一道联赛题的多解

2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题的第13题是一道有关不等式恒成立的问题——“若不等式√x＋√y≤k√2（x＋y）对于任意正实数X,Y成立,求k的取值范围．”     

配方法的应用

一、用于因式分解例１在实数范围内分解因式２x２－８x－６＝．解：２x２－８x－６＝２（x２－４x－３）＝２（x２－４x＋４－７）＝２〔（x－２）２－（７√）２〕＝２（x－２＋７√）（x－２－７√）．二、用于化简例２化简x－yx√＋y√－x＋y＋２xy√√．解：原式＝（x√）２－（y√）２x√＋y√－（x√）２＋２xy√＋（y√）２√＝（x√＋y√）（x√－y√）x√＋y√－（x√＋y√）２√＝（x√－y√）－（x√＋y√）＝－２y√．三、用于求代数式的值例３已知x＝３√－２√３√＋２√，y＝３√＋２√３√－２√，求代数式３x２－５xy＋３y…     

周期函数的四种特殊类型及其应用

类型一若y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（x＋k）＝－f（x），则函数y＝f（x）的周期为２k（k为非零常数）．证明∵f（x＋２k）＝f犤（x＋k）＋k犦＝－f（x＋k）＝f（x），∴函数y＝f（x）的周期为２k．例１定义在R上的偶函数y＝f（x）满足f（x＋１）＝－f（x），且在区间犤－１，０犦上单调递增．比较f（２√）、f（２）、f（３）的大小．解析∵f（x＋１）＝－f（x），∴由类型一知f（x）的周期为２．又因为f（２√）＝f（－２＋２√），f（２）＝f（－２＋２）＝f（０），f（３）＝f（－４＋３）＝f（－１），且－１＜－２＋２√＜０，…     

2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题13的另解及引申

题目 若不等式√x＋√y≤k√2x＋y对任意的正实数x,y成立,求k的取值范围． 这是2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题中的第13题,文[1]多层次、多维度地对此赛题的解法进行了探究,给出了7种解法．受文[1]的启示,笔者再给出这道赛题的另外几种解法,并逐步对赛题进行引申,供读者参考,以期抛砖引玉．     

一道竞赛题的研究性学习

在2006年土耳其数学奥林匹克国家队选拔考试中,有如下一道不等式题． 问题1 已知正数x、y、z满足xy＋yz＋zx=1,求证：27/4（x＋y）（y＋z）（z＋x）≥（√x＋y＋√y＋z＋√z＋x）^2≥6√3.     

＂变式＂与赛题

已知x,y都是正数,则在不等式x＋y≥2√xy两边同乘以√xy,得（x＋y）√xy≥2xy,对此式两边再同除以2（x＋y）,即得到一个不等式xy/x＋y≤√xy/2,     

摩尔多瓦国家集训队试题的另证及推广

文中给出了一道2003年摩尔多瓦国家集训队试题： 设x,y,z都是正数,且x＋y＋z≥1,则y＋z^x√x＋x＋z^-y√y＋x＋y^-z√z≥2√3（1）的证明。但思路较复杂,技巧较强．本文给出（1）的另外三种较为简捷的证法,并将（1）推广．     

引而达思 思而达智 智达高远——谈谈我最欣赏的一道高考题

通览2008年高考数学试题,笔者最欣赏上海卷第11题：方程x^2＋√2x-1—0的解可视为函数y=x＋√2的图象与函数y-1/x三的图象交点的横坐标,若x^4＋ax-4=0的各个实根x1,x2,…,xk（k≤4）所对应的点（xi,1/xi）（i=1,2,…,k）均在直线y=x的同侧,则实数a的取值范围是——。     

一个猜想的证明及推广

文[1]由不等式：若0≤x，y，x1，y1≤1，x＋x1=1，y＋y1=1，则L2=√x^2＋y^2＋√x^2＋y1^2＋√x1^2＋y1^2≤2＋√2（1），猜想不等式：若0≤x，y，z，x1，y1，z1≤1，x＋x1=1，y＋y1=1，z＋z1=1.[第一段]     

