用待定系数法探索不等式问题的解题思路

在解不等式问题时 ,调整系数、拆项、补项是常用技巧 .但调整系数、拆项、补项时 ,既要考虑不等式的结构 ,又要符合相关要求 ,难以直接确定 .此时若用待定系数法 ,就可兼顾几方面要求 ,只需求出待定系数就行了 .例 1　已知 :1≤ 3x+2 y≤ 3,2≤ x+3y≤5 ,求 5 x+8y的取值范围 .分析　用 3x+2 y及 x+3y将 5 x+8y表示出来是解题的关键 .设 5 x+8y=m(3x+2 y) +n(x+3y) =(3m+n) x+(2 m+3n) y(m,n为待定系数 ) .由 3m+n=5 ,2 m+3n=8,解得 m=1,n=2 .解　 5 x+8y=(3x+2 y) +2 (x+3y) ,∵ 2≤x+3y≤ 5 ,∴ 4≤ 2 (x+3y)≤ 10 .又 1≤ 3x+2 y≤ 3,∴ …     

构造定值 巧求最值

应用均值不等式求最值时,应使和或积为定值。这时往往需要采用“拆项、添项、变系数”等变形技巧构造定值.本文例析若干变形技巧.例1求函数y=x(1-2x)(0相似文献   

巧拆项妙分解三次式

在因式分解时 ,有时可用拆补项为分组分解创造条件 ,但拆补项的方法很多 ,对一个具体题目 ,究竟如何分法 ,却一时不易看出 ,而对于用 1或 - 1代式中未知数时 ,其值为零的多项式 ,可以找出一个如何拆补项的规律 .例　分解因式 :( 1 ) x3 - 3 x2 4;( 2 ) 3 x3 2 x - 5.解 :(     

利用均值不等式求最值

利用均值不等式求最值要注意以下三点：(1)“正”指均值不等式成立的前提条件是a,b∈R~ ,即a,b为正数；(2)“定”指用均值不等式时需要通过补项、拆项、平衡系数等方法凑成和(或积)为定值；(3)“等”指用均值不等式求最值时,一定     

拆添项的一点经验

因式分解的拆添项技巧一般较难掌握。对于一个多项式f(x),当已知它有一零点a,即有f(x)=0时,依据因式定理,f(x)便有一个一次因式(x-a),这时对f(x)因式分解之拆添项便有章可循:可按系数比1:-a进行拆、添,下面举几例以示其法。 例1 分解因式:x~3+x~2-x-10. 析解 因为整系数多项式f(x)的最高项系数为1时,a是其常数项-10的约数,有±1,±2、±5,     

二次函数的两根式在解题中的妙用

在中学数学中,二次函数、一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系,而联系的枢纽就是二次函数的两根式.下面谈一谈它在解题中的妙用.一、巧求解析式例1(2005年全国高考题)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).(1)若方程f(x) 6a=0有两个相等的根     

不等式与数列

1知识内容不等式中,判断不等关系的方法有:1)利用不等式性质;2)举反例.不等式恒成立(或有解)求参数问题的方法有:1)函数与方程观点;2)变量分离.解含参一元二次不等式:二次项系数转正(注意是否为0的讨论),求根(含判别式的讨论),讨论根的大小,写出解集.利用基本不等式求最值,要注意"一正二定三等",创设一个适用基本不等式的情境,常用的技巧有:拆项、变常数、变系数等.数列中,证明等差(等比)数列的方法有:1)定义法,顺     

（3,n）型多项式函数方程xf^2（x）＋xg^2（x）=h^2（x）的解

讨论在复数域上,当f（x）与g（x）的次数都等于3,并且g（x）的次数不超过3时,多项式函数方程xf（x）＋xg^2（x）=h^2（x）的解的情况,得到部分结果.主要结果为：如果h（x）的次数等于1,那么这个函数方程无解;如果h（x）的次数等于2,那么这个函数方程一共有8组解;如果h（x）的次数等于3,那么h（x）的1次项系数等于零时,这个函数方程一共有24组解;当h（x）的2次项系数等于零时,但1次项系数不等于零时,这个函数方程一共有36组解.     

