第20届俄罗斯中学数学奥林匹克第四阶段试题和解答

1.有七只相同的玻璃杯装水:第一只装半杯,第二只装三分之一,第三只装四分之一,第四只装五分之一,第五只装八分之一,第六只装九分之一,第七只装十分之一。可以将一只杯子里所装的全部水倒到另一只杯子里,也可以将一只杯子里的水倒到另一只杯子里直到倒满为止。照这样的倒法,能不能在若干次以后有一只杯子里装(1)十二分之一;(2)六分之一?     

俄罗斯第二十一届中学数学奥林匹克第三阶段试题及解答

八年级 第一天 1.a_na_(n-1)…a_0=a_n10~n a_(n-1)10~(n-1) … a_0表示十进制数(即a_n,…,a_0是十进制数码),问:是否存在数(?)和(?),使(?)=(?)? 解 不存在.因为 2.班级中考试及格的学生人数既不少于95.9％,也不多于96.5％,问:班级中至少     

第22届俄罗斯中学数学奥林匹克(决赛)

说明:第22届俄罗斯中学数学奥林匹克(决赛)于1996年4月20日～21日在俄罗斯梁赞市举行,比赛按九年级、十年级、十一年级各分两天进行,每天5个小时作4个题目,我国山东队代表中国参加了这次比赛,并取得了较好的成绩。     

第21届俄罗斯数学奥林匹克决赛试题解答

9.1.x可为0或12。 注意抵达时刻中的分钟数z或为x y,或为x y-60,但因x y<24 24<60,所以仅可能为z=x y。 假定火车在行走途中共经历了k次昼夜更替(即在第k 1天抵达目的地),则抵达时刻中的时钟数y=x z-24k。     

第22届全苏中学生数学奥林匹克试题及解答

第一天 I、年级 i。一本书由30篇小说组成,各篇分别有1,2,…,30页.小说从第一页开始刊载,每一篇小说都从新的一页开始.问:以奇数页开头的小说最多可以有多少篇? 答:23。 2。设ABcD是凸四边形.考虑两个凸四边形F:和FZ,其中每个四边形的两个对角顶点为ABcD对角线的中点,而另两个顶点分别为ABCD一组对边的中点.已知四边形F:与FZ的面积相等。试证:四边形ABCD的一条对角线平分其面积. 3.设x,;,‘为三个不同的自然数,而且它们中的任意两数的乘积能被第三个数整除.试证:方程x一百 z=1有无穷多组解。 证将所求的解表示为x=。,,;=:k,‘=mk的…     

第20届美国数学奥林匹克试题及解答

1.对于满足匕A=2艺B,匕C是钝角,三边长a,b,。是整数的△月BC,求周长的最小值并给出证明. 2.对任何非空数集S,令a(S)和二(S)分别表示S中所有元素的和与乘积.求证: ~口(S)_/_,,,_、2.,1,1 、,二粤笔李=l称2+2件l一tl+今+李 ‘曰兀(S)、一/、一23a_b+e乙a+…十令)(·+,),其中“兄”表示对{1,2,…,,}的所有非空子集求和. 5.对于任意固定的整数n)1,求证数列 2 2,22,22,…(modn)自某项后是常数.4.设a==mm+1+”n+1爪m+n其中二,”是正整数.求证: am+a”)mm+n”. 5.设D是已给△ABC的边AB上的动点,E点在该三角形的内部且是△ACD和△BCD内切…     

第18届美国数学奥林匹克试题及解答

1.对每个正整数n,令试求整数0相似文献   

第24届全苏数学奥林匹克试题及解答

九年级 1.设t为任意实数,求证不等式t~4-t 1/2>0. 2.已知在凸四边形中,过一组对边的两个中点的直线与四边形的两条对角线成等角,求证两条对角线相等.     

第25届全苏数学奥林匹克试题及解答

九年级1.求方程组{x之一Zyt=3,xt+y之=1的整数解. 2.黑板上写有:个实数.允许从中擦去任何两个数,例如a和b,而代以另写的一个数宁(。十“).这科r手续共进行”一‘次,最后黑板上只剩下一个数.证明:如果一开始黑板上写有:个1,那么,在所有手续进行完毕后,黑板上所乘。的那个数不“、于专. 3.在平面上有4条直线,其中任何两条均相交,但任何3条均不共点.于是在每条直线上都交得3个交点,它们从直线上截出两条线段,这样共得到8条线段.试问,这8条线段的长度能否分别等于: (a)1,2,3,4,5,石,7,8? (b)互不相同均自然数? 4.彩票上有依次排列着的50个空格,…     

第26届国际数学奥林匹克试题及解答

第26届国际数学奥林匹克比赛于1985年7月3日至5日,在芬兰首都赫尔辛基市举行.我国中学生代表吴思皓(上海向明中学高二学生)和王锋(北京大学附中高三学生)由中国科协王寿仁、中国数学会裘宗沪两同志率领下,首次远征参加国际中学生数学竞赛.这次竞赛的笔试分二场完成,满分为42分.我国选手吴思皓以17分成绩获得三等奖.《科学画报》1985年第12期和1986年第1期分别刊登了这两场笔试的试题,并请吴思皓同学作了解答,现转载如下.     

