由递推公式求通项公式常见问题分析

数列中一个很重要的问题是由递推公式求通项公式,这类问题的一般方法是把递推公式变形,然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式,最后用新数列的性质解决问题.一、基本方法1.求和法:采用累加或累乘,有时需要用到a_n=S_n-S_n-1.例1已知正数数列{a_n}的前n项和S_n=1/2（a_n+1/a_n）,求{a_n}的通项公式.     

数列通项公式和前n项和的求法

一、数列通项公式的求法1.通项法:当我们明确该数列是等差数列或者是等比数列时,可以直接通过等差数列的通项公式a_n=a₁（n-1）d,或者等比数列的通项公式a_n=a₁q^n-1求得.2.观察法:例（1）2,4,6,8,……参考答案:a_n=2n     

从简约走向深刻诠释等比数列

一、基本概念题,体会简约问题问题1:等比数列的通项公式问题例1已知数列{a_n}是等比数列,且a₄+a₇=9,a₅+a₈=18,a_n=64,求项数n.分析:本题考查的是等比数列的定义及通项公式的应用,等比数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁q^n-1,确定a₁及q后,又写出a_n关于n的表达式,再由a_n=64可求得n.解法1:因为     

巧用待定系数法求递推数列的通项公式

由数列的递推公式求通项公式是数列的重要内容.在这类问题中,最简单的递推公式是a₁=a,a_n+1=ka_n+b（k≠0）（当k=1时,它就是等差数列;当b=0时,它就是等比数列）.我们可以设a_n+1+m=k（a_n+m）,其中m是待定的常数.比较系数可得m=b/（k-1）（k≠1）,故a_n+m=（a₁+m）k^n-1,a_n=[a+b/（k-1）]k^n-1-b/（k-1）.下面结合具体的问题,用待定系数法求简单的一阶递推数列的通项公式.     

一道课本习题的解法探究

人教A版必修五教材第69页的习题6为:已知数列{a_n}中,a₁=5,a₂=2,a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）,对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?与教材配套的教师用书给出了如下解答:由a_n=2a_n-1+3a_n-2,得a_n+a_n-1=3(a_n-1+a_n-2),及a_n一3a_n-1=-(a_n-1-3a_n-2),于是a_n+a_n-1=（a₂+a₁）·3^n-2,a_n-3a_n-1:（a₂-3a₁）·（-1）^n-2.     

高考数列解答常考哪些知识点

考点1:等差数列与等比数列的综合问题高考真题1（2014年高考湖南理科卷第20题）已知数列{a_n}满足a₁=1,|a_n+1-a_n|=pⁿ,n∈N^*.（Ⅰ）若{a_n}是递增数列,且a₁,2a₂,3a₃成等差数列,求p的值;（Ⅱ）若p=1/2,且{a_2n-1}是递增数列,{a_2n}是递减数列,求数列{a_n}的通项公式.难度系数0.55     

2021年全国新高考数学Ⅰ卷第17题的解法探究和教学启示

1问题提出(2021年新高考Ⅰ卷第17题)已知数列{a_n}满足a1=1,a_n+1={a_n+1,n为奇数,a_n+2,n为偶数。(1)记b_n=a_2n,写出b₁、b₂,并求数列{b_n}的通项公式;(2)求{a_n}的前20项和.本题以“奇偶项交织”的递推关系考查数列的基本知识,注重基础,但形式新颖,解题方法较为丰富.     

求通项6招

1.累加法（逐差相加法）例1已知数列{a_n}满足a₁=（1/2）,aⁿ⁺¹=a_n+(1/（n²+n）,求a_n.分析一般地,可将递推公式a_n+1=a_n+ f（n）转化为a_n+1^-a_n=f（n）,利用累加法（逐差相加法）求解.     

等比数列求和公式推导方法赏析

在数学公式的教学中,公式的推导过程既是明确公式的条件和结论的过程,又是培养学生推理能力的过程,同时也是加强公式记忆的过程,因而具有极其重要的地位.本文以等比数列求和公式为例向读者介绍八种推导方法.这些方法思路迥异,殊途同归,各有巧妙,无不彰显数学科学独特的美丽.设数列{a_n}是公比q的等比数列,推导数列{a_n}的前n项和公式.方法1错位相减法对于等比数列{a_n},它的前n项和是S_n=a₁+a₂     

数列解答题的常见类型及解题技巧

类型1:已知数列{a_n}为等差数列或等比数列,求解相关的问题解题技巧利用基本量法解答,即运用等差数列或等比数列的通项公式、求和公式等,将题中所涉及的数量关系均用基本量（首项a₁和公差d或公比q）来求解.例1已知等差数列{a_n}满足:a₁=2,且a₁,a₂,a₅成等比数列.     

一道高三模考数列题的解法探究

试题(2020年11月衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测第20题)已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n,且a₁=1,S_n+1+S_n=a²_n+1(n∈N^*).(Ⅰ)求a₂,a₃的值,并写出数列{a_n}的通项公式.     

