利用函数零点解不等式恒成立问题

函数零点及不等式恒成立问题是常见的问题之一.f (x) g(x)> 0或f (x) g(x)<0恒成立,即两个函数积的不等式恒成立问题可用两个函数零点相等性质来解决.研究函数零点及不等式恒成立问题的求解方法能提高学生的解题能力.     

对一道不等式恒成立问题解法的三重反思

这是湖北武汉2007年高三调研卷中的一道题:已知函数 f(x)=x~2+2x+alnx.(1)若函数 f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数 a 的取值范围;(2)当 t≥1时,不等式 f(2t—1)≥2f(t)—3恒成立,求实数 a 的取值范围.此题要利用导数知识作工具,研究函数的单调性,处理不等式恒成立问题.     

高中数学函数与方程的思想探析

函数与方程的思想是高中数学的重要思想方法之一。函数的思想即将方程及不等式的问题转化为函数的问题,借助函数的图像及性质进一步解决问题;方程的思想是把y=f(x)函数看做方程f(x)-y=0的问题,利用方程进一步研究。     

形异实同“琴生”更好

文[1]介绍了定理"已知函数f(x)在区间I上可导,x0∈I,若f(x)在区间I上为下凸函数,则f(x)≥f(x0)(x-x0)+f(x0);若f(x)在区间I上为上凸函数,则不等号反向."并利用它来证明一类对称不等式.事实上,当函数f(x)在区间I上可导时,定理中的不等式与琴生不等式等价,且这类对称不等式用琴生不等式证明更显简洁、高效.     

分离变量是基本通法,无论怎样强调都不为过

文[1]指出:解方程(不等式)的实质就是对方程两端同时施以各种运算,即等价变形,分离出一个变量,即解出一个未知数,在多元方程(不等式)中解出一个未知数就得显函数,如在F(x,y)=0中解出y就得显函数y=f(x),同样在不等式F(x,y)>0中解出y就得不等式y>f(x)(或y相似文献   

导数与其他数学知识的交汇

导数是高中《数学》教材中的重要内容之一,从近几年高考题来看,它已成为高考的新亮点。在高中阶段,导数可以与不等式、数列、函数等知识交汇,所以其试题往往综合性较强。一、导数与不等式交汇例1已知函数f(χ)是定义在R上的奇函数f(χ)是f(χ)的导函数,且f(1)=0,当χ>0时,有χf(χ)-f(χ)/χ~2>0恒成立,解不等式f(χ)>0。     

函数与不等式的综合应用

<正>本文从抽象函数与不等式、二次函数与不等式、几何中函数问题与不等式等方面来阐述函数与不等式的综合应用.一、抽象函数与不等式的综合应用抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查数学符号语言的理解和接受能力,对函数性质的代数推理和论证能力,对一般和特殊关系的认识能力.例1设函数f(x)定义在R上,对任意     

活用构造法处理导数问题

构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时,根据所要证明的不等式,构造与之相关的函数,利用函数单调性、极值、最值加以证明.本文略举两例从多角度说明构造法证明不等式的常用方法,以供探讨.例1已知函数f(x)=cosx+(1/2)x^(2).     

导数中的二次求导问题再探究

y=f(x)的二阶导数,是将原函数进行二次求导。利用二阶导数可以了解函数的凹凸性;利用二阶导数构造新函数可以研究原函数的单调性;利用二阶导数及数形结合法还能解决一些不等式证明问题。     

利用函数性质证明不等式

不等式的证明方法有比较法、分析法、综合法、归纳法等等,但对于一类不等式,有时不如利用函数性质及图象来证明更显得直观形象。我们知道,若在含有字母的式子中,如若认定某一字母为自变量,而另一些字母看成是一定范围内的常数,那么不等式便成了以选定为自变量的那个字母的一元一次或一元高次不等式,进而可以以此字母为变量构成函数。因此,我们可利用函数的性质来证明某些不等式。 (一) 利用函数的单调性证明不等式大家知道,若函数y=f(x)定义在x∈[m,n]上(m0;同样,如若y=f(x)在x∈[m,n]上是单调递减函数,又f(n)≥0,那么y=f(x)在x∈(m,n)上恒有f(x)>0。根据此性质可证明如下的一些问题。     

