巧用方差(初三)

方差用于衡量一个样本数据波动的大小,计公式为:S~2=1/n[(x_1-(?))~2 (x_2-(?))~2 … (x_n-(?))~2]=1/n[x_1~2 x_2~2 … x_n~2-1/n(x_1 x_2 … x_n)~2]。显然S~2≥0,仅当S~2=0时,x_1=x_2=…=x_n。例1已知实数x,y满足求xy的最大值。解视x,y为一组数据,其方差为S~2=1/2[x~2 y~2-1/2(x y)~2]=-1/4a~2 1/2a 3/4≥0。即(a 1)(a-3)≤0,所以或解得-1≤a≤3.所以xy=(x y)~2-(x~2 y~2)/2=5/2(a-2/5)~2-9/10。当a=3时,xy有最大值,为16。例2已知a,b,c三数满足方程组     

也谈竞赛不等式的创新证法——利用Eξ2≥(Eξ)2证明不等式竞赛题

在文[1]中,王志进,程美老师给出了竞赛不等式的创新证法——向量内积法.笔者通过研究发现一种新证法——利用 Eξ~2≥(Eξ)~2证明不等式竞赛题.因为若随机变量ξ的概率分布为:则方差 Dξ=p_1(x_1-Eξ)~2 p_2(x_2-Eξ)~2 … p_n(x_n-Eξ)~2 …=Eξ~2-(Eξ)~2≥0(*)通过构造随机变量ξ的概率分布,利用(*)式可以全解文[1]中的五个例题.例1 (第24届全苏数学竞赛试题)如果     

不等式复习指要

一、主要内容 比较大小,不等式的证明,不等式的解法,不等式的应用,函数、数列等数学分支内容与不等式的综合问题,如: 示例1 (’95全国高考题)解不等式 (1/3)~(x~2-8)>3~(-2x) 说明:解不等式是每年必考的热点之一。 示例2 (’94全国高考题)已知函数f(x)=tgx(x∈R~ ),若x_1,x_2∈R~ ,判断与f(x_1 x_2/2)的大小,并加以证明。 说明:此题属于比较大小这一内容,几何背景涉及凹凸函数的性质。 示例3 (’95全国高考题)设{a_n}是由正数组成的等比数列,S_n表示其前n项的和,证明:1/2(lgS_n lgS_(n 2))相似文献   

贝努利不等式的应用

若n∈N,n>1,则(1 x)~n≥1 nx. 其中等号当且仅当x=0时成立. 这就是著名的贝努利不等式.高中《代数》下册第123页用数学归纳法给出了它的证明,但未介绍它的应用.本文兹举几例,供教学时参考. 例1若x_i>-1,(i 1,2,…,n),n∈N,且x_1 x_2 … x_n=0,求证 (1 x_1)~n (1 x_2)~n … (1 x_n)~n≥n. 证明:当n=1时,等号显然成立. 当n>1时,由贝努利不等式知(1 x_1)~n (1 x_2)~n … (1 x_n)~n≥(1 nx_1) (1 nx_2) … (1 nx_n)=n n(x_1 x_2 … x_n)=n.     

重要不等式及其应用

在宇宙空间和世界上,大量存在“不等关系”。这类关系在数学中的表现形式是用符号“>”或“<”连结量与量、量与式、式与式等,统称为“不等式”。下面是中学数学中一些重要的不等式。’ (1)(x_1-x_2)~2≥0及x_1~2 x_2~2≥2x_x_2(其中x_1、x_2>0,当x_1=x_2时,等号成立) (2)(x_1/x_2) (x_2/x_1)≥2(其中x_1、x_2>0,当x_1=x_2时,等号成立) (3)如果x>0,y>0,xy=1,则x y≥2(当x=y时,等号成立) 一般说来:如果x_i>0,x_1·x_2…x_n=1(其中i=1,2…n,n表自然数)     

