等积变换

(本讲适合初中) 利用平面图形面积间的关系作代换,然后由代数方法找出图形之间的关系,以求得有关几何问题的结果,此类几何证题方法称为等积变换. 一、同底等高的三角形等积. 推论1 同底的两个三角形面积的比等于其对应高的比. 推论2 等高的两个三角形面积的比等于其对应底的比.     

一道几何题的逆命题及其应用

初中《几何》第一册第211页提到三角形面积定理的一个重要推论:等底等高的三角形面积相等。它的一种情形是。命题Ⅰ:夹在两条平行线之间的两个同底三角形(底在一条平行线上,而顶点在另一条平行线上)等积。我们通过逆向思维考虑命题Ⅰ的反面情形,可得出如下的逆命题。命题Ⅱ:若同底异顶点(顶点在底的同侧)的两个三角形等积,则顶点的连线平行于底。命题Ⅰ的用途很广,根据它进行的等积变形,在证明平几中的面积问题及几何作图中都有很大作用;然而对于命题Ⅱ及其应用,在教科书及几何参考书中很少涉及到。为此,笔者将举例说明它的应用,并阐明它确是一种证明两直线平行的简单易行的方法。     

利用等积变换解题

等积变换是指不改变图形面积的大小,只改变图形形状的几何变换．我们常用“同（等）底等（同）高的三角形（平行四边形）面积相等”进行等积变换．利用等积变换,可解决一些图形面积的计算和证明问题．其图形特点可分为以下两种．     

面积问题的解法

面积问题以其内容丰富、形式多样、知识面广、思想深刻、综合性强为特点 ,深受命题者的青睐 ,成为历届初中数学竞赛的热点 .一、基础知识求面积的基本方法有如下三种 :1 直接法　就是根据面积公式和性质进行运算或推理实现解题的方法 .2 等积法　就是根据面积的等积性质进行转化获得的解题方法 .常见的有同底等高、同高等底和全等的等积转化 .3 割补法　通过分割或补形 ,把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题 ,这也是求面积的一种常用方法 .例 1　已知一个梯形的四条边的长分别为 1 ,2 ,3 ,4 ,则此梯形的面积等于…     

三角形的面积与比例线段

把线段之比转化为三角形面积之比是常见的解题方法,应用这一方法可以有效地证明线段成比例或线段的等积式。由于一个三角形的面积与两条线段(底和高)的乘积相关,可以通过面积相等的两个三角形(或同一个三角形)获得一个线段的等积式;同底(或等底)的两个三角形的面积比等于两条高的比;同高(或等高)的两个三角形的面积比等于两条底的比;以及两个相似三角形的面积比等于相似比的平方.这些都是三角     

求阴影面积八法

有关阴影部分面积的问题已成为中考命题的热点,其主要考查学生的思维和综合运用数学知识的能力．一、等积变形法利用“等底、等高的两个三角形面积相等”,将不规则图形转化为便于利用公式计算的等积图形．     

巧解阴影面积的五种方法

求图形阴影部分的面积是近几年中考命题热点之一,这种题便于培养和考查同学们对图形的观察、分解、组合能力,及综合运用知识的能力．下面介绍五种方法,供参考．1.等积法通过等积变换,将不规则图形的面积转化为规则图形的面积是这种方法的关键．     

例谈“三角形同底等高等积法”的妙用

利用三角形的同底等高将一个三角形转化成等面积的三角形,这是很有用的等积转化模型.如图,已知直线m∥n,点A,B在直线n上,点C,D在直线m上,S△ABC=S△ABD.通常借助平行线,构造同底等高的模型,灵活进行等积转化,巧妙解决实际问题.下面提供几例,以飨读者.     

等积变换的性质及其应用

变换这一近代数学的重要思想,正受到人们的普遍重视,并逐渐渗透于中学数学。前不久阅读了陈泽老师著《初等几何变换》一文,教益非浅。本文试图继续采用陈老师的思想对“初等几何”的另一变换“等积变换”作一讨论,以作《初等几何变换》的补充。一、等积变换的定义设有平面(或空间)内的一种变换,如果对于每一对对应的封闭图形A和B,此积(面积或体积)对应相等,则这种变换叫做等积变换。其中图形A和B为几何图形,有时也可以为同     

面积法在解题中的应用

利用面积法解题具有直观、简便、灵活、新颖的特点.下面本人通过归纳总结,让学生领略其在解题中的魅力.一、在计算题中的应用由于图型的面积在割补、移动中是不变的,因而可以借助于同底等高等手段作出等积变型,从而给计算带来方便.     

