例析圆锥曲线中直线过定点问题的解法

<正>圆锥曲线中的定点问题一直是高考中的热点问题.由于在学习圆锥曲线知识时,教材对这类问题没有作专门介绍,因此定点问题就成了数学高考中的难点之一.本文探究一则圆锥曲线中直线过定点问题的多种解法,以期抛砖引玉.问题已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为槡32,且过A(0,1).(1)求椭圆方程;(2)过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点M、N,求证:直线MN恒过过定     

从轨迹的角度审视圆锥曲线中的一类隐性定点

圆锥曲线中的定点问题是教学中多次遇到的问题,也是高考中经常涉及的题型,蕴含着动静依存的辩证关系,反映了变量在变化过程中的特定状态.文[1][2]相继给出了椭圆、抛物线中内接直角三角形斜边恒过定点的性质: 性质1 已知点G(x1,y1)为椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上一定点,M、N是椭圆上异于点G的两不同动点,且满足GM⊥GN,则直线MN恒过定点(c2x1/a2+b2,-c2y1/a2+b2).     

圆锥曲线定点弦与定直线相关性的推广

经文[1]~[4]的不断研究,文[4]得到了圆锥曲线定点弦与定直线相关性的如下两个性质:性质1椭圆x2/a2+y2/b2=1(a&gt;b&gt;0)的过定点F(m,0)(m≠0,且m0,b&gt;0)的过定点F(m,0)(m&gt;a)的两条动弦AC、BD的两端点的连线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则点M、N的轨迹都是定直线l:x=a2/m.性质2抛物线y2=2px(p&gt;0)的过定点F(m,0)(m&gt;0)的两条动弦AC、BD的两端点的连线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则点M、N的轨迹都是定直线l:x=?m.本文将这两个性质推广到一般的情形,以更深刻揭示圆锥曲线的几何特征.定理过定点F(x0,y0)的两条动直线AC、BD分别与圆锥曲线相交于点A、B、C、D.设直线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则(1)当圆锥曲线为椭圆22ax2+by2=1(a&gt;b&gt;0),且F(x0,y0)不为坐标原点时,点M、N的轨迹都是定直线l:xa02x+yb02y=1;(2)当圆锥曲线为双曲线22ax2?by2=1(a&gt;0,b&gt;0),且点F(x0,y0)不为坐标原点时,点M...     

圆锥曲线的一个性质

笔者在解题时,发现了圆锥曲线的一个性质,整理成文,和读者分享,期盼方家雅正. 性质1 在椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)中,A是椭圆上的一点(除长轴端点外),过A和椭圆的右焦点F2(c,0)作直线l(斜率存在)交椭圆于另一点M,A点关于x轴的对称点是点B,则直线BM与x轴交于定点,且该点的坐标是(a/c,0).     

圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质

最近文[2]对文[1]中关于抛物线的弦对顶点张直角的一个充要条件作了推广,得出椭圆和双曲线的弦对顶点张直角的几个充要条件.本文我们要探讨的问题是将圆锥曲线的顶点改为圆锥曲线上其它任意的一个定点时,若所张角依然为直角,那么弦会过定点吗?反之弦过此定点时,弦所张角会为直角吗?回答是肯定的,即有下面的:定理1设直线l交椭圆xa22+by22=1(a>b>0)于A,B两点,点M(x0,y0)是椭圆上不同于A,B两点的一个定点,则MA⊥MB的充要条件是直线l过定点Nx0(a2-b2)a2+b2,y0(ab22+-ba22).证明先证必要性:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:x=ky+m,代入方程x2a2…     

圆锥曲线中一类由直线过定点引出的斜率定值

定值定点问题是直线与圆锥曲线位置关系中的常见问题,也是高考考查的重点问题.本文研究了圆锥曲线中一类由直线过定点引出的斜率定值问题,得出了几个重要的结论.一、两个引理引理1设O为坐标原点,椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),A,B是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆C上的任一点.     

圆锥曲线中一类定点定值问题

<正>圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的重、难点,知识综合性强,对学生逻辑思维能力与计算能力等要求都较高,此类问题的解决过程渗透了函数与方程、数形结合、转化与化归等数学思想方法.笔者最近遇到一类与斜率相关的定点、定值问题,得到了一般性结论,与诸位共赏.性质1已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),过点P(m,n)分别作斜率为k1、k2的动直线AB、CD与椭圆依次交于A、B、C、D四点,若     

圆锥曲线性质在解高考题中的应用

1．圆锥曲线的性质 性质 已知椭圆x2/b2＋y2/b2=1（a〉b〉0）的一个焦点为F．相应的准线为直线l．若点P是椭圆上异于长轴端点的任意一点,过点F作PF的垂线,交直线lf于点Q,则直线PQ与椭圆相切,且P为切点．     

圆锥曲线的一组统一性质与推广

本文将给出圆锥曲线的一组统一性质及其推广． 定理1如图1,已知椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）及定点N（n,0）（｜n｜≠a,n≠O）,过点N任作一直线交椭圆于A、B两点,     