构造局部不等式证明不等式

有些不等式的证明,从整体上考虑难下手,如果构造若干个结构相同的局部不等式,逐一证明后,再利用同向不等式相加或相乘的性质,即得证所求不等式。例1 设x_1,x_2……x_n是n个正数,求证:x~2_1/x_2 x~2_2/x_3 … x~2_n/x_n x~2_n/x_1≥x_1 x_2 … x_n(’84全国数学竞赛     

一类循环不等式

从本世纪中期开始,人们曾极有兴趣地讨论过循环不等式(x_1/x_2 x_3) (x_2/x_3 x_4) … (x_(n-1)/x_n x_1) (x_n/x_1 x_2)≥n/2 (1)是否成立的问题.其中 n≥3,x_1(i:1,2,…,n)非负,且所有分母为正(即 x_1 x_(1 1)>0,此时 x_(n 1)=x_1).为了讨论方便,记(1)式左端为 f_n(x_1,…,x_n).     

Jensen不等式在处理一类竞赛题不等式中的应用

<正>Jensen不等式[1]:若函数y=f(x)是(a,b)上的凸函数,则对任意x_1,x_2,…,x_n∈(a,b)都有f(x_1+x_2+…+x_n/n)≤f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_n)/n.其中等号当且仅当x_1=x_2=…=x_n时成立.Jensen不等式反映了凸函数的一个基本性质,它有着极其广泛的应用.本文中我们利用此不等式     

用不等式求三角函数式极值(最值)常见错误剖析

求三角函数式的极值,最常用的不等式及其性质、定理,可归纳为以下三个方面: 1.一元二次方程在实数范围内有解,则判别式大于或等于零,即b~2-4ac≥0; 2.三角函数具有有界性,如-1≤sinx≤1,-1≤cos≤1; 3.x_1 x_2 …x_n/n≥(x_1·x_2…x_n)~(1/n)(x_1,x_2,…x_n均为正数,n为正整数,当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立)。 利用不等式求三角函数式的极值时常见错误剖析如下:     

一个不等式的商榷

本刊86年第一期刊载的“一个不等式的证明”所介绍的不等式,若a_1>0,a_2>1,…,a_n>1,且sum from i=1 to n(a_1)=K,证I_n~K=(a_1 1/a_1)(a_2 1/a_2)…(a_n 1/a_n),则I_n~K≥(K/n n/K)~n。这个不等式在一般情况下是不成立的,例如当a_1=4,a_2=5则K=6,I_2~9=(4 1/4)(5 1/5)=22.1,而(9/2 2/9)~2=22.37 ∴I_2~9<(9/2 2/9)~2。为了指出其错误之处,现将其引理的证明抄录于下。 I_2~K=(a_1 1/a_1)(a_2 1/a_2)=a_1a_2 (a_1~2 a_2~2)/a_1a_2     

一个不等式及其应用

定理设x_1∈R~+(i=1,2,…,n),且p、q∈N,p≥q 则(x_1~p+x_2~p+…+x_n~p)/(x_1~q+x_2~q+…+x_n~q)≥(x_1x_2…x_n)~((p-q)/n)。 (当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立)。证明根据幂平均——算术平均不等式:若x_1∈R~+,m≥1(i=1,2,…,n),则(x_1~m+x_2~m+…+x_n~m)/n≥((x_1+x_2+…+x_n)/n)~m(当且仅当x_1+x_2=…=x_n时等号成立)。     

倒数关系不等式及其应用

本文旨在探讨不等式中一类常见、重要的不等式:(x_1 x_2 …x_n)(1/x_1 1/x_2 …1/x_n)≥n~2并通过例题,说明利用这个不等式求解含有分式的不等式有关的问题的求解,不仅有章可循,而且比用其它方法求解更为简洁.命题:设x_1,x_2, …,x_n是n个正实数,(?)∈N且n≥2测(x_1 x_2_…x_n)(1/x_1 1/x_2 …1/x_n)≥n~2当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立,这个不等式就是本文所要介绍的倒数关系不等式.     