等积的两个结论及其应用

证明两个多边形的面积相等,首先要掌握有关面积的性质和三角形的面积公式及其推论,其次还要掌握下面的两个结论。一、等积的两个结论 1.如图1.D是ΔABC中BC边上的中点,则要S_(ΔABD)=S_(ΔACD)。(等底同高的三角形的面积相等)     

运用面积与等积变换解题初探

<正>面积与等积变换,主要是利用面积公式或等积变换求解或证明有关面积、面积比、面积恒等式,以及有关线段长、线段比等几何问题,是数学解题的重要方法,也是研究几何学的有力的工具,在平面几何问题中,虽然没有直接涉及面积,然而灵活运用面积与等积变换解决问题,往往会出奇制胜,事半功倍.一、若把给定的图形分成若干部分,则被分成的各部分面积之和等于给定图形的面积(一)等量关系的证明例1:求证:等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和     

数学思维方法ABC——变换思想(5)

平移、对称、旋转都不改变线段长度和角的大小,因而图形的形状、大小是不改变的,仅仅改变了图形的位置,所以称为变换.有关面积问题中,往往只考虑面积的大小而不计较图形的形状,对于变换的限制条件更弱,只要面积的大小保持不变就行了,这样的变换称为等积变换(也叫做等积变形).在初等几何里研究的是多边形的等积变换.     

面积类探究问题例析

<正>面积类的探究题,是中考题目中的一大类,往往需要运用等积的思想解决.例如:转化成等底等高的三角形、利用平行线中的等积等解决问题.一、问题再现题目如图1,△ABC中,AF是BC边上的中线,△ABF与△ACF等底同高,求证:S△ABF=S△ACF=1/2S△ABC.二、问题解决问题1:如图2,△ABC中,CD是AB边上的中线,BE是     

例谈三角形“等积线”的应用

<正>在近几年的中考试题中,"二等分"图形的面积问题频频出现.解答这类题目的关键是要熟练掌握常见图形的"等积线"的应用.一、三角形的等积线(二分线)探究如图1,直线a∥b,S_(△BCE)=S_(△BCF)(同底等高),易得S_(△BOE)=S_(△COF).如图2,中线AD所在的直线就是△ABC的等积线,     

四面体等积变换及其应用

四面体等积变换有以下四个命题:命题1(换顶Ⅰ)底面不变,顶点在平行于底面(或底面上的一条直线)的直线上变动,四面体体积不变.命题2(换顶Ⅱ)底面不变,顶点在平行于底面的平面上变动,面体体积不变.     

等积变形的应用——两道赛题的解法

“同底等高的两个三角形有相同的面积”是初中生都很熟悉的等积定理．然而，灵活地用它来解涉及面积的问题，却也并非易事．譬如有关面积的赛题，提供的参考答案往往用面积公式去循规计算．虽然这也是通法，而巧用等积定理常是避繁就简的有效途径．     

数学竞赛题的非常规变换

数学竞赛题的变换一般可分为常规和非常规两类. 常规变换是指通常的代数变换与几何变换.代数变换有恒等变形、变量代换、置换轮换等,几何变换有合同变换(平移、反射、旋转、中心对称)、相似变换和等积变换.这些变换已广泛应用于中学数学竞赛的常规题类中,本文不作累述. 非常规变换题类已日益渗入到各类数学竞赛命题中.这些命题大多涉及到按某种特定的条件和要求,进行“操作”、“调整”和“变形”,使之得出某种结论或证实某个     

几何初步知识中的等积变换

等积变换是一种重要的数学思想。学生如果谙熟等积变换的方法,则不仅可以牢固掌握所学的数学知识,而且还能在透彻理解与运用数学知识的过程中发展智力,提高能力。一、等积变换在平面图形中的应用图形的位置变换、方向变换、形状发生变化但图形的面积大小不变是这类问题的实质。     

新课程下不可遗忘的几何教学宝剑——面积法

面积很早就成为认识几何图形性质和证明几何命题的工具．利用面积法和等积变换的思想可以很方便地解决许多平面几何问题,如求解面积、定值问题、几何作图、线段数量关系和位置关系等等．正如张景中院士所说：抓住面积,不但能把平面几何课程变得更容易学,而且使几何问题求解变得更为有趣．