π是无限不循环小数,不是计算出来的

人民教育出版社的五年制小学数学课本第十册第4页在讲圆的周长时,该页下方有一小注说:“经过精密计算,知道π是个无限不循环小数。”我们认为这句话是错误的。π是个无限不循环小数即无理数,不是计算出来的。尽管有消息说“π计算到了小数点后面第四点八亿位”,但这不能足以说明π是无理数。正如用开平方的方法,不管你把2~(1/2)计算到     

有关无理数的问与答

学生:无理数与有理数有什么区别? 老师:主要区别有两点:(1)把无理数与有理数都写成小数形式时,无理数能写成无限不循环小数.比如2~(1/2)=1.41421356…,π=3.14159265…等,根据这一点,把无理数定义为“无限不循环小数”;而有理数只能写成有限小数或循环小数,比如1/2=0.5,1/3=0.3,5/11     

识别无理数的简便方法

书本上是这样给无理数下定义的:像2~(1/2)=1.41421356…,-7~(1/2) =-2.64575131…,2~(1/3)=1.2599210…,π等,这些数的小数位数都是无限的,而且是不循环的.这样的小数叫做无限不循环小数,又叫无理数.可     

师生共话无理数

学生:有理数和无理数有什么区别? 老师:主要区别有两点: 1.把有理数和无理数都写成小数形式时,有理数能写成有限小数或循环小数,比如4=4.0,4/5=0.8,1/10=0.1,1/3=0.333……,而无理数只能写成无限不循环小数。比如2~(1/2)=1.4142……,根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。     

中学数学与思维

第八讲数学推理(上) 什么是推理人们在实践中,形成了概念和判断以后,就可以根据已有的知识,通过推理获取新的知识。例1 角平分线上的任意一点,到这个角的两边的距离相等。所以,到一个角的两边距离不等的点,不在这个角的平分线上, 例2 无限不循环小数是无理数;π是无限不循环小数,所以,π是无理数。     

生命的代价——第一次数学危机

同学们,我们知道,除了整数、分数这些有理数外,还有无理数,如2~(1/2)、5~(1/2)、π．如果有人说:“世界上只有整数和分数,除此之外,就再没有别的什么数了”,你肯定说这是谬论,奇怪的是,这一谬论竞出自一位数学家之口,这位数学家还残忍地杀害了他的一名学生,而这名学生正是第一个站起来反对这一谬论的人．     

析“圆周率不能用‘周长÷直径’得到”

在教学中,常有老师说:圆周率(π)虽然是圆的周长和直径的比,但圆周率是不能用“周长÷直径”得到的。因为“周长÷直径”是一个分数,将它化成小数时,就只可能是有限小数或无限循环小数,不可能是无限不循环小数,而圆周率却是个无限不循环小数(无理数)。     

《实数》学习问答

1.什么是无理数?为什么要学习无理数?答:无限不循环小数,叫做无理数.理解无理数应注意:①是小数;②无限小数;③不循环.在数学实际中,人们碰到了开不尽的方根,如’!2,’!5等,还遇到了圆周率π等无限不循环小数.于是就将数进行了扩张,引进了无理数.从而可以解决正实数的开方和线段的度量等问题,如边长为1的正方形的对角线为’!2等.2.无理数和有理数有何区别,常见的无理数形式如何?答:无理数是无限不循环小数,而有理数是有限小数或无限循环小数(有理数都是整数或分数).有理数和无理数是两个互相独立的概念,有理数中没有无理数,无理数中也没有有…     

“无理数”的认识误区

学生对无理数的认识存在误区.1."无限小数是无理数"分析无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数,而无限循环小数是有理数,只有无限不循环小数才是无理数.所以,说"无限小数是无理数"是片面的.2."带根号的数是无理数"分析4^1/2带根号,但4^1/2=2是有理数,所以不要认为带根号的数就是无理数.     

无理数的大小比较及估算

自从“第一次数学危机”,即古希腊人希伯索斯发现了无理数以来,人们对无理数的探究就从来没有停止过.而比较两个无理数的大小,则是其中重要内容之一.无理数是无限不循环小数,所以无法直接写出某个无理数,人们想到了用符号准确地表示一个无理数,如:π,2等等,但这给比较它们的大小带来了一定的困难.那么,究竟如何比较两个无理数的大小呢?要比较两个无理数的大小,首先应明确以前学过的有理数大小比较方法对于实数也适用,即:(1)借助数轴:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;(2)根据数的符号性质:①正数大于零和一切负数,零大于一切负…     

南京市1998年初中毕业、升学统一考试数学试题及解答

(第Ⅰ卷) 第一部分(30分) 一、选择题(每小题3分,共10题,计30分) 1.在实数π,-(2/5),0,3~(1/2),-3.14,4~(1/2)中,无理数有…………………………………( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 2.在数轴上表示不等式x≥-2的解集,正确的是………………………………( ) 3.计算sin30° ctg45°的结果等于 …( )     