谈抽象函数中的不等式证明

抽象函数和不等式都是高考中的重点和难点 ,而这两大问题的交叉又使问题变得更加灵活和复杂。在抽象函数的不等式证明中 ,它既有函数性质的灵活应用 ,又有不等式证明技巧的合理选用 ,这又加大了分析问题和解决问题的难度。本文通过几个例子 ,对这类问题进行分析 ,盼能理出一个解决这类问题的头绪。例 1　已知函数 y =f(x)x 是定义在R+ 上的减函数 ,求证 :当x1、x2 ∈R+ 时 ,一定有 f(x1) +f(x2 ) >f(x1+x2 )。析与解　这是一个抽象函数的不等式证明题。已知的条件是函数的单调性 ,所以可考虑x1、x2 和x1+x2 的大小关系 ,再利用函数的单调性…     

利用函数性质证明不等式

不等式是数学中不可缺少的工具之一．有许多不等式在数学研究中有着重要的作用．在中学数学中证明不等式的方法有许多种．但用初等数学知识证明不等式比较困难本文将不等式问题转化为函数问题．利用函数性质．如单调性．微积分中值定理．函数的极值和最值性来研究、解决不等式问题．利用函数性质来研究．解决不等式问题,使学生掌握不等式证明的函数思想方法,从而提高学生的分析问题与解决问题的能力．     

关于一类函数不等式

本文给出一类函数不等式f(n(x,y))+f(m(x,y))≤P(f(x),f(y))的解的存在条件及其表示法。     

用导数法解决三次函数中的范围问题

正与三次函数相关的问题,近年来在各级考查试卷中经常出现,其中大部分题型都可利用导数法来求解,本文介绍的三次函数中的范围问题是常见类型,请看题例示范.1与函数的单调性相关.利用所给函数的单调区间列出不等式求解例1已知函数f(x)=x3-ax+b,①若f(x)在实数集R上单调递增,求a的取值     

一道高三调考题的繁解、错解、简解

问题:(武汉市2007年高三二月调考理科数学第21题)已知函数f(x)=x2 2x alnx．(1)若函数f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数a的取值范围; (2)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t) -3恒成立,求实数a的取值范围．此题主要考查利用导数知识作工具．研究     

高考中以函数为背景的不等式

函数、不等式是中学数学的主要内容.历年高考中常见以函数为背景的不等式,有些考生对于这类试题常常望而生畏,束手无策.本文探究求解这类问题的基本思路,期望有助于考生提高解题能力.1利用函数性质例1已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,若(-∞,0)是该函数的减区间,求使不等式f(2x-     

函数的图象和性质在证明不等式中的运用

函数的图象和性质在证明不等式中有广泛的运用,本文利用函数的性质和图象,对一些常见不等式给出了一些新颖的证法. 例1设。>。>0,比较《早《与旦干李的大 一一---一’一~a艺 b乙‘a b一‘/-小(高中课本《代数》下册(必修本)尸32,3).例3求证:‘十六 分·…六>几易知函数f(x)一衍寸在‘0,aZ一 co)上为减函数.又f(bZ)=aZ一bZaZ bZ’f(ab)=一abaZ aba一ba b.因为a>b>0,所以ab>护>0,从而(n>1且n任N).(课本《代数》)(必修本,下册,Pl邓,33) 证明:原不等式等价于 ‘·六·六·分·…六一石>0,令f(n,一‘ 六 六十六一几,则 f(一‘,一f(n,一六一俪…     

构造可导函数解不等式问题

利用导函数研究函数的单调性,再由单调性来解不等式或证明不等式,是函数、导数、不等式综合题的一个难点,也是近几年高考的热点。解题关键点是构造辅助函数,把不等式问题转化为利用导函数研究函数的单调性或最值,从而解决不等式问题。     

数学分析中不等式证明的常用方法浅探

不等式的证明是数学分析中经常遇到而且比较困难的问题,本文将对数学分析中不等式证明的常用方法作简单的归纳与总结。一、利用函数单调性证明不等式这是最常用最基本的方法。由文[1]定理7.1,若函数.f在(a,b)可导,则.f在(a,b)内递增(递减)的充要条件是f'(x)≥0(f'(x)≤0),x∈(a,b)。特别地,设函数f在(a,b)内可异,若f'(x)>0(f'(x)相似文献   

浅谈函数思想在解数学题中的应用

函数思想是解决这些数学问题的最常用、最有利的工具。目前,有许多专家学者对函数思想进行过研究,并且取得了很多的成果。本文精选一些实例,通过对例题的分析、探讨、梳理、归纳出函数思想在中学数学中的应用。一、函数思想在不等式中的应用函数思想与不等式有着内在的联系,不等式f(x)>0或f(x)<0其实就是当取正值或取负值时,自变量x的范围。不等式的