伯克霍夫初等平面几何公理体系简介

一、从希尔伯特公理体系说起 1899年德国数学家希尔伯特(Hilbert,1862—1943)成功地创立了欧氏几何的第一个科学的公理体系,彻底解决了初等几何的基础问题。但抽象、严谨的希氏公理体系无法照搬到中学几何教学中去,因此如何改革传统的欧氏几何成为数学教育工作者普遍关注的问题。经过几十年的努力,以美国数学家伯克霍夫(Birkhoff)的工作最引人注目。他以实数的有序性和完备性为基础,较早地引进度量思想,第一个使用实刻度尺公理和实量角器公理,从而用数量很少的一组     

欧氏几何·非欧几何·相对论

古希腊著名数学家欧几里得所著《几何原本》共有13卷,包括5条公理、5条公设、119个定义和465条命题．其中第1卷是全书的基础,其开头就有23个最基本的定义、5条公设和5条公理．     

非欧几何简介

一、欧几里得《几何原本》及其第五公设所谓欧氏几何就是欧几里得几何.欧几里得(Eu-clid,公元前约325年～270年)是古希腊亚历山大学派的三大数学家之一.我们知道,古希腊人以其特有的惟理主义氛围形成了独特的数学认识,即任何数学命题都要根据明白无误的基本假设,按照形式逻辑演绎推理出来.这样,古希腊数学就逐步形成了具有初步逻辑结构的论证数学体系,欧几里得的著作《几何原本》就是这个体系形成的标志《.几何原本》全书共分13卷,包括5个公理、5个公设、119个定义、465条命题(定理),构成了历史上第一个数学公理体系.465个命题(定理)都是依据基本定义和5大公理、5大公设用形式逻辑推理得到的.为了说明问题,我们列出这5大公理和5大公设.     

“准公理化词类系统”的误区

袁毓林《一个汉语词类的准公理系统》一文提出了"汉语词类的准公理系统",这对汉语词类的划分有重要意义,但该文也存在初始概念和公设的矛盾及词类定义不严谨等问题。     

第五公设的背景及其对数学发展的意义

欧几里德仅仅依靠形式思维，通过图形佐证形成体系，在第29个命题中首先运用第五公设。由于第五公设的某些矛盾性以及与其他公理、定义、公设的独立性，历代数学家积极探索，或试图弥补，或试图拓展新领域，大大发展了数学。而第五公设对数学发展的最大意义恰恰来自于对第五公设的否定即非欧几何的诞生。     

点评:公理教学的过程 变式训练的思考

这是一篇常规教学设计 ,其内容在本章乃至整个平面几何教材中都占有重要的、基础性的地位 ,同时 ,这也是三角形全等判别公理 ① 的完成 .由于公理教学与概念教学中的概念形成 ②方式类似 ,所以 ,我们可以说 ,ＳＳＳ公理的教学设计采用了“概念形成”的方式 ,这是我们对这一课题教学性质的基本认识 ,也是这篇教学设计的基调 .一、教学过程的组织教师对这个公理教学按照“概念形成”的方式组织为 4个阶段 (见图 9) :1 第一阶段是公理的形成阶段由师生共同操作 ,完成了两件工作 :( 1 )尺规作图 ,即由已知△ＡＢＣ的三边 ,作△Ａ′Ｂ′Ｃ′ .( …     

GMAT改错“公理”

所谓公理,就是经过人们长期实践检验的、不需要证明同时也无法去证明的客观规律,例如我们在初中平面几何开篇所学的“两点确定一条并且只有一条直线”“三点确定一个平面”等公理。正是在这些公理的基础上,建立起了平面几何这门学科。同样,在我们的GMAT改错中,也有一些规律(我们把这些总结出来的规律暂且称为“公理”),把握好了这些规律——即“公理”——会对我们答题速度和正确度有很大的帮助。然而,这些“公理”并不像平面几何的公理那样可以放之四海而皆准,也就是说,在使用它们时,不能保证100％正确。有时它们只能保证95％左右的正确性,剩下的5%左右可能需要综合考虑来确定最终答案。另外,GMAT改错题是对语言表达的有效性、简洁性、正确性的考核,它带有灵活性,而不像平面几何那样要求有严密的逻辑。下面就谈一下GMAT改错“公理”。     

立体几何教学应注意什么?

立体几何是平面几何的发展和深化。因此在立体几何教学中,教师应注意引导学生完成平面思维向空间思维的跨越,发展学生的空间思维能力。 一、搞好平面几何向立体几何的过渡 1.把立体几何与平面几何知识有机的衔接起来。如学习平面的基本性质[公理1]时,可提     

改革“三角形全等的判定”一节教学的尝试

“三角形全等的判定”是平面几何中三角形一章的重点,很好地组织这部分内容的教学,对学生掌握知识、培养能力、发展智力具有十分重要的意义.我先后采用了两种方案进行教学.第一种方案是按教材的顺序,以三个判定公理为中心安排教学,先讲边角边型三角形基本作图,接着引出边角边公理,再以同样方式分     

平面几何的公理构造

公理化方法,在近代数学发展中,起过巨大的作用,而且对各门现代数学,都有极深刻的影响。进入本世纪以来,几乎所有数学都倾向于公理构造化。同时,在数学教学中,公理化方法也是十分重要的方法。其中,最具有典型意义的,就是平面几何的公理化方法。这里,选译了日本小平邦彦等教授所编写的,1977年开始使用的高中数学教科书中的一章《平面几何的公理构造》,由于它是供高中学习,因此编写得特别通俗易懂,深入浅出。对于没有接触过《几何基础》的人来说,可以通过它了解公理构造化的基本思想和方法。无论对教学或对数学结构的了解,尤其对中学平面几何的教学是会有好处的。同时,通过本文,也可对目前日本教材有所了解。     

