勾股定理的应用

勾股定理是举世闻名的定理.它在解决直角三角形问题中有着非凡的作用,也是中考命题的热点之一. 一、由两边求第三边 例1(扬州市2005年中考题)如图1,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走"捷径",在花圃内走出了一条"路".     

2005年各地中考数学试题精选

1.在数学活动课上,老师让同学们判断一个 四边形门框是否为矩形.下面是某合作学习小组 4位同学拟定的方案,其中正确的是() (A)测量对角线是否互相平分. (B)测量两组对边是否相等. (C)测量一组对角是否都为直角. (D)测量其中三个角是否都为直角. 2.已知力F对一个物体所做的功是15焦, 则力F与此物体在力的方向上移动的距离:之间 函数关系的图象大致是() 4.如图2,学校有一块长方形花圃,有极少数 人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条 “路”,他们仅仅少走了_ 步路(假设1米~2步),却踩伤了 花草. 5.如图3,是利用四边形的 不稳定性制作…     

围绕在你身边的勾股定理

勾股定理是一个纯数学的定理,它又怎么会围绕在我们的身边?是的,它一直围绕在我们的身边,一直在为我们的生活变得尽善尽美不断地努力. 一、最短路线与环保意识 例1 如图所示,学校有一块长方形花铺,有极少数人从A走到B,为了避开拐角C走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了____步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.     

中考试题中的勾股“生长”图

由直角三角形的直角边或斜边向三角形的外部作直角三角形、正三角形、正方形、半圆等,可得到各种各样的“生长图”,并常被选作近年来的中考题,现举例如下.生长1:斜边外“长”图1例1(2004年浙江省杭州市中考题)在课本的阅读材料中,介绍了一个第七届国际数学教育大会的会徽.如图1所示,它的主题图案是由一连串的直角三角形演化而成的.设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形,且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=A8A9=1,请你先把图中其他8条线段的长计算出来,填在表1中,然后再计算这8条线段的长的乘积.表1OA2OA3OA4OA5OA6OA7OA8OA9分析由…     

巧思精构,让德育无声渗透于数学课堂

由＂中国和平出版社＂出版的《课程新教案》是标配苏科版教材使用的,在八年级上册第二章第七节《勾股定理应用》的第一课时里有这样一道题目：如图,学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角走＂捷径＂,在花园内走出了一条＂路＂,他们仅少走多少步路（假设2步为1米）却踩伤了花草？     

巧思精构,让德育无声渗透于数学课堂

由中国和平出版社出版的《课程新教案》是标配苏科版教材使用的,在八年级上册第二章第七节《勾股定理应用》的第一课时里有这样一道题目:如图,学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角走捷径,在花园内走出了一条路,他们仅少走多少步路(假设2步为1米)却踩伤了花草?     

勾股定理在共边直角三角形中的应用

如果两个直角三角形有公共边,我们可以把这个公共边作为“桥梁”,应用勾股定理建立两个三角形中边的关系．下面举例说明．例1如图1,已知：在△ABC中,AD⊥BC于D,求证：AB~2+CD~2=AC~2+BD~2．证明AD是Rt△ABD和Rt△ACD的公共边,由勾股定理得     

中考中勾股定理的证明和探索

勾股定理历来是中考重要考点之一,它的证明方法也较多.下面是2004年中考中勾股定理的证明和探索问题,供读者鉴赏. 例1 (2004年山东省济南市中考题)图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c.图2是以c     

彰显数学文化 体味数学之美——赵爽弦图的应用与拓展

<正>勾股定理是数学史上一个非常重要的定理.我国汉代数学家赵爽在《周髀算经》的注解中,创制了一幅"弦图"(如图1,后人称之为"赵爽弦图"),用数形结合的方法给出了勾股定理的严格证明.近年来,以"赵爽弦图"为背景的蕴含数学文化价值的试题在各地中考中不时出现,令人耳目一新.下面从2020年各地中考题中撷取几例,供分享.一、赵爽弦图的应用例1 (2020年绍兴中考题)如图2,直角三角形纸片的一条直角边长为2,剪四块这样的直角三角形纸片,     

与勾股定理相关的探索题

近年来出现了与勾股定理相关的探索题,现举几例说明.一、探索勾股定理的证明例1(2004年济南市中考试题)如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c,如图2是以c为直角边的等腰直角三角形.请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1     

运用勾股定理应注意的问题

运用勾股定理解题应注意哪些问题呢?一、正确识别直角边和斜边例1 在△ABC中,∠A=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,且a=4,b=3。求c的长. 错解:由题意可知,△ABC为直角三角形. 由勾股定理可得c2=a2 b2=42 32=25.所以c=5. 剖析:在直角三角形中运用勾股定理时,首先要弄清楚哪个角是直角,从而确定哪条边是斜边,这样才能写出正确的勾股定理表达式.上述     

谈勾股图

在初中数学教材.“勾股定理”一节中,运用勾股图(如下图)直观地证明了勾股定理:“在直角三角形中,两条直角边平方的和等于斜边的平方.用式子表示为a~2+b~2=c~2.”有的同志提出:勾股图中,最外层的正方形A_1B_1C_1D_1,其用意何在?下面就来介绍这个问题的概况.     

