一类求取值范围问题的解法新探

<正>对下述问题:"实数x、y满足Ax2+Bxy+Cy2=D≠0,求S=ax2+bxy+cy2(或S=ax+by)的取值范围",文[1]通过构造a=b2+c,解不等式a≥c,文[2]、[3]用三角代换,文[4]根据均值不等式a2+b2≥2|ab|,给出了不同解法认真研读后,针对这些方法的不尽人意之处(详     

一类求取值范围问题的解法新探简

对下述问题：“实数x、y 满足Ax 2+Bxy+Cy2=D≠0,求S=ax2+bxy+cy2(或S=ax+by)的取值范围”,文[1]通过构造a=b2+c,解不等式a≥c,文[2]、[3]用三角代换,文[4]根据均值不等式a2+b2≥2|ab|,给出了不同解法。认真研读后,针对这些方法的不尽人意之处(详见下文中的说明),笔者根据方法服从题目的原则,从对问题的解法新探中发现,常见的三种情况下可分别用下面方法简单自然解决。     

一道流行难题的解法研究

1　一道流行难题文 [1 ]所讨论的所谓“一道流行难题”是指下述问题 :设二次三项式ax2 bx c在区间 [0 ,1 ]上的值的绝对值不超过 1 ,试求 |a| |b| |c|的最大值 .该文给出了这道流行难题的一种错误解法和一种正确解法 ,并将原问题进行了一般化的推广 .读罢该文深受启发 ,但是该文给出的一种正确解法中引用了文[2 ]中的一条不常见的引理并且借助了几何直观 ,显得有点儿迂回曲折 ,因此觉得寻求这一道流行难题的更直接的解法是有意义的 .2　一种错解及其错因分析今将文 [1 ]给出的一种错解重新整理如下 :由题设条件显然有f( 0 )≤ 1 ,f( 1 )≤…     

一例值域问题的再探究

文[1]用数形结合处理了武汉市高中调考题中的一例值域问题,题目如下:求函数y=x (x~2 x 1)~(1/2)的值域.标准答案给出的一种解法容易出错,文[1]所用方法甚是巧妙,但文[1]的解法不符常规,     

一道最值问题的推广

文[1]利用均值不等式给出一道最值问题的通解(法一),并将该问题作了进一步的推广;文[2]用向量法对该问题及其推广进行解答(法二).本文将应用空间几何知识和柯西不等式,给出该问题及其推广的另外两种解法(法三,法四). 文[1]的问题及其推广是: 问题 已知a,b,c,x, y,z 是实数,a2 b2 c2=1, x2 y2 z2 = 9 ,求ax by cz 的最大值. 问题推广 已知ai,bi(i =1,2,L,n)且∑an n n 2 = p, 2 i ∑b i = q ,求 aibi 的最大值. ∑ i=1 i=1 i=1 …     

含有[X]或{X}的方程的解法

针对含有[x]或{x}的方程，给出形如[ax b]=cx d的解法；{ax b}=cx d的解法；[ax b]=cx^2 dx c的解法；以及同时含有[x]及{x}的方程的解法。     

关于一道试题的解法及评分标准的讨论与反思

贵刊2007年第2期刊登了同一作者的两篇文章:文[1]与文[2],文[1]的例3与文[2]的例2又是同一道试题,并且是同样的解法,两文阐述了相同的观点.该例及解法如下:2     

一个极值问题的两个新解

问题求函数的最小值．华罗庚先生在《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》(文[1])中,给出了该问题的八种初等解法;单墫先生在文[2]中给出了该问题的第九种初等解法;王申怀先生在文[3]中归纳整理了该问题的另三种初等解法．下面我们再给出两种新解法．     

再谈一个三角问题的解决

文[1]给出了如下一个三角问题:求函数y=sinx cosx sinxcosx(x∈R)的最大值.对此文[1]给出了六种解法,读后受益非浅.作为对文[1]的补充,本人对这个三角问题再给出六种不同的解法,供同行们研讨.     

再谈一道全国初中赛题的解法

题目如图1,在△ABC中,已知∠BAC=45&#176;,若AD⊥BC于点D,且BD=3,CD=2,则S△ABC=____．文[1]、文[2]、文[3]给出了这道竞赛题的四种解法,文[1]、文[2]的解法较为复杂,文[3]的解法虽然简便,但当∠BAC=30&#176;,60&#176;,…时无法求解．能否找到更实用且相对简便的解法呢？笔者给出三种解法以飨读者．     

也解含参数方程题

文[1]讨论了含参数的对数方程解法,文[2]对含参数问题的各种解法进行了多方位探讨,文[3]则对文[1]中的解法进行了改进,本文不揣浅陋,根据教学中的一些体会,对含参数方程有几个解的问题抛开分类讨论的思维定势提供一种利用单调区间解决的途径和方法,供参考。这类问题若经简单变形后,把参数分离出来使其为主元,构造出以原方程中未知数为自变量的函数,通过函数的单调区间讨论原方程解的情况,即可简单准确的得出结论。这种解法的思想方法和一般步骤是:     

