关于与自然数有关的命题的两个问题

一、与自然数有关的命题是否都可以用数学归纳法证明? 高中代数(甲)第二册指出:“对于由归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题,我们常常采用下面的方法来证明它们的正确性,……这种证明方法叫做数学归纳法。”可见与自然数有关的命题并不是都可以用数学归纳法证明的。数学归纳法并非是“万应灵丹”。但是,如果教     

数学归纳法在数列中的应用

在研究数列问题时。常常运用不完全归纳法,通过对数列前几项的计算、观察、分析,推测出它的通项公式,或推出这个数列的有关性质,然后再用数学归纳法对结论的正确性予以证明。     

不用数学归纳法的若干策略

学习了数学归纳法以后,常易导致思维定势:认为与正整数有关的数学命题可以用数学归纳法来证明.实际上,与正整数有关的命题,有时用数学归纳法来证明比较麻烦,甚至无能为力.本文给出不用数学归纳法的若干策略     

数学归纳法题例析

数学归纳法在高考试题中，常以解答题形式出现，主要有证明不等式、证明恒等式、求数列通项公式、数列求和等几方面的应用，数学归纳法单独考查的情况较少，而经常出现在与自然数有关的命题中，多以伴随着数列的通项或前n项和而出现数学归纳法的证明，这也是高考所考查的热点之一，此外，凡是与自然数有关的知识都可能成为与数学归纳法结合综合考查的内容，数学归纳法的考查隐蔽，主要突出数学意识的考查。即解题方法的寻找将是“问题解决”的突破口，值得注意的是，将数学归纳法与一些探索性的问题综合起来出现了一些非常新颖的题型。     

数学归纳法题例析

Ⅰ.命题趋势数学归纳法在高考试题中,常以解答题形式出现,主要有证明不等式、证明恒等式、求数列通项公式、数列求和等几方面的应用.数学归纳法单独考查的情况较少,而经常出现在与自然数有关的命题中,多以伴随着数列的通项或前n项和而出现数学归纳法的证明,这也是高考所考查的热点之一.此外,凡是与自然数有关的知识都可能成为与数学归纳法结合综合考查的内容.数学归纳法的考查隐蔽,主要突出数学意识的考查,即解题方法的寻找将是“问题解决”的突破口.值得注意的是,将数学归纳法与一些探索性的问题综合起来出现了一些非常新颖的题型.Ⅱ.解题…     

数列中“观察、猜想、证明”型试题的别解

在近几年求数列的通项公式的考试题中,以观察、猜想、证明型题目比较多,它要求首先观察、猜想,然后再利用数学归纳法进行证明．我们也可以不用观察、猜想,不用数学归纳法,利用题目中已知的递推关系,直接求出数列的通项公式．下面介绍这类题目的别解．     

浅析数学归纳法的“用”

数学归纳法是用来证明与正整数有关数学命题的一种重要思想方法,也是一种强有力的论证工具.在证明等式和不等式、数列中通项公式的探求、代数中整除性问题以及各数学领域中证明与自然数有关的命题均有广泛的应用.本文就其用做些归纳,供参考。     

数列求和的另一种方法--求导法

求一个数列的前n项和,我们学过直接法(或公式法)、拆项分组法、裂项相消法、倒序相加法、错位相减法等,当然我们还可以根据前几项猜出前n项和公式,然后用数学归纳法证明.学了导数以后,我们还可以用求导的方法求一个数列的前n项和.     

求递推数列通项公式的几种类型

由递推公式求通项公式的题型多样,求递推数列通项公式的方法也非常灵活,往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列加以解决;亦可采用不完全归纳法,由特殊情形推出一般情形,进而用数学归纳法加以证明．因而,求递推数列通项公式问题成为高考命题中颇受青睐的内容．仔细辨析递推关系式的特征,选择恰当方法,是迅速求出通项公式的关键．     

求递推数列通项公式的几种类型

<正>由递推公式求通项公式的题型多样,求递推数列通项公式的方法也非常灵活,往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列加以解决;亦可采用不完全归纳法,由特殊情形推出一般情形,进而用数学归纳法加以证明.因而,求递推数列通项公式问题成为高考命题中颇受青睐的内容.仔细辨析递推关系式的特征,选择恰当方法,是迅速求出通项公式的关键.     

