递推数列求通项的几种方法

递推数列是当前数列教学中的热门,而由递推关系求通项又是递推数列的重要内容之一。本文将求通项的各种方法作一归纳: 一.用S_n-S_(n-1)=a_n,使等式变形,间接递推例1 已知数列{a_n},a_1=1,a_n=(2S_n~)/(2S_n-1)(n≥2),求a_n。解:∵ a_n=S_n-S_(n-1),a_n=(2S_n~2)/(2S_n-1)。∴S_n-S_(n-1)=(2S_n~2)/(2S_n-1),1/S_n-1/(S_n-1)=2,设1/S_n=b_n,∴{b_n}是公差为2的等差数列,又b_1=1/S_1=1/a_1=1,∴b_n=1/S_n=1+(n-1)·2     

对一道高考题的变题探究

2005年江西省普通高校招生考试《数学(文科)》试卷的第22题,是全卷的最后一道题,带有压轴性质.其题目是:“已知数列{a_n}的前n项和 S_n 满足 S_n-S_(n-2)=3×(-1/2)~(n-1)(n≥3),且 S_1=1,S_2=-3/2,求数列{a_n}的通项公式”.考试到条件 S_n-S_(n-2)=a_n a_(n-1),故这道题考题实质上是已知数列递推关系 a_n a_(n-1)=mf(n) k 和起始值 a_1,求数列{a_n}的通项公式的问题.此类题型在多年高考中屡见     

例析数列综合问题的类型

<正>一、数列本身各部分知识的综合例1已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n,且满足S_1>1,6S_n=(a_n+1)(a_n+2),n∈N_+,求{a_n}的通项公式。解析:利用n≥2时S_n-S_(n-1)=a_n将已知条件6S_n=(a_n+1)(a_n+2),n∈N+转化为a_n与a_(n-1)之间的关系。由a_1=S_1=1/6(a_1+1)(a_1+2),解得a_1=1或a_1=2,由假设a_1=S_1>1,因此a_1=2。又由a_(n+1)=S_n+1-     

求递推数列通项的思路和方法

给了数列的递推公式和初始值,起何求它的通项呢?下面通过例题说明求这类数列通项公式的一些基本思路和方法。例1 已知数列{a_n}的项满足: 求通项a_n。我们知道,数列的项a_n是自然数n的函数,递推式是一个循环方程, 实际上是未知数为a_n,a_(n-1)……a_2的函数方程组: 根据递推数列的这一本质特征,求通项a_n就是解方程组(*),求得未知函数a_n。     

公式a_n=S_n-S_(n-1)的功能挖掘

公式 a_n=S_n-S_(n-1)看似平常,其实内涵丰富,有着不寻常的功能和应用价值,本文举例如下:例1 已知数列{x_n),满足 x_1=b,x_(n 1)=cx_n d 且 c≠1.求通项公式.解:令 x_n=S_n则 S_(n 1)=cS_n d (1)S_n=cS_(n-1) d (2)(1)-(2)得a_(n 1)=ca_n=c~2a_(n-1)=…=c~(n-1)a_2∴x_n=S_n=a_1 a_2 … a_n     

由递推公式求数列通项的一种方法——展开求和法

由递推公式求数列的通项,这个问题学生掌握起来是比较困难的。如何利用已经学过的知识,找出其间的规律,化难为易,是解决这种难题的关键。中学课本中等差数列和等比数列,其通项可以写成递推公式的形式。等差数列:a_n=a_(n-1)+d,(n>1);等比数列:a_n=a_(n-1)q,(n>1)。由这两个递推公式,反过来求其通项是很容易的。如果给出形如 a_(?)—a_n=a(a_n—a_(n-1)或形如 a_(n+1)—a_n=(a_n—a_(n-1)+b(其中 n≥1,a、b 是常数)的递推公式,那么如何求出已知数列的通项 a_n 呢?解决这种问题的方法分两个步骤:第一,把所给的递推公式先化成等差或等比数列     

浅谈由数列的前n项和S_n求通项公式

<正>利用递推关系求数列的通项公式一直是高考命题的热点问题,也是难点问题。一般地,如果递推关系中涉及到S_n时,应利用公式a_n=S_n-S_(n-1)(n≥2),要么将递推关系转化为仅关于a_n的关系式(即消去S_n);要么将递推关系转化为仅关于S_n的关系式,求数列{S_n}的通项公式,再由公式a_n=S_n-S_(n-1)(n≥2)求出{a_n}的通项公式。     

递推方法

(本讲适合高中) 数列是初等数学的一个重要内容.在解数列问题时,经常会遇到下面一类题目: 已知:数列{a_n}满足a_1=2,a_2=3,a_(n+1)=3a_n-2a_(n-1). 求数列{a_n}的通项公式. 这种已知初始值和递推公式求通项公式的题目相当多,探讨它们解法的文章也相当     

使用公式a_n=S_n-S_(n-1)应注意的问题

贵刊1984年第3期的《求数列通项的几种方法》一文中,根据公式a_n=S_n-S_(n-1)求数列通项的解法不妥。众所周知,公式a_n=S_n-S_(n-1)成立的条件是n≥2,对于a_1,则应通过a_1=S_1来求得,即这才是一个完整的公式。依据上述公式,文中的两个例题应作如下补充:     