求函数值域的九种方法

一、观察法根据完全平方数、算术根和绝对值都是非负数的特点以及函数的图象、性质，凭观察能直接得到一些简单的复合函数的值域．例１求函数y＝x＋１√－x－１√的值域．解析将y＝x＋１√－x－１√变形得y＝２x＋１√＋x－１√．易知此函数在区间犤１，＋∞）上是减函数．当x＝１时，ymax＝２√．又∵x＋１√＞x－１√，∴y＞０．∴函数的值域为（０，２√犦．二、配方法例２求函数y＝－x２－６x－５√的值域．解析∵－x２－６x－５≥０，∴－５≤x≤－１．∴当－５≤x≤－１时，－x２－６x－５＝－（x＋３）２＋４≤４，其中当x＝－３时取…     

函数奇偶性的妙用

一、转化不等式 例1求满足｛2x＋y≤2,x≥0,（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）≥1的动点P（x,y）构成的图形的面积．     

一道赛题的多种解法

已知x、y∈R，且满足√x＋2＋√y-5=6．求x＋2y的最小值和最大值．     

直线与曲线相切只有一个公共点吗？

例1 已知直线l：y=2x＋m,椭圆C：x^2/4＋y2/2=1,试问当m取何值时,直线l与椭圆C有且只有一个公共点？ 解析 本题可用△=0求方程组{y=2x＋m,x^2/4＋y2/2=1有唯一解.求出m=±3√2,此时l的方程为y =2x＋3√2或y=2x-3√2,所以直线与该椭圆在x=-4/3√2或x=4/3√2时,只有唯一公共点A（-4/3√2,√2/3）或A（4/3√2,-√2/3）.故相切.     

这样的证明方法更好

题目 证明：如果（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1，那么x＋y=0。     

一线串球 精彩纷呈——从一道国外竞赛不等式谈起

1问题的提出 定理 已知x,y,z∈R＋,且xy＋yz＋zx=1,求证：（√x＋y＋√y＋z＋√z＋x）^2≤4-27（x＋y）（y＋z）（z＋x）. 这是一道土耳其国家队选拔题,笔者通过探索,发现它隐含着极其丰富的内涵,许多数学竞赛题和数学问题,都是以它为源头,通过变换条件逐步演绎深化而成,真可谓一线串球,精彩纷呈．     

“分子常数化”在求分式函数值域上的应用

我们都知道函数y=k/x(k≠0)的值域为{y | y≠0},函数y=x k/x(k＞0)的值域为y∈(-∞,-2√k]U[2√k, ∞),借这两种函数原型,可用"分子常数化"来解决分式函数的值域问题.以下举例说明它的用法:     

对2008年一道上海高考函数题的探究与联想

2008年上海市高考理科试卷中的第11题：方程x^2＋√2x-1=0的解可视为函数Y=x＋√2的图像与函数Y=1/x的图像交点的横坐标,若x^4＋ax-4=0的各个实根x1,x2,…,xk（k≤4）所对应的点（xi,4/xi）（i=1,2,…,k）均在直线y=x的同侧,则实数a的取值范围是____.     

借助一个结论证明一个双向不等式及推广

文[1]建立并证明了“两个十分有意义的无理不等式”．其中 定理1 若x,y为满足z＋y=1的正数,则对于不大于2的正数λ有（√x＋√y）（1/√λx＋1＋1/√λy＋1）〈4/√λ＋2.     

由一道试题的“错解”所引起的思考与反思—均值不等式的应用与分析

我校高二级这次月考数学第（18）题是：已知x,y都是正数,且1/x＋4/y=1,求x＋y的最小值。据笔者阅卷统计约有95％的学生的解答如下：解法1：∵x〉0,y〉0,∴1=1/x＋4/y≥4/√xy即√xy≥4 ①.∴x＋y≥2√xy≥8 ②.即x＋y的最小值是8。     

一道“希望杯”赛题的解法探讨

题目 若√2x＋1 ＋ √3y-2=4,则2x＋3y的取值范围是_____．