求递推数列通项公式的十种策略

递推数列的题型多样,求递推数列的通项公式的方法也非常灵活,往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决,亦可采用不完全归纳法的方法,由特殊情形推导出一般情形,进而用数学归纳法加以证明,因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容.笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略,它们是:公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法.仔细辨析递推关系式的特征,准确选择恰当的方法,是迅速求出通项公式的关键.1利用公式法求通项公式…     

归纳递推 探索层层规律

数学归纳法是一种很重要的证明方法,其实质就是递推思想．我们只要把握住递推关系,就能巧妙地对命题进行转换．数学归纳法在证明和计算与自然数有关的试题中往往行之有效,并常常用在恒等式、不等式、数列的通项与和、几何图形的证明中．而“归纳”“猜想”“证明”是数学归纳法所体现出的比较突出的思想．     

求递推数列通项公式的十种策略例析

递推数列的题型多样,求递推数列的通项公式的方法也非常灵活,往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决,亦可采用不完全归纳法的方法,由特殊情形推导出一般情形,进而用数学归纳法加以证明,因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容.笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略,它们是:公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法.仔细辨析递推关系式的特征,准确选择恰当的方法,是迅速求出通项公式的关键.一、利用公式法求通项…     

有关自然数命题的非数学归纳法证明

与自然数有关的数学证明问题,第一思路是数学归纳法,但是,有些问题用数学归纳法证明并不是最佳方法.如果抛开定势思维,根据命题的具体结构与特点,另辟思路,往往可以收到出奇制胜、事半功倍的效果.下面,笔者将分类阐述这一问题.     

求递推数列通项的特征根法

递推数列的题型多样,求递推数列的通项公式的方法也非常灵活,往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决,亦可采用不完全归纳法,由特殊情形推导出一般情形,进而用数学归纳法加以证明．因而求递推数列的通项公式问题成为高考命题中颇受青睐的考查内容．下面给出求递推数列通项公式的几种常用特征根法．通过仔细辨析递推关系式的特征,准确选择恰当的方法,是迅速求出通项公式的关键．     

有n未必要猜证

用数学归纳法证明有关自然数n的命题,是比较有效的,就因为这一点,许多同学形成了习惯思维,每当看到有关n的命题,首先想到的是用数学归纳法去猜证.却不知有些命题还可以用其他方法去处理,其他方法有时比用数学归纳法还要简单些.     

一类特殊数列前n项和公式的证明

在文[1]中,公式证明较繁,并且需利用二项式公式、通项等诸多内容,不便于学生接受和掌握。本文将利用数学归纳法给出公式的简单证明,这种证明简捷易懂。     

数学归纳法原理推广及应用举例

众所周知,数学归纳法是证明与自然数有关的数学命题的有效方法,但是我们往往会遇到一些很难运用第一数学归纳法来证明的命题.即用第一数学归纳法证明时,假设n=k时命题成立,很难推出n=k＋1时命题成立,     

用递推关系求通项公式的2种通法

利用递推关系求数列的通项公式是数列中比较重要的内容,在历届高考试题中能找到很多有关的例子,大部分考生也知道有关的通法有哪些,但在运用方面还有一些不如意之处.下面根据2006年高考中的一些压轴题,介绍2种通法,并展示如何应用实例.例1(2006年福建第22题)已知数列{an}满足a1=1,an=2an-1 1(n≥2),求{an}的通项公式.分析1根据条件中的递推关系的结构看,可以想到:先求前几项观察其规律性,由此可以猜想到这个数列的通项公式,然后用数学归纳法证明猜想的正确性,这样的方法叫做“猜想归纳法”.解1(猜想归纳法)因为a1=1,an=2an-1 1(n≥2),所以a2…     

真的是“循环论证”吗——对一道试题数学归纳法解法的探究

<正>数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题,体现了人的认识从有限到无限的飞跃,在数学的发展中起着重要的作用.2014年广东高考(理)数列解答题考查学生的推理意识,避免一味的机械应试训练,着重考查了数学归纳法.受前几年题目的影响,不少教师在已知递推公式求通项公式上训练了不少,却对数学归纳法缺乏研究,出现一些教学瓶颈.2015年广州市一模数列解答题(题目见