待定系数法求递推数列的通项公式

<正>人教版《数学》必修5中有这样一道复习题:已知数列{a_n}中,a_1=5,a_2=2,a_n=2a_(n-1)+3a_(n-2)(n≥3),对这个数列的递推公式作一研究,能否写出它的通项公式?课本中关于递推数列尤其二阶递推数列求通项的内容阐述很少,此题的出现很是突兀,既然是探究题就会有不同解读和解法,待定系数法转化降阶就是其一,下面对待定系数法求递推数列的     

赏析如出一辙的两道高考数列题

2007年高考山东理科数学第19题(以下简称试题1):设数列{a_n}满足a_1+3a_2+3~2a_3+…+3~(n-1)a_n=n/3,n∈N~*(Ⅰ)求数列{a_n}的通项;(Ⅱ)设b_n=n/a_n,求数列{b_n}的前n项和S_n.时隔仅二年,2009年高考湖北卷文科数学     

待定系数法求一类递推数列通项公式

<正>求递推数列的通项公式的方法较多,技巧性很强.本文主要探究形如a_(n+1)=pa_n+f(n)(p为常数,n∈N*)的递推数列通项公式的求法.一、引例例1已知数列{a_n}满足a_1=3,a_(n+1)=2a_n+5n+1(n∈N*),求该数列的通项公式.解(辅助数列法)由a_(n+1)=2a_n+5n+1,得a_(n+1)+5(n+1)+6=2(a_n+5n+6).(1)     

例谈数列通项的几种常见求法

2006年高考江西卷第22题为:已知数列{a_n}满足:a_1=3/2,且 a_n=(3na_(n-1))/(2a_(n-1) n-1)(n≥2,n∈N~*).(1)求数列{a_n}的通项公式;(2)证明:对一切正整数 n,不等式 a_1a_2…a_n<2·n!成立.显然,求解本题的关键之一是根据已知 a_n与 a_(n-1)(或 a_n与 a_(n 1))的递推关系式,能寻找出 a_n 的表达式.这是近年高考中比较多见的一种题型.由于已知关系式的形式不同,其解法也不尽相同.如本题的通项 a_n 求法为:将条件变     

线性递推数列的通项求法

已知线性递推关系求通项,在近几年的高考试题中反复出现,而这类问题我们都可以通过构造新数列解决.下面是近三年全国各地高考试题中出现的几个该类题型.例1(2010年上海高考题)已知数列{a_n}的前n项和为S_n,S_n=n-5a_n-85,n∈N~*.求数列{a_n}的通项公式.     

一类递推数列通项公式的解法

<正>在数列中有一类重要的递推数列{a_n},需要求它的通项公式,这类数列满足条件:a_1=α,a_2=β,且a_(n+2)=pa_(n+1)+qa_n(其中p,q均为常数).如何求其通项公式a_n呢?本文用三种不同解法加以阐述,以飨读者.一、构造法     

重视课本辐射功效,提高数列复习质量

近年来,高考试题“根植课本,灵活变通,体现能力”的命题趋势日益稳定.因此树立“立足课本,变式提高,培养能力”的指导思想,引导学生挖掘教材内涵,充分利用例(习)题的潜在功能,优化学生思维品质,是提高复习质量的关键保证.本文就指导学生搞好数列复习的具体做法,谈几点体会.一、重视“主元”的统领作用数列{a_n}的通项 a_n 与其前 n 项和 S_n 组成了数列{a_n}的“主元”,包括等差(比)数列的所有问题,都是围绕这两个“主元”展开.它们之间具有关系:a_1=S_1,a_n=S_n-S_(n-1)(n≥2).例1 设{a_n}是正数组成的数列,其前 n 项和为S_n,并且对所有自然数 n,a_n 与2的等差中项等于 S_n 与2的等比中项,求数列{a_n}的通项公式.     

构造辅助数列求数列通项公式

<正>求数列的通项公式是高考的重点之一,因此掌握数列通项公式的求法至关重要,本文就构造辅助数列求通项公式的几种情况进行论述。1.递推公式形如:a_n=pa_(n-1)+q(p,q为常数,pq(p-1)(q-1)≠0)。处理方法:(1)利用待定系数法变形为a_n+λ=p(a_(n-1)+λ),即构造数列{a_n+λ}为公比为p     

关于等差数列的一个重要定理

教材中对等差数列的概念、通项公式 a_n=a_1 (n-1)d,前 n 项和的公式 s_n=n(a_1 a_n)/2中的五个基本量 a_1,d,n,a_n,S_n,只要求“知三求二”.但在竞赛题中有一大类较特殊的数列求前 n 项之和用以上知识不易解决.本文先给出关于等差数列的一个重要定理,并给出完整的证     

求递推数列通项公式

数列递推公式的意义:若已知数列的第一项a_1且任一项a_n与前一项a_(n-1)之间的关系可以用一个公式表示.类型1形如a_(n+1)=a_n+f(n).解法:把原递推公式转化为a_(n+1)-a_n=f(n),利用累加法(逐差相加法)求解.例1已知数列{a_n}满足a_1=1/2,a_(n+1)=     

递推数列通项公式的求解方法

递推数列问题在高考中常以压轴题的题型出现,且由递推关系确定其通项往往是解决问题的关键.求递推数列通项公式的方法有多种:定义法、公式法(如利用公式a_n=S_n-S_(n-1)(n≥2)、累加法(a_(n 1)-a_n=f(n),f(n)可求前n项和,累积法(a_(n 1)=g(n)a_n,g(n)可求前n项积)、迭代法、构造法(待定系数法)、分类讨论、数学归纳法等.下面通过典型例子重点介绍其中两类方法.