《工程数学》要点

《工程数学》课包括概率统计和积分变换(含复变函数)。土建专业只学前者;机电专业全学,为九二级所开设,教材为张尧庭编《概率统计》的前六章与廖祖纬编《工程数学方法》的第五、六、七章.下面分几个部分重点介绍该课。 一.数据的简单分析,重点是均值、分差的计算及性质,加权平均。 给定数据x_1,x_2,…,x_n~2 均值:(?)=(1/n)(sum from j=1 to n(x_i)) 方差:S~2=(1/n)(sum from j=1 to a(x_1-(?))~2) 又给正数p_1,p_2,…,p_a(称为权),加权平     

一类不等式的妙证

本文介绍一类不等式的证明方法。这种证法简洁,有章可循。下面举例说明: [例1] 证明不等式 1/2·3/4…(2n-1)/2n<1/((2n+1)~(1/2))。证明:令S_n=1/((2n+1)~(1/2))则 S_(n-1)=1/((2n+1)~(1/2)) ∵ S_n/S_(n-1)=((2n-1)~(1/2))/((2n+1)~(1/2))=(2n-1)/((4n~2-1)~(1/2))>(2n-1)/2n。(n≥2) 而S_1=1/(3~(1/2))>1/2。故:1/2·3/4…(2n-1)/(2n)相似文献   

算术——几何平均值不等式的几则数学归纳法证明

《高中数学第三册教学参考书》给出了算术——几何平均值不等式的两种归纳法证明。(其中一种是用反向归纳法)。但是,这两个证明都比较繁、从历史角度来看(参看[1]),用通常的数学归纳法来证明这一不等式也是较困难的事。因此,在这里我们介绍它的一些较简单的归纳法证明,供大家数学时选用,参考。算术——几何平均值不等式指: 定理当a_i,i=1,2,…,n,为正数时,有 (a_1 a_2 … a_n)/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/n) (1)式中等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时成立, 为了方便,今后我们使用下列记号: A_n=(a_1 a_2 … a_n)/n,G_n=(a_1a_2…a_n)~(1/n) 当a_1=a_2=…=a_n时,(1)式中等号成立是显然的。故下面我们只须证明,当a_1,a_2,…,a_n不全相等时,必有A_n>G_n,即达目的。     

用不等式求函数极值常见错误分析

利用不等式,x_1 x_2 … x_n/n≥(x_1x_1…x_n)~(1/n)(x_1,x_2…,x_n>0,仅当x_1=x_2=…=x_n时取等号)可求解函数极值问题。但学生在使用时往往不注意上式成立的条件,从而造成错解。举例如下。     

Mitrinovic-Dj okovic不等式的进一步推广

引言在[1]中,Mitrinovic与Dj okovic建立了如下不等式sum from i=1 to n (x_1+1/x_1)~a≥(n~2+1)~a/n~(a-1)其中x_1,…,x_(?),a＞0,x_1+…+x_n=1．在上式中令a=2、n=2,即得到Hardy的一个不等式     

介绍一个不等式

高中代数下册(必修)第12页的练习中有这样一个不等式: x/y y/x≥2(x、y∈R~ )。 在某些资料中有另一个不等式: x/(y z) y/(z x) z/(x y)≥3/2(x、y、z∈R~ )。 一般地,对于n个正数,我们有: 定理:设x_1,x_2,…,x_n均为正数,且x_1 x_2 … x_n=A,则 x_1/A-x_1 x~2/A-x_2 … x_n/A-x_n≥n/n-1(n∈N,且n≥     

一个不等式的再讨论

正设n∈N*,记Pn=(1+1)(1+1/3)…(1+1/(2n+1)).关于Pn的上下界,文[1]给出不等式:     

圆锥曲线的性质在解一类不等式中的应用

我们知道,椭圆(x-h)~2/a~2+(y-k)~2/b~2=1内部(外部)的点(x_1,y_1)满足不等式(x-k)~2/a~1+(y-k)~2/b~2<1(>1)。利用这一性质,可较为方便地求解一类无理不等式,兹举例说明一般方法如下。例1.解不等式:(x~2+4x+5)~(1/2)+(x~2-4x+5)~(1/2)>5。