一道课本例题的探究

题目 已知a，b是正数，且a≠b，求证a^3＋b^3〉a^2b＋ab^2。（这是人民教育出版社、高中《数学》第二册（上）第12页例3）     

重视课本练习题的变形

人教版全日制普通高级中学教科书（必修）第二册（上）第16页练习中第2题是：求证（ac＋bd）^2≤（a^2＋b^2）（c^2＋d^2）．当然，本题很容易解决．若改编为已知a、b、C、d∈R，求证ac＋bd≤√（a^2＋b^2）（c^2＋b^2），证明的难度增大，方法也灵活多样．本文给出题目改编后的六种证明方法．     

一个不等式的推广

命题 已知a，b〉0，且a＋b=1,求证：a/a^3＋b^4＋b/a^4＋b^3≤16/3. 这是《数学通报》2007年第10期刊登的数学问题第1696题，本文将之推广为一般的形式．     

不等式证明中的放与缩

1．用均值不等式放缩 例1 已知a,b,c是不全相等的正数．求证：a（b^2＋c^2）＋b（c^2＋a^2）＋c（a^2＋b^2）〉6abc．     

2006年第9期问题

49、设a,b,c∈R＋，且a＋b＋c=1，求证：11（a^2＋b^2＋c^2）-3（a^4＋b^4＋c^4）≥32/9。     

一道赛题的另一种证法

题目（第20届伊朗数学奥林匹克竞赛题）：设a，b,∈R,且a^2＋b^2＋c^2＋abc=4，证明：a＋b＋c≤3．     

“化蝶”——一道IMO试题证明的探索

笔者曾经碰到这样一道题：正整数a和b使得ab＋1整除a^2＋b^2,求证：a^2＋b^2/ab＋1是某个正整数的平方（第29届IMO试题第6题）.     

构造图形证明不等式

1 构造平面几何图形 例1 a〉0,b〉0,c〉0．求证：√a^2＋b^2＋√b^2＋c^2＋√a^2＋c^2≥√2（a＋b＋c）.     

巧构直线方程 妙证不等式

例1已知a,b∈R,且3a＋4b=8．求证：a^2＋b^2＋2（a＋b）≥7。     

一道课本习题的巧思妙解

题目 设a，b，c为△ABC的三条边，求证：a^2＋b^2＋c^2〈2（ab＋bc＋ca）．（高中《数学》新教材第二册（上）第31页第6题）方法一从结构上看，该题似乎能利用公式a^2＋b^2≥2ab来证明，但试过之后，会发现此路不通，若能想到在证明较复杂的不等式，直接运用综合法难以入手时，往往采用分析法，执果索因．     

对一道课本习题的解法探究

全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）第31页B组题的第6题：设a，b，c为△ABC的三边，求证：a^2＋b^2＋c^2〈2（ab＋bc＋ca）．     

增量法的巧妙应用

本刊2009年第四期介绍一道伊朗数学奥林匹克题[1]：设a,b,c∈R＋,且a^2＋b^2＋c^2＋abc=4,求证：a＋b＋C≤3．     

一道高考试题的九种解法

题目 对于c〉0,当非零实数a,b满足4a^2-2ab＋4b^2-c=0且使｜2a＋b｜最大时,3/a-4/b＋5/c的最小值为____. 解法1 均值不等式法 因为 4a^2-2ab＋4b^2-c=（2a＋b）^2-6ab＋3b^2-c=0,     

一道国家队培训题的另解

题目已知实数a、b、c、x、y、z满足（a＋b＋c）（x＋y＋z）=3，（a^2＋b^2＋c^2）（x^2＋y^2＋z^2）=4．求证：ax＋by＋cz≥0．     

一个猜想的证明及推广

题目 已知a,b为满足a＋b=1的正数,求证：（1/a^3-a^2）（1/b^3-b^2）≥（31/4）^2.     

一道IMO试题的再推广

第36届IMO第2题为：已知abc=1,a、b、c〉0,求证1/a^3（b＋c）＋1/b^3（a＋c）＋1/c^3（a＋b）≥3/2①     

另证一道东南数学奥林匹克试题的推广

题目（第三届（2006年）东南数学奥林匹克第6题）求最小的实数m使得不等式 m（a^3＋b^3＋c^3）≥6（a^2＋b^2＋c^2）＋1 （1） 对满足a＋b＋c=1的任意正实数a,b，c恒成立．     

一道不等式题的解法探讨

【题目】已知a〉0,b〉0,且h=min{a,b/a^2＋b^2},求证：h≤√2/2.     

对一道IMO题的再研究

（第29届IMO第6题）已知正整数a,b满足（ab＋1）｜（a^2＋b^2）,求证：a^2＋b^2/ab＋1等是完全平方数． 该题在当时引起一片讨论声,原因在于该题拦倒了主试委员会成员和一些数论专家．丁兴春老师在文[1]中提出并解决了更难的问题：求满足（ab＋1）｜（a^2＋b^2）的所有正整数a,b的解．     

整式的加减复习指导

有这样一道题：当a=2,b=-2时．求多项式3a^3b^3-1/2a^2b＋b-（4a^3b^b-1/4a^2b-b^2）＋（a^3b^3＋1/4a^2b）-2b^2＋3的值．贝贝做题时把a=2错抄成a=-2．京京没抄错题,但他们得出的结果却一样,你知道这是怎么回事吗？为了弄清楚这个问题．我们先回顾一下第二章“整式的加减”．