判别式要谨慎

用判别式解题,由于诸种因素的相互制约,稍不留意.就出差错,今给出几例,剖析如下. 例1 求函数y=(x~2-x-1)/(x~2-x 1)的值域. 错解:将原式化为(y-1)x~2-(y-1)x y 1=0,∴ x∈R,故有N=[-(y-1)]~2-4(y-1)(y 1)≥0,解得-(5/3)≤y≤1.∴原函数的值域为-5/3≤y≤1. 剖析:上述解答的错误源于忽略了当y=1时,方程(y-1)x~2-(y-1)x y 1=0无解的情况. 正解:∵x~2-x 1=(x-1/2)~2 3/4≠0.∴原等式可化为(y-1)x~2-(y-1)x y 1=0.∵x∈R,故有△=[-(y-1)]~2-4(y-1)(y 1)≥0.解得-5/3≤y≤1.∵ 当y=1时.方程(y-1)x~2-(y-1)x y 1=0无解,∴y≠1.故原函数的值域是-5/3≤y<1.     

初中教师自测试题 数学(数学分析部分)

一函数 1.变量x和y有下述关系,问y是x的函数吗? ①x在[0,+∞)中变化,y~2=x. ②x在[0,+∞)中变化,y=x~(1/2). ③x在(-∞,+∞)中变化,y=3. 2.求下列函数的定义城: ①y=1/(x~2+1) ②y=2x/(x~2-3x+2) ③y=(x+1/x-1)~(1/2) ④f(x)={sinx,x≥0,1/(x+1),-1相似文献   

借助模式 思路宽阔——对“一道分式函数值域题错解纠错”的纠错

文献[1]在对一道分式函数值域的错解进行纠错时,不慎又给出了一个错误答案.摘录如下:问题求函数 y=(1-x~2)~(1/2)/(2 x)的值域.错解原式变形为(x 2)y=(1-x~2)~(1/2),两边平方整理得(y~2 1)x~2 4y~2x 4y~2-1=0,因为 y~2 1>0且 x 是实数,所以△=16y~4-4(y~2 1)(4y~2-1)≥0,从而|y|≤1/3~(1/2),即原函数的值域是[-(3~(1/2)),3~(1/2)].剖析原函数在化为整式及去根号时,扩大了定义域,从而扩大了函数的值域.解因为函数的定义域为-1≤x≤1,所以 x 2>0,可得0≤((1-x~2)~(1/2))/(x 2)≤1/2.当 x=±1时,左端等号成立;当 x=0时,右端等号成立,所以函数的值域为[0,1/2].在高中数学教学中,常遇到一些分式函数的值域求解问题.学生的解题错误率较高,有的甚至感觉     

互动平台

读者信箱开通啦,欢迎同学们把学习中遇到的各种问题寄给我们。来信请寄:南京市高云岭56号《新高考》编辑部互动平台栏目收,邮编:210009,E-mail:xingaokao@163.com。我遇到这样一道题目:求半径为4,与圆x~2+y~2- 4x-2y-4=0和直线y=0都相切的圆的方程.我的解答是:由题意,所求圆与直线y=0相切且半径为4,则圆心坐标为O_1(a,4),且方程形如(x-a)~2+ (y-4)~2=4~2.又已知圆x~2+y~2-4x-2y-4=0,即     

巧求复数模的最值

题 设z是一个复数,且z(?)=4,求:|z 1 3～（1/2）i|的最值.解法1 (代数法)设z=x yi,(x、y∈R),则(?)=x-yi.z(?)=(x yi)(x-yi)=x~2 y~2=4,∴x-±(4-y~2)(1/2)∴|z 1 (3～(1/2))i|=|x yi 1 (3～(1/2))i|=|(x 1) 3～(1/2)i=((x 1)~2 (y 3～(1/2))~2)(1/2)=(8 2(x 3～(1/2)y)(1/2)令k=x 3～(1/2)y,则k-3～(1/2)y=x,