拆项分解法举例

以上两法用的都是拆项分解法。解法一,是把9x~2拆成3x~2 6x~2,26x拆成18x 8x,拆项后每个括号里两项的系数比均为1:3;解法二,是把9x~2拆成2x~2 7x~2,26x拆成14x 12x,拆项后每个括号里两项的系数比均为1:2。这样拆项后才有公因式可提,否则拆项将无意义。     

演好用导数证不等式的前奏——构造辅助函数

用导数证明不等式是证不等式的一种重要方法,证明过程往往简捷、明快,特别是证明超越不等式,更是如鱼得水.证明的第一步要考虑如何构造函数,是证明的关键.若函数构造恰当,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式.本文谈谈在用导数证明不等式时,构造辅助函数的几种常用途径.途径一构造差函数直接作差,即构造差函数,是构造辅助函数的最主要方法.例1求证:不等式x-x22<1n(1+x)0,所以y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为x>0,且f(x)在…     

函数思想在不等式证明中的应用

正函数是中学数学中最为重要的思想方法,一些不等式的证明常常运用函数思想进行求解.下面通过一些典型问题谈谈其在不等式证明中的应用.一、一元不等式的证明对于一元不等式的证明问题可考虑把问题转化为求函数的最大(小)值问题.1.证明不等式f(x)g(x)成立,可设F(x)=f(x)-g(x),问题转化为证明F(x)min0;证明不等式f(x)g(x)成立,可设F(x)=f(x)-g(x),问题转化为证明F(x)max0.例1当x0时,证明:ln(1+x)x-12x2.分析:不等式ln(1+x)x-12x2可化为ln(1+x)-x+     

调整定值 巧求最值

应用均值不等式求最值时，应使和或积为定值．这时往往需要采用“拆项、添项、变系数”等变形技巧调整定值，使复杂问题简单化，从而可得到事半功倍的效果．     

运用均值不等式解题的变形技巧

利用均值不等式解题的关键是凑“定和”和“定积”，此时往往需要采用“拆项、补项、平衡系数”等变形技巧找到定值，再利用均值不等式来求解，使复杂问题简单化，收到事半功倍的效果．[第一段]     

函数、向量 、不等式交汇综合题例谈

向量知识极易与函数、不等式等主干知识融为一体,这已成为新课程高考新的知识整合点,因此,加强对函数、向量、不等式的综合题研究,是高三复习备考的一项重要课题,本文通过典型例题对此作初步探讨。例1已知向量i=(1,0),j=(0,1),函数f(x)=ax4+bx2+c(a≠0)的图象在y轴上的截距为1,在x=2处的切线的方向向量为(a-c)i-12bk,且函数当x=1时取得极值,求f(x)的解析式.     

利用均值不等式求最值的技巧

均值不等式a2 b≥ab(a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立)是一个重要的不等式,利用它可以求解函数最值问题.对于有些题目,可以直接利用公式求解.但是,有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解.下面是一些常用的变形技巧.一、配凑1、凑系数例1当00,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子的积的形式,但其和不是定值.注意到2x (8-2x)=8为定值,故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可.解y=x(8-2x)=21[2x·(8-2x)]≤212x 82-2x2=8,当且仅当2x=8-2x即x=2时取等号.∴当x=2时…     

例析不等式的综合应用

不等式的综合应用主要体现在两个方面,其一是运用不等式研究函数或方程问题,其二是利用函数性质或方程理论研究不等式问题一、运用不等式研究函数问题例1.函数y=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时是增函     

不等式问题求解的拆、添、配技巧

直接求解不等式问题困难较大时,可适当的将原式拆、添、配,运用此技巧便可化难为易,化繁为简,提高解题速度,激发学生的数学学习兴趣.本文举例加以说明. 1.拆的技巧例1 求y=x2+(3/x)(x>0)的最小值. 分析:本题是利用基本不等式求最值的问题,而应用a+b+c≥3 3(abc)求最值时,应考虑到三个正数的积(和)为常数,且三数相等时它们的和(积)取最小(大)值.因此需将3/x平均拆     

形异实同“琴生”更好

文[1]介绍了定理"已知函数f(x)在区间I上可导,x0∈I,若f(x)在区间I上为下凸函数,则f(x)≥f(x0)(x-x0)+f(x0);若f(x)在区间I上为上凸函数,则不等号反向."并利用它来证明一类对称不等式.事实上,当函数f(x)在区间I上可导时,定理中的不等式与琴生不等式等价,且这类对称不等式用琴生不等式证明更显简洁、高效.     

关于伽马函数的一个不等式

最近几年伽马函数的分析不等式研究在国际上相当广泛.利用双伽马函数的导数的一个双向不等式,通过研究函数g(x)=[Γ(x+1)]1/x/x~(1/2)的单调性,从而得到了一个关于伽马函数比的不等式.该不等式在某种特殊情形下改进了张、王和褚的一个不等式.     

利用基本不等式解题时如何配凑定值

<正>在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是"一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得",若忽略了某个条件,就会出现错误.本文就运用基本不等式时,对已知条件如何合理地"拆""凑",使"和式"或"积式"为定值这一个难点,谈几种常用的配凑方法.一、"凑项"使积式为定值例1当x>2时,求函数y=x+1x-2的