初中数学教材考试自测题(二)

平面几何部分 1.回答: (1)平面几何研究的对象是什么? (2)根据中学数学教学总的目的要求,结合平面几何这门学科的特点,简述平面几何的教学目的是什么? ,(3)怎样理解编者关子扩大公理体系的意图?教材把哪些定理作为公理对待? (4)教材对“几何作图”的教学是怎样要求白勺? (5)为什么把“点的轨迹”集中安排在圆这一章的后面,有什么好处? (6)推理能力的培养是几何教学的难点,试以第一、二章教材为例,说明教材采用什么办法来分散这一难点的? (7)结合教学体会,说明三角形一章的教学目的和要求是什么?教材的重点和难点各是什么?为什么说三角形一章…     

关于平行公设的一个初等探讨

平行公设也叫欧氏第五公设或平行公理,是建立欧氏平行理论的出发点及主要依据.其内容是:若平面内一条直线和另外两条直线相交,若在直线同侧的两个内角之和小于两直角,则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交.探讨这一公设对开阔教师视野,提高教师素质有一定的现实意义.     

三角形全等教学设计的新视角

笔者集二十余年的数学教学经验,在平面几何推理入门阶段中,曾经作了许多构想和尝试,从公理线条所搭建而成的结构与适应这种结构的学生心理序列环节活动过程中,都进行过比较深入的思考,获得了一系列的研究成果,本人与自己所带的几个实习生的教学实践也充分证明了,我们所采用的三角形公理（定理）教学设计的方法是行之有效的,对于学生平面几何逻辑推理论证的起始学习的入门带来了极大的帮助．这里简要谈谈作者对平面几何定理（公理）教学一些看法,以求教于同行．     

連續概念在初等几何中的应用

连续性是高等数学中极其重要的概念,为数学分析的基础。自从戴德金(Dedekind)建立了实数连续的理论以来,它在分析学中起的作用久已为大家所重视。但是这个概念对于初等几何学是不是有用处呢?从高等数学应该指导初等数学的观点来看,是不是平面几何中有一些基本问题,它的解决过程中一定要用到连续的概念呢?在这篇短文里,笔者想用两个例子说明连续概念在初等几何中的重要性。这两个问题几何学中一般称之为圆规命题,命题如下:     

谈谈循环论证

中学平面几何采用的是欧几里得公理系统.这个公理系统,从一些基本概念和公理出发,推出了一系列的定理.其中每一个定理,都是依据基本概念、公理、定义,或者前面已经证明过的定理来证明的.     

平面几何的最值问题

在给定的约束条件下,求关于几何图形中的某个确定的几何量(如长度、角度、面积等)的最大值或最小值,这一类问题叫做平面几何的最值。解决几何中的最值问题,一般是以几何中不等量的性质、定理为基础,或借助于代数方法,三角方法来证明几何量变化的允许值范围,从而得出最值。这里通过例题和练习题介绍平面几何里的一些初等几何的最值问题,以及解决这类问题的一些基本方法和原理。供参考。     

张景中的面积方法

自西学东渐以来,我国的平面几何教学就使用过多种公理体系.如上世纪二三十年代,恰逢当时的一些大数学家,如希尔伯特刚刚为欧氏几何补充了完整的公理体系.于是,我国的一些著名数学家及数学教育家,如傅仲孙先生便接受了这种公理体系,培养了一大批栋梁.后来,我国又普遍使用3S几何(由三位姓氏以S开头的美国数学教师所编),基本承袭了欧氏几何原始体系.到了上世纪50年代,我们的中学课本开始使用扩大化的公理体系.从20世纪八九十年代开始,我国当代一些很有名的数学家又开始了新的平面几何改造计划.影响比较大的有东北师大校长史宁中教授、美籍华人几何学家项武义先生,以及下文介绍的中科院院士张景中先生的平面几何改造思想.张景中先生的面积方法,开端于1974年.当时他在中学教数学,发现学生很喜欢他用面积法讲几何和三角.这以后,他就致力于面积方法和教材改革的研究,并取得了丰厚的成果.我们说,学术问题可以自由讨论,自然是仁者见仁,智者见智.我们刊登王敬赓教授介绍张景中面积法一文,愿与一线的老师们共同探讨.     

基本结论——解平面几何赛题的钥匙

(本讲适合高中) 本文所说的“基本结论”,是指中学平面几何教材中公理和定理的直接推论(但不以定理形式出现在教材中),以及一些熟知的结论。尽管高中学生能用来解决平面几何问题的方法和手段较多,但就解题思路的曲直、解题方法的繁简、运算量的大小等诸多因素综合衡量来说,纯几何的综合法不失为一种有效而用得最多的方法。善于利用基本结论是实现解题突破的关键。     

洛伦兹变换的推导及对其悖论的解释

这两个坐标系的坐标该如何变换呢？其实这就是洛伦兹变换。在狭义相对论中,有一个公设和两个基本假设,所谓的公设是指在所有的参考系中,时空是均匀的;两个基本假设包括狭义相对性原理和光束不变原理。在推导洛伦兹变换的过程中,要用到矩阵等数学知识,这对于初学者会感到困难,本文运用基本的代数知识,从由一个公设和两个基本假设出发来推导出洛伦兹变换,并通过洛伦兹变换来解释一些由高中教材引起的悖论。     

几何原本

通常即指公元前三世纪古希腊数学家欧几里得的著作《原本》。书中采用了公理化的方法，即给出了一些最基本的命题（选择了五条公理和五条公设）作为出发点，并结合一些概念的定义，通过推理来展开全部理论，是对前人的几何材料的系统整理。本》