不等式e~x≥x+1和ln(x+1)≤x的应用

不等式a~2+b~2≥2ab早已有大量的研究结果,而不等式e~x≥x+1和ln(x+1)≤x(x>-1)的应用却很少有人研究.其实后面这两个基本结论,在有些不等式放缩中所起的作用真是妙不可言,本文将试图通过案例来说明它在不等式放缩中的应用.     

求曲线的切线方程的几个误区

学完导数的几何意义之后，大部分学生都能快捷地求出曲线的切线方程，但是也还存在着一些误区。     

一个不等式ln(1+x)≤x(x>-1)的引申和应用

笔者翻阅近几年各地高考试题及各地模拟卷,发现大多试卷压轴题涉及数列不等式,因为这类题目既需要证明不等式的基本思路和方法,又要结合数列本身的结构特点,有着较强的技巧,对学生的要求较高,具有较好的区分度.本文从一个简单不等式探讨这类问题.     

巧用ln(1+x)＜x证明不等式

在很多问题中都涉及了这样一个重要的不等式:当x>-1且x≠0时,有ln(1 x)0时,则f(x)<     

巧用切线不等式定理证明与导数有关的不等式问题

结合近几年的高考数学导数试题,研究如何利用切线不等式定理来巧解与导数有关的不等式问题,以诱发新的解题线索,提供高效而实用的解题方案.     

导数的应用

在中学数学里，导数的应用主要体现在以下几方面：     

导数应用的常见错误

1混淆曲线y=f（x）在点P处的切线与过点P的切线 例1已知曲线y=1/3x^3上一点P（2，8/3），求过点P的切线方程．[第一段]     

一元三次曲线切线的两个结论

函数图像的切线与该函数导数的几何意义密切相关,同时求曲线的切线方程也是导数的一个基本应用．笔者在教学一元三次曲线的切线问题时,通过独立思考和探究得到了关于一般的一元三次曲线切线的两个结论,现整理成文,供同行鉴赏．     

直线方程x0x＋y0y=r^2的几何意义及其推广

我们知道，若P(x0，y0)是圆x^2 y^2=r^2上的点，则x0x y0y=r^2是该圆的切线；若P(x0，y0)是抛物线y^2=2px上的点，则y0y=p(x0 x)是该抛物线的切线．     

导数应用常见错解剖析

一．有关导数的几何意义的错解剖析 例1，已知曲线f（x）=x^3-3x,过点A（0，16）作曲线f（x）的切线，求该切线的方程。     

与圆锥曲线切线有关的几个结论及其应用

圆锥曲线是新课标高中选修教材的重要内容,直线和圆锥曲线位置关系问题经常是高考的压轴题,而且常考常新,也是一个难点．本文力求从求经过圆锥曲线上一点的切线方程入手,对圆锥曲线的切线问题作进一步探究,以期与各位同仁商榷．     

f'(h(x))=g(x)几个求解定理

研究一般的f'(h(x))=g(x)的求解问题是相当困难的,人们仅就h(x)=e~(αx)及g(x)为某几类函数f(x)作了研究。本文在此基础上再作进一步的探讨,给出了更为广泛深入的结论。     

一个求三次曲线的切线问题的视角

用导数求一些高次多项式函数所对应的曲线在某一点的切线方程是导数几何意义的一个重要应用.课本上介绍的例题多是已知切点的情况下求切线的方程,因此直接应用导数的几何意义即可解决问题.学生在学习这节内容时,不可避免的会遇到一些已知点本身不是切点的情况,在讲授新课时,对此类问题的解决方法,我们也会有所涉及,只要设法求出切点即可解决此类问题.     

错在哪里

数学已知△ABC的顶点A(-1,0)、B(1,0)、C(1,2),求C的度数.错解:∵AC=(2,2),CB=(0,-2),∴cosC=AC·CB|AC||CB|=-22.∴C=135°.物理运动员以速度v从地面竖直向上跳起,设运动员的质量为m,跳起过程中重心上升的高度为h,求此过程中地面对运动员做的功.错解:运动员受重力和地面支持力     

函数[Γ(x)](1/x)·e(α/x)的几何凸性及其应用

设Γ为(0, ∝)上的Gamma函数,Ψ(x)=ΓΓ′((xx))和fα(x)=[Γ(x)]1x.exα,α∈R,x∈(0, ∝),本文研究了函数fα的几何凸性,得到一个关于Gamma函数且含参数的不等式,同时证明了:当n∈N,n 1时,有n 11-ln2nn 2(n!)n 111 n 11 ln2nn-2成立,其加强了Minc-Sather不等式。     

一道课本例题的几个推论

人民教育出版社出版的高中数学第二册（上）（试验修订本·必修）第7章中有这样一道例题：已知圆C的方程是x^2＋y^2=r^2．求经过圆上一点M（x0,y0）的切线方程．（切线方程为函x0x＋y0y=r^2．）     

一个推论的“推论”及其应用

三角形内角和定理的一条推论是：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和．利用这个推论可以又推出一些重要的结论,并能利用这些结论迅速地解决一些相关问题,现举例如下,供同学们参考．     

对不等式x/(1+x)＜In(1+x)＜x的新认知

导数下放后,高中数学里有下面的不等式:x/(1+x)≤ln(1+x)≤x(x>-1).本文将谈谈我们对它的新认识.一、加强首先将上面的对数基本不等式加强为:定理当x∈(0,+∞)时,     

有关曲线的切线方程的几点注意

给定已知点求曲线的切线方程这类题目在近几年的高考试题中时有出现,在各类课外资料中也成了热点问题.由于导数为新增内容,曲线的函数又多是高次函数、超越函数等,其方程的曲线学生大多不熟悉,因而在认识和解题中常出现偏差和错误.现就几类常见的问题归结如下,以期对学生的学习     

高中数学导数与斜率的辨析及应用

教材（人教版）对于导数的几何意义是这样叙述的：“函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f（x）在点P（x0,f（x0）处的切线的斜率,也就是说,曲线y=f（x）在点P（x0,f（x0））处的切线的斜率是f（x0）。相应地,切线方程为y-y0=f’（x0）（x-x0）。”因此,我们有了求切线方程的方法。