第20届俄罗斯中学生数学奥林匹克第2轮试题和解答

试题6年级1．在一张纸上写出20个数1.1与20个数11.1．请你删去一些数，使得剩余的诸数的和等于19.93．2．试用形如图1所示的图形拼成一个正方形．3．学校在元旦给每个学生买一块巧克力糖．已知，如果买每盒20块的巧克力糖，那么需要比每盒24块糖的多买5盒，试问这个学校的学生有多少？4．试确定，23时45分的时针与分针之间的角是多少？5．在某个月中星期一的个数大于星期二的个数，而星期日的个数大于星期六的个数．这个月的5日是星期几？这个月能不能是12月？7年级1．试在式子2：3：4：5：6＝5的左边插入一些括号，使式子成为正确的等式．2…     

第19届美国数学奥林匹克试题解答

1.至多可以发行10~5个.我们可以造出10~5个互不相同的五位数证号 a_1a_2a_3a_4a_5.第6位数字 a_6规定为和a_1 a_2十a_3 a_4 a_5的个位数字.这时,如果两个号码的前5位数字 a_1a_2a_3a_4a_5与a_1~′a_2~′a_3~′a_4~′a_5~′中仅有一处不同,那么第6位     

第54届莫斯科数学奥林匹克试题解答

八年级 1.略。 2.都可以。注:本题应将分规理解为两脚间距离l固定的圆规,因而可用其作弧。按题意要求,需求作点A关于点B的对称点A'(亦即点C)。为方便计,将点X关干点B的对称点记作X'。首先,若XB=l,则先以点B为同心,以l为半径作圆,再在圆周上自点X开始相继截3段长为l的弦,即得点X'。以下所作     

第20届俄罗斯中学生数学奥林匹克第3轮试题与解答选编

十年级试题 1.考察数列2,6,30,…,此处第k项是前k个质数的乘积,k=1,2,…。已知这个数列某2个数的差等于3000。试求这些数。 2.在矩形10×19的每个方格中,写上0或1,然后计算每列及每行中各数之和。问可以得不同和数的最大个数是多少? 3.等腰△ABC(AB=AC)的顶角A=30°。在边AB和AC上分别取点Q和P,使∠QPC=45°,PQ=BC。试证BC=CQ。 4.试求这样的最小整数a,使得对于一切的实数x,不等式x~4 2(x~2) a≥4x成立。 5.试证:如果a≥0,b≥0,那么不等式a~3(b 1) b~3(a 1)≥a~2(b b~2) 6~2(a a~2)成立。     

第24届国际数学奥林匹克竞赛试题及解答

第一试 (1983年7月6日)4.5小时 1.试找出所有满足下列条件的定义在正实数集上并取正实值的函数f: (ⅰ)对于任意正实数x、y恒有f(xf(y))=yf(x); (ⅱ)当x→+∞时f(x)→0。解.设f是满足题设条件的函数。则有 (1) f(1)=1,即1是函数f的一个不动点:这是因为由条件(ⅰ)可得     

第24届中国数学奥林匹克冬令营试题及解答

一、给定锐角三角形PBC,PB≠PC．设A,D分别是边PB,PC上的点,连接AC,BD,相交于点O．过点O分别作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F,线段BC,AD的中点分别为M,N．     

第6届数学奥林匹克国家集训队选拔试题及解答

第一天(1991年4月17日8:00一12:30)一、设实系数多项式 了(x)二x” 。,x”一‘ … a。的根为实数吞,,bZ,…,乡。,其“},。)2· 试证:对干x>m ax(bl,…,石。),f(x十l)异 Zn之1二1二.,.二、1刀二0,1,2,…。 试证:对任意m任N,都存在厅〔N,使得 二If(f(、))合今d 1 0. 六、将凸多面体的每一条棱都染成红、黄两色之一两边异色的面角称为奇异而角.某顶点A处的奇异面角数称为该顶点的奇异度,记为S*.求证:总存在两个顶点B矛一IC,使得SB S。簇礴.男一乙1牙一瓦x一乡n 二、对i二i,2,…,1991,在圆周上任取”、个点,标上数f,每点只标一个数.要求作…     

第22届国际数学竞赛试题及解答

1981年7月13日至14日，来自27个国家的192名选手在美国首都华盛顿的乔治亚大学举行了第22届国际中学生数学竞     

第21届俄罗斯数学奥林匹克决赛试题

第21届俄罗斯数学奥林匹克决赛于1995年4月20至26日在萨拉托夫市举行,其中有两天为考试。每大4道题,各为5小时 以下各年级的前4题为第一天的试题。后4题为第二天的试题。     

第7届数学奥林匹克国家集训队选拔试题解答

第一天立生~…习:一!州州川州州州州州习川州州州二 。广、、一*}1}1}1{1{2}2}2}2}3}3一3!3一4}4}4}4婴户苦…一}一…一{一…一{一{一…一}一{一一一一’一…一…一}一的代亏{11“!”…二11{“__{三{二…生…“{3…41{“{“{4(按题目顺{一丁}_一万r_{—{二{_{{_卜丁)—1;一_一一厂}一—}— _、.,_,{l」Z一j{4一4」j{Z}1」j一4一l一Z一艺{l}4}3’予引「夕u’i一{一{一…一厂一!一{一…一{一{一}一…一…一…一…一}一 {上…立…二…二…主.…上1二…生{二…立…二…上1二阵}土…土_‘…1.二_二__「_~红立J_三‘{二工公生_{二轰)一生.j...二…