π还是个超越数

正笔者在《π是除出来的吗?》一文(详见本刊2014年第2期)中,指出π是不可能通过两个整数相除得到的,因为它是个无理数。说起无理数,大家一定会想到另外一个著名的无理数:2=1.414……那么,同为无理数,π和2,有没有区别呢?区别大着呢!2是"代数数",而π是"超越数"。什么是代数数?如果某个数能成为一个整系数整式方程anxn+an-1xn-1…+a1x+a0=0(其中,an,an-1,…,a1,a0是整数)的解,我们就把它叫做"代数数"。整数3是代数数,因为它可以看作     

从π值到无理数值的猜想

通过对1，000万位π值的计算及其数据结构分析，本文验证了关于π值的“等可能”猜想，即数字0～9在π值数字序列中出现机会均等。本文还验证了E、√2以及其它一系列无理数的“等可能”猜想，从而把猜想命题推广至所有的无理数。     

代数数与超越数

在建立数系的过程中,引入无理数之后,就从有理数集扩展到实数集,一般又总是通过2~(1/2)来引入,因此人们很容易认识到3~(1/5)、7~(1/4)、…103~(1/n)、…都是无理数。但是,往往会造成错觉,错误地认为一切无理数都是用根式表示而开方开不尽的数。从另一角度来考虑,这几个无理数2~(1/2)、3~(1/5)、7~(1/4)都是代数方程x~2-2=0,x~5-3=0,x~4-7=0的根,这必然会使人们考虑到是否无理数都是某一类代数方程的根呢?本文将从代数方程及它们的根来讨论数的分类,并企图对无理数的教学有所裨益。     

“2~(1/2)的认识”:HPM视角下的数感培养

2~(1/2)是学生学习的第一个真正意义上的无理数,2~(1/2)数感的建立对后续的无理数学习具有十分重要的意义。根据数感的组成成分,采用HPM视角来设计和实施"2~(1/2)的认识"的教学:采用重构式,通过面积计算来引入2~(1/2);采用复制式,通过反证法来证明2~(1/2)不是有理数;采用附加式,介绍无理数的历史;通过"在数轴上标出2~(1/2)的准确位置"的活动来凸显2~(1/2)的几何表征。课后的问卷调查和访谈表明,这样的教学对于培养学生无理数的数感是有效的。     

数学题探讨

一(湖南教育学院冷岗松来稿) 题:写出经过点M_1(1,5),倾角为π/3的直线的参数方程(以动点M到M_1的距离l为参数)(高中数学课本第二册第199页第6题) 人民教育出版社出版的《高中数学教材第二册教学参考书》的答案为:x=1 (1/2)ty=5 (3~(1/2)/2)t ①这个答案是错误的,因为在题设“以动点M到M_1的距离t为参数”的限制下,总有t≥0,因此相应地有x≥1,这时方程①只表示l上M_1上方的点组成的一条射线,并不是整个l,(如图),正确的答案应当是:     

抓无理数特点巧明概念内涵

一、抓定义无理数的定义是无限不循环小数 ,它有两层意思 :(1)无限小数 ;(2 )不循环。二者缺一不可。有些无理数 (不是全部 )表现为带根号的数 (如 2、 3等 ) ,但带根号的数不一定是无理数 ,关键要看这个带根号的数最终结果是不是无限不循环小数。如9=3,19=13=0 .3· ,虽然形式上带根号或是无限小数 ,但都是有理数。无限小数与无理数是整体与部分的关系。例 1.判断下面的说法是否正确 ?如果不正确 ,举例说明。(1)无限小数都是无理数 ;(2 )无理数都是无限小数 ;(3)带根号的数都是无理数。思路分析 :从无限小数与无理数的关系以及无理数概念的…     

“实数的概念”:折纸、拼图中发现,计算、比较中建构

无理数的产生源于生活的实际需要,无理数的发现是人类对数的认识的一次理性飞跃,无理数定义的发展说明了人们对任何新事物的认识都伴随着曲折往复而螺旋上升。从HPM的视角设计"实数的概念"的教学,通过对常见的A4纸长和宽的比值的探讨来引入,融入拼图活动来凸显2~(1/2)的几何意义,通过求近似值的计算来体验2~(1/2)是无限不循环小数,通过与有理数的区别来建构无理数的概念,播放微视频来展现无理数的历史。课后反馈表明,这样的教学实现了融入数学史的"知识之谐""文化之魅""探究之乐""德育之效"。     

关于《关于简谐振动周期的讨论》的讨论

《物理教师》1982年第4期《关于简谐振动周期的讨论》一文,作者首先从公式T=2π(m/k)~(1/2)出发,阐述了这样一个基本观点:“应用公式T=2π(m/k)~(1/2)来计算弹簧振子周期时”,由于k和m“皆是系统内在的固有因素,所以它的振动周期不因外界条件的变化而变化”即使“当它置于非惯性系中,它的振动周期依然不变。”笔者认为,上述结论是不全面的,在非惯性系中弹簧振予的周期可能不变,也可能变,不是在所有情况下都“依然不变”。试看如图所示的例题:     

无理数e的一个近似作法

对于有名的无理数如2~(1/2),3~(1/2)、π等,都可用几何作图求出它们的精确值或近似值。本文就打算给出数e的一个近似作法。