《数学通报》1863号问题的一种妙解

《数学通报》1863号问题:设x,y∈R+,且x+2y=3,求1/x3+2/y3的最小值. 上述问题刊登出来就引起很多数学爱好者的关注与研究,其中孙建斌老师在文[1]中、薛茂文老师在文[3]中、王增强老师在文[4]都采用了构造"数字式"方法对该问题进行了解答,刘成龙,余小芬两位老师在文[2]中给出基本不等式的解法,拜读了上述老师的解答深受启迪,笔者觉得文[1]、文[3]、文[4]采用的构造"数字式"方法新颖,但似乎难以想到;文[2]给出基本不等式的解法,总觉得没有完全展现均值不等式精髓.     

问题需转化 转化当等价——对一道习题多种解法的正误辨析

1 文[1]对以下一道习题多种解法的认识 习题 已知函数f（x）=-x3＋ax2＋b（x∈R）图像上的任意两点连线的斜率都小于1，求实数a的取值范围．     

再解一道美国数学月刊问题

问题:设x,,z∈(0,∞),x2+y2+z2=1,函数f=x+y+z-xyz的值域. 文[1]、[2]、[3]分别就此问题进行了深入的研究,出了不同的解法,文[1]、[2]、[3]的解答可以看出这是一个极富挑战性的初等数学问题.     

再议一道课本习题的解法及推广

<正>文[1]和文[2],读后深受启发,文[1]提供的解法略显繁琐,文[2]指出的解法简洁尚存较高的技巧性,在应用上有一定的难度,下面笔者给出一些简洁而易想的解法,并以此给以推广.题已知数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3,n∈N*),对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?     

换元到最基本的代数方程中让本质暴露更完美——也谈一道三角题的隐形误解及正解探究

文[1]有这样一道例题：例1 已知sinacosβ=1/2,则cosasinβ的取值范围是（）,A,[-1/2,1/2] B,[-3/2,1/2] C,[-1/2,3/2] D,[-1,1] 例1是选择题,最简单的解法是科学猜估,即由正、余弦函数的有界性,极易排除B,C,D而选A,文[1],文[2]都是把例1按填空题或解答题处理的,文[1]剖析了文[2]给出的两个错解,并给出了3种正确解法,纵观文[2]的错解和文[1]对文[2]错解的剖析探究,以及文[1]的各种正确解法,都就三角函数论三角函数,且还用了均值不等式,故都不自然,也就不易被理解接受,结果还是云里雾里．     

一道美国数学月刊征解题的再探与推广

正题目设x,y,z∈(0,+∞),且x2+y2+z2=1,求函数f=x+y+z-xyz的值域.文[1]、文[2]、文[3]站在不同的角度对这道题展开了研究,给出了多种不同解法,本文笔者再给出一种解法,并在此解法的基础上展开推广.     

对解题“严谨”性的再思考

下面给文 [1]的题目一种图象解法 .(编者注 :与上文的解法 2相同 ,这里不再复述 .)看来 ,文 [1]中说图象法不合适是欠妥的 .文 [1]中的解法 1还算严谨 ,但其引导过程不太切合中学的教学实际 .首先因为查常用对数表作为选学内容 ,大多数中学不教 ;其次引导的过程也不自然 ,过于繁琐 .文 [1]的解法 2是有漏洞的 ,现抄录如下 :解 :由根的定义有ｘ1 =3 -ｌｇｘ1 ,ｘ2 =ｌｇ( 3 -ｘ2 ) .根据对数的性质公式 ,两式求和 ,有ｘ1 ｘ2 =3 -ｌｇｘ1 ｌｇ( 3 -ｘ2 ) =3 ｌｇ3 -ｘ2ｘ1.对此等式进行分析 .若3 -ｘ2ｘ1=1,即 3 -ｘ2 =ｘ1 ,亦即ｘ1 ｘ2 …     

一题证明科学性的再思考

正2009年全国理I压轴大题22题颇具研究价值,已经有三位作者撰文对解法进行了研究.文[1]提出了一个话题:在消去参数时,消b与消c结果却大相径庭;文[2]认为文[1]的分析与求解有失偏颇,对文[1]的另解提出了修改意见,并指出"线性规划解法"没有想象中的简单;文[3]甚至提出高考所给答案也存在"一个不易觉察的错误",而且还对标准答案进行了修正.但笔者认为文[2]、文[3]的研究成果都存在问题,完全肯定标准答案的正确性.     

一类矩形面积的最大值

1 引文 <美国数学月刊>2004年1月问题11057[1]为: 设x、y、z为实数,矩形ABCD内部有一点P,满足PA=x,PB=y,PC=z,求矩形面积的最大值. 文[2]试图给出上述问题的解答,但解答有误.本文指出文[2]解答失误的原因,并给出上述问题的一种微分解法.