错解数列题的原园分析

易错点1:忽视数列求和的项数而导致错误例1设数列{a_n}的前n项和为S_n,且b_n=2-2S_n,数列{a_n}为等差数列,且a₂=14,a₇=20.（1）求数列{b_n}的通项公式.（2）设c_n=a_nb_n,T_n为数列{c_n}的前n项和,若2a²-5a>2T_n恒成立,求实数a的取值范围.难度系数0.60     

刨根问底找题源

一、以教材例题为题源高考真题1（2014年高考湖南文科卷第16题）已知数列{a_n}的前n项和S_n=（n²+n）/2,n∈N*.（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式.（Ⅱ）设b_n=2^a_n+（-1）ⁿa_n,求数列{b_n}的前2n项和.教材原型（人教A版高中数学教材必修5第44页例3）已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+（1/2）n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如     

求数列通项最值的一个误区

已知数列{a_n}的通项a_n=f（n）（n∈N^*）,求a_n的最大值或最小值.对于这个问题,目前有一种解法是通过"求如下不等式组的解集"来确定正整数n的取值,从而得出a_n的最大值或最小值,即:要使a_n最大,则应满足a_n≥a_n-1,a_n≥a_n+1（n≥2）;要使a_n最小,则应满足a_n≤a_n-1,a_n≤a_n+1（n≥2）;其解题步骤是:先由题意列出相应的     

巧用不动点求几类递推数列通项

已知数列{a_n}的递推关系式为a_n+1=f（a_n）,若存在实数a使得f（a）=a,则a称为数列{a_n}的不动点,在递推式a_n+1=f（a_n）中若令a_n+1=a_n=x,则方程f（x）=x的解就是数列{a_n}的不动点,方程f（x）=xc叫做递推式a_a+1=f（a_n）的特征方程.利用不动点,可将某些由递推关系所确定的数列转化为等差、等比数列.下面举例说明.1 a_n+1=pa_n+q（其中p、q为常数,p≠0,q≠0）型     

2014年高考数学必做解答题——数列

第1点等差、等比数列的综合,数列求和（）必做1已知等差数列{a_n}的首项a₁=2,a₇=4a₃,前n项和为S_n.（1）求a_n及S_n.（2）设b_n=（S_n-4a_n-4）/n,n∈N*,求b_n的最大值.牛刀小试破解思路对于第（1）问,等差数列问题通常以首项a₁和公差d为基本量,由于已知a₁的值,故只需把条件a₇=4a₃翻译成关于d的方程,从而得到d的值;再利用等差数列的基本公式（通项公式及前n项和公式）求解即     

2014年高考新课标Ⅱ卷数列题解答分析

一、试题2014年高考数学课标卷试题:已知数列{a_n},满足a₁=1,a_n+1=3a_n+1.（Ⅰ）证明{a_n+1/2}是等比数列,并求{a_n}的通项公式;（Ⅱ）证明1/（a₁）+1/（a₂）…+1/（a_n）<3/2.此题设置两道小题,融数列、方程与不等式等高中数学主干知识,以及换元、放缩、数学归纳法等核心数学思想方法,逻辑推理、归纳类比等核心能力于一体,具有较强的探索性,考查学生对数学主干知识与核心思想方法的深层次理解与掌握.第（Ⅰ）小题待求结论     

对一道高考试题的引申

本文对陕西省2009年文科高考题中的一道数列题进行引申,并给出一般性的中等数学的处理方法.陕西省2009年文科数学高考题第21题:已知数列{a_n}满足a₁=1,a₂=2,a_n+2=(a_n+a_n+1)/2,n∈N*.（Ⅰ）令b_n=a_n+1-a_n,证明,数列{b_n}是等比数列;     

一道高考题引发的思考

数列求和问题历来是高考的热点、重点、难点。对于求形如{a_nb_n}的数列的前n项和S_n这类问题,其中{a_n}是公差为d（d≠O）的等差数列,{b_n}是公比为q（q≠1）的等比数列,常规方法自然是错位相减法。是否有其他的方法可以解决这类问题呢?现通过研究2014年高考安徽文科数学第18题,探究解决这类问题的思路。一、解法探讨例1（2014年高考安徽文科）数列{a_n}满足a₁=1,na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1）,n∈N^*。（1）证明:数列{a_n/n}是等差数列。     

一类数列公共项问题的求解策略

<正>对两个数列{a_n}和{b_n}，特别是两个等差(比)型数列，经常会遇到求它们的公共项组成的新数列{c_n}的相关问题．本文借助几个典型例题，分析此类问题的几种求解策略，期望对大家的解题有所帮助．一、观察通项，寻找最小公倍数例1已知数列{a_n}和{b_n}的通项公式分别为a_n=3n+6,b_n=2n+7(n∈N^*)，它们的公共项由小到大排成的数列是{c_n}．(1)求c₁,c₂,c₃,c₄的值;(2)求数列{c_n}的通项公式．