在勾股定理的学习中领悟数学思想

在《勾股定理》一章的学习中,涉及许多重要的数学思想.正确运用数学思想是解决问题的关键.并能收到事半功倍的效果.下面举例说明.一、数形结合思想例1(济南中考)如图1是用硬纸做成的两个全等的直角三角形,两直角边分别为a和b,斜边为c.图2是以c为直角边的等腰直角三角形,请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图,写出它是什么图形.(2)用这个图形证明勾股定理.aa图1图2(3)假设图1中的直角三角形有若干个,你能运用图1中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼后的示意图.(无需证明…     

中考数学探究性试题设计背景评析

一、以教材知识为背景设计探究性试题例1(2005年河北中考试题)如图1,已知圆锥的母线长OA=8,底面圆的半径r=2,若一只小虫从A点出发,绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点,则小虫爬行的最短路线的长是(结果保留根式)此题源于八年级课本《蚂蚁怎样走最近》,教材是以圆柱为载体,于此以圆锥为载体,解决问题均要运用侧面展开,根据“两点间线段最短”,运用勾股定理解决。容易判定侧面展开扇形的中心角恰为90°,答案为8√2。S1S3S2ABC图4CABS2S3S1S1S3S2ABC图2图3例2(2004年四川资阳市中考试题)如图2,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个…     

活用勾股定理 探究一题多变

<正>一、应用勾股定理探究图形面积例1如图1,在直线l上有三个正方形,面积分别为a,b,c,若a=5,c=11,则最大正方形的面积b是多少?思路点拨:根据“AAS”可证Rt△ABC≌Rt△BED,则BC=ED,由勾股定理易得b=a+c=16.变式1:如图2,以Rt△ABC的三边为斜边,分别向外作等腰直角三角形BFC、等腰直角三角形AHC、等腰直角三角形AEB,面积分别为S₁,S₂,S₃,则S₁+S₂=S₃.(请同学们尝试证明)     

倍受青睐的勾股定理

勾股定理是我国数学史上的一颗璀璨夺目的明珠,有着丰富的文化价值,在西方又被称为毕达哥拉斯定理,我国著名数学家华罗庚教授曾把它喻为地球人与“外星人”交流的语言,勾股定理还被人们誉为“千古第一定理”,它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系,可以解决许多直角三角形中的计算与证明问题,现实生活中仍有着极为广泛的应用·笔者在这里将近几年的中考试题送上几例,供同学们学习参考·一例、1逆向(2思00考5型年呼和浩特市)如图1,在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是()(A…     

一题五解

题目 如图1，点D是△ABC的边BC上 一点，如果AB一AD~2， AC=4，且BD:工犯=2:3， 则△八刀C是()B (A)锐角三角形. (B)直角三角形. (C)钝角三角形. D 图1 (D)锐角三角形或直角三角形. (第十六届(05年)“希望杯”初二1试) 分析本题构思巧妙，能较好地考查学生 的猜想及探究能力，而且从下面的几种解法中， 不难发现，本题所用到的知识点大部分是学生 在初二阶段刚学到的，涉及到等腰三角形的“三 线合一定理”、“勾股定理及逆定理”、“平行线分 线段成比例定理”、“相似三角形的性质及判定 定理”、“直角三角形斜边上的中线等于斜…     

证明线段平方问题的好帮手

勾股定理是数学学习中一个非常重要的定理,它揭示了直角三角形三边之间的平方关系.解答一些证明线段平方问题时,别忘了灵活应用这个定理.例1如图,△ABC中,∠C=90°,D是AC的中点,求证:AB2+3BC2=4BD2.分析:由△ABC、△DBC都是直角三角形,得AB2=AC2+BC2,     

重视课本上的"读一读""想一想"

近几年各地中考数学试卷中陆续出现了一些形式新颖的题目 .只要我们稍加注意 ,便不难发现 ,这些题中有相当一部分是来自课本上的“读一读”或“想一想” .例 1　现有四块直角边为ａ、ｂ ,斜边为ｃ的直角三角形纸板 .请从中取出若干块拼图 ,证明勾股定理 .( 1 999,安徽省中考题 )此题出自原《平面几何》第二册第 1 0 9页 .现提供几种拼法 .图 1例 2　我们常见到如图 2那样图案的地面 ,它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的 .这种形状的材料能铺成平整、无空隙的地面 .图 2问 :( 1 )像上面那样铺地面 ,能否全用正五边形的材料 …     

把握数学思想 应用勾股定理

正确的数学思想是成功解题的关键所在.在运用勾股定理解题时,若能正确把握数学思想,则可使思路开阔,方法简便快捷.下面列举在应用勾股定理时经常用到的数学思想,供同学们参考.图1图2一、方程思想◆例1如图1,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上且点C落到E点,则CD等于().A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm分析:由题意可知,ΔACD和ΔAED关于直线AD对称,因而有ΔACD≌ΔAED.进一步则有AE=AC=6cm,CD=ED,DE⊥AB.设CD=ED=xcm,则在ΔDEB中,由勾股定理可得DE2 BE2=BD2.又因在ΔAB…