方幂和∑k=1^n（ak＋b）^m的一个计算方法

文章给出计算方幂和∑k=1^n（ak＋b）^m（a,b∈N^＋）的递推公式,并利用这个递推公式得出了计算方幂和sm（n）=∑k=1^nk^m的递推公式。     

n^2与（n＋1）^2之间没有自然数的完全平方数

对于任意自然数n，n^2与（n＋1）^2之间没有自然数的完全平方数，这是一个非常明显的数学事实．在处理某些涉及完全平方数的数学竞赛试题时，这一结论有着不可低估的作用．下面以各地数学竞赛试题为例来说明．     

公式1/n（n＋1）=1/n-1/n＋1的运用

在初中数学竞赛题中,经常出现运用上述公式来解的问题,这里举例如下：     

计算n∑k=1 f（k）的一个初等方法

本文利用二项式定理推出前n个自然数的各次方和公式，进而将n∑k=1 f(k)＝n∑k=1 （ack^m a1k^m-1 ... am-1k am)写成n∑k=1 k^m a1n∑k=1 k^m-1 ... am-1n∑k=1 K amn∑k=1 1从而进行有关的计算。     

与阶乘有关的丢番图方程∑k=1^n（k!）=qm＋a

与阶乘有关的高次丢番图方程,一直是数论中引人关注的课题。本文研究了方程∑k=1^n（k!）=qm＋a ,利用阶乘的有关性质,求出了以上方程当a=±5时的全部整数解。     

数项级数^∞∑ n=1 1/n^2k与^∞∑n=1^（-1）^n＋1/n^2k的收敛值

利用傅里叶级数,得出3个递推公式,解决了p级数∑∞n=11/np与交错级数∑∞n=1(-1)n+1/np ,当p=2k时的收敛值问题.     

关于公式1/n（n＋1）=1/n-1/n＋1（n∈N^＊）的推广及应用

我们由1/1＊2=1/1-1/2,1/2＊3=1/2-1/3,1/3＊4=1/3-1/4,……容易发现规律得出公式：1/n（n＋1）=1/n-1/n＋1（n∈N）     

n∑i=1i,n∑i=1（2i-1）^3何时为完全平方数

n∑i=1 i,n∑i=1(2i-1)3何时为完全平方数?欲彻底解决这个有趣的问题,需要Pell方程的有关结论.     

从（k＋1）到k逆向分析举例

使用数学归纳法证明与自然数有关的命题，最为关键的一步是发现由k→(k+1)的关系．当按思维习惯从k→(k+1)去证明，思路受阻时，引导学生打破常规，由(k+1)→k逆向分析，则易揭示受阻原因，寻找到新的解题途径，从而顺利完成整个证明过程，现举几例加以说明．     

证明极限lim（1＋1／n）^n n→∞存在的三种方法

本文介绍了证明极限lim(1 1/n)^n n→∞存在的三种方法。     

公式R=ΔU/ΔI、ΔP=（U1＋U2）ΔI、ΔP=（I1＋I2）ΔU的推导与应用

设定值电阻R上加电压U1时流过的电流为I1，加电压U2时流过的电流为I2，则R=U1/I1=U2/I2=U2-U1/I2-I1=ΔU/ΔI（设U2〉U1）。功率变化：ΔP=P2-P1=U2^2/R-U1^2/R=（U1＋U2）（U2-U1）/R=（U1＋U2）（U2/R-U1/R）=（U1＋U2）（I2-I1）=（U1＋U2）ΔI或ΔP=P2-P1=U2^2/R-U1^2/R=（U1＋U2）（U2-U1）/R=（U2/R-U1/R）（U2-U1）=（I2＋I1）（U2-U1）=（I1＋I2）ΔU。     

有关p-级数∑n=1^∞ 1/n^p与交错级数∑n=1^∞ （-1）^n/（2n-1）^p的和的研究

本文探索求p-级数S（p）=∑n=1^∞ 1/n^p及交错级数J（p）=∑n=1^∞ （-1）^n/（2n-1）^p的和的一般方法和策略,获得一些重要的结论：证明了p-级数与交错级数的和所满足的两个公式,并给出了求p-级数∑n=1^∞ 1/n^p的和的近似公式及误差估计式。     

“n^2与（n＋1）2之间没有自然数的完全平方数”的巧应用

任意自然数n，n^2与（n＋1）^2之间没有自然数的完全平方数，这是一个非常明显的数学事实．这一结论在处理某些涉及完全平方数的数学竞赛试题时，有着不可低估的作用．下面以数学竞赛试题为例来说明．     

拆项公式“1/n（n＋1）=1/n-1/n＋1”的拓展与应用

在初中数学竞赛题中,经常出现运用“拆项公式”来解决的问题,下面举例说明．     

指数不定方程X^2＋（3a^2＋1）^m=（4a^2＋1）^n

设a是一个给定的正整数,且4a^2＋1是一个素数,利用乐茂华和Bugeaud Y关于不定方程X^2＋（3a^2＋1）^m=（4a^2＋1）^n的解数的深刻结果,得到了该方程具有m为偶数或n为偶数的正整数解x,m,n所需要的条件,进而推出：当a是大于1的奇数时,上述不定方程仅有两个正整数解。     

计算方幂和n∑k=1km的一种递推方法

关于计算前n个正整数的方幂和Sm(n)=∑km问题,一直是人们研究和讨论的一个热点问题.本文应用初等微积分的知识,首先给出一个十分有用的积分恒等式,然后借助于这个积分恒等式并且适当运用数学技巧,构造出一个新的结构简单,便于使用的计算方幂和Sm(n)的递推公式,最后利用这个递推公式递归地求出S1(n)到S10(n)的计算公式以及有关方幂和的几个平方关系式与乘积关系式.     

求数列αn＋1=qαn＋P（n）〈p（n）为多项式〉的通项的积分解法

设f(x)=αx,x∈1[1, ∞],且f(1)=m,(m∈R),     

函数f（x）=（mx＋n）√ax^2＋bx＋c（am≠0）最值问题的研究

某数学杂志1994年第12期、1995年第6期、1996年第3期分别探讨了函数y=mx＋n＋l√ax^2＋bx＋c值域的求法。本文在他们的基础上进一步研究函数f（x）=（mx＋n）√ax^2＋bx＋c（其中am≠O）的最值问题。