圆锥曲线的动弦过定点或有定向问题的再探

文[1]论述了圆锥曲线的动弦的两端与曲线上定点连线的斜率之积为定值时动弦过定点的性质，本文将探讨斜率之和为定值时动弦过定点与有定向的性质．定理1椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2上定点P（x0，y0）与椭圆上两点A、A'连线的斜率存在，则：（i）动弦AA’所在直线必过定点M（x0＋a/bk·y0,b/ak·x0－y0为）（k≠0）的充要条件是PA、PA’的斜率之和为为定值－2k·b/a；（ii）动弦AA'必有定向（kAA'＝b2/a2·x0/y0)的充要条件是PA、PA'的斜率之和为0．比较（l)、（2）两式可知：直线AA’过定点（定值）所以动弦AA’有定向．推论（i）满足定…     

曲线过定点问题解题策略

<正>近几年,高考试卷中圆锥曲线压轴题经常出现曲线过定点问题,由于在解题之前不知道所过的定点,因而对解题增添了一定的难度,怎样破解曲线过定点问题?下面通过具体的例子,介绍此类问题的求解策略.1直线过定点问题1.1特殊探路,一般证明例1已知椭圆C的离心率e=槡32,长轴的左、右端点分别为A1(-2,0),A2(2,0).(1)求椭圆C的方程;(2)设直线x=my+1与椭圆C交于P,Q两点,直     

椭圆内接直角三角形的一个性质——对2007年高考山东卷理21题（文22题）的探源、推广、引申

题目已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.若设椭圆C的右顶点是A2,则△ABA2为直角三角形.利用一般化、特殊化、类比的思维方法,可以发现椭圆内接直角三角形的一个性质.性质椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0),A2(a,0),直线l与椭圆交于A,B两点,若AA2⊥BA2,则直线l过定点Ma(a2-b2)a2 b2,0.证明设直线AA2:y=k(x-a),联立y=k(x-a),x2a2 y2b2=…     

圆锥曲线与定点定直线有关的一个统一性质

笔者通过探究,发现圆锥曲线与定点定直线有关的一个统一性质． 性质 1如图1设AB是椭圆χ＾2/a^2＋y^2/b^2=1（a＞b＞0）过定点F（m,0）（｜m｜〈a,m≠0,的弦     

圆锥曲线内接直角三角形斜边恒过定点问题的探究

文［1］对椭圆内接直角三角形斜边恒过定点问题进行了探究,得到如下定理：已知RtΔMA N的三个顶点均在椭圆x2a2＋ y2b2＝1（a＞ b＞0）上,其中直角顶点 A（x0,y0）,则斜边 MN 所在的直线恒过定点（ c2 x0a2＋ b2,- a2c2＋y0b2）。     

用圆锥曲线的定义求一类最值问题

各种数学资料中 ,经常出现如下一类问题 :点 M为圆锥曲线上一动点 ,求它到圆锥曲线的一个焦点 F和平面上一定点 A的距离和的最值 .大多数学生对这类问题感到困难 ,不知如何入手 .本文利用圆锥曲线的定义巧妙地求出这类问题 .1　椭圆、双曲线、抛物线中的有关结论1.1　椭圆结论 1　设椭圆 x2a2 + y2b2 =1(a >b>0 )的左、右焦点分别为 F1 、F2 ,平面上一定点 Q(x0 ,y0 ) ,M为椭圆上任意一点 .(1)定点 Q(x0 ,y0 )在椭圆内部 (即 x20a2 + y20b2<1) ,则 | MF2 | + | MQ|的最小值是 2 a -| QF1 | ;最大值是 2 a + | QF1 | .(2 )定点 Q(x0 ,…     

一道值得一探的解几高考题

题（2006年高考浙江卷理科第19题）如图1,椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）与过点A（2,0）,B（0,1）的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=√3/2.     

圆锥曲线的弦对顶点张直角的一组性质

文[1]给出了关于抛物线的弦对顶点张直角的一个充要条件:设直线l与抛物线y2=2px相交于A、B两点,则OA⊥OB(O是坐标原点)的充要条件是直线l过定点(2p,0).文[1]还对有心圆锥曲线的弦对对称中心张直角进行了研究并获得了一组结论.本文给出关于有心圆锥曲线的弦对顶点张直角的充要条件.定理1设椭圆xa22+by22=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1、A,上、下顶点分别为B、B1,直线l与椭圆交于C、D两点,则(1)AC⊥AD的充要条件是直线l过定点M1(a(aa22+-bb22),0);(2)A1C⊥A1D的充要条件是直线l过定点M2(-a(aa22+-b b22),0);(3)BC⊥BD的充要条件是…     

物理竞赛中的椭圆

在数学中,到两个定点的距离之和等于常数的点的集合为椭圆.当以长轴为x轴时,椭圆的标准方程为x2/a2+y2/b2=1(a>b).椭圆是一种圆锥曲线,在平面上到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e的点的集合是椭圆.偏心率     

例析圆锥曲线一个统一性质的变式应用

教学中,我们发现椭圆具有以下性质： 如图1,过椭圆x2 /a2 ＋ y2/b2=1（a〉b〉0）一点P作椭圆的切线交直线x= a2/c 于点A,则以线段AP为直径的圆恒过椭圆的右焦点F（c,0）．     

圆锥曲线与圆相关的一个性质

本文介绍圆锥曲线与圆相关的一个性质． 性质1如图1,设PQ是椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）过焦点F的弦,点R是椭圆在左（右）顶点A处切线上任一点,直线尺P,RQ与相应于,