三角形“四心”的向量式充要条件及其应用

2006年数学高考大纲中明确指出：要加强平面向量在平面几何中的应用，纵观近几年的高考题。我们已经体会到这种命题思想的变化，在平面向量在平面几何中的应用问题中．又以涉及三角形“四心”的试题为热点．由于三角形的“四心”与向量之间有着紧密的联系．这就为运用向量法解决这类“心”题提供了可能性。预计2006年的高考还要加大对向量与三角形“心”的交汇问题的考查力度．对此，笔者给出三角形“四心”的向量式充要条件．并结合部分高考题．说明这些充要条件的应用。[编者按]     

一类三角形中的平面向量恒等式及其应用

三角形中的平面向量问题在高中数学中比较常见。探究一类三角形中的平面向量恒等式及其在解决平面几何问题中的应用,可以培养学生数形结合的思维习惯,为其解决三角形“四心”以及相关的几何问题提供新的视角。     

立足教材，把握教材习题编写方向——以“平面向量在平面几何中的应用”为例

平面几何是连接代数与几何的重要桥梁,文章教材中平面向量在平面几何中的应用展开探究,重点是讨论平面向量在具体问题中的具体应用,如三角形“四心”问题,平面内两线夹角问题,平面内线段比例长度问题,以及结合正余弦定理的应用,通过对课后习题的探究,展现平面向量这一工具在解决平面几何问题中的重要作用,希望能给其他的数学教师提供一些参考价值．     

点击向量与三角形的交汇

2006年数学高考大纲中明确指出:要加强平面向量在平面几何中的应用。由于三角形是平面几何中最基本、最重要的图形,而且三角形中的线段可以视为向量,线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用向量式表示,三角形的“四心”与向量也有紧密的联系,这就为向量与三角形的沟通、交汇提供了条件。向量与三角形的交汇问题已经成为近几年高考的新热点,预计2006年的高考还要加大对这种问题的考查力度。下面结合部分高考题或高考模拟题介绍这种问题的四大类型,供复习参考。     

用向量的眼光“透视”三角形的“四心”

用向量作为工具研究平面图形是高中数学的重要方面,其充分体现了向量知识与平面几何的内在联系．故而对于三角形的“四心”（重心、外心、内心和垂心）而言,就更加明显;并且近几年的高考题中也不断出现用向量表示的三角形“四心”问题。因此,用向量的眼光透视三角形的“四心”,进而解决与之相关的问题,就显得尤为重要,下面就从这一方面人手。     

向量视角下的三角形“四心”

三角形有外心、内心、重心、垂心,在平面几何中研究过三角形的“四心”的作法,在解析几何中可以利用方程的思想方法求三角形的“四心”,这两种方法,前者侧重几何特性,后者侧重代数运算.由于向量具有代数和几何的双重属性,以向量为视角,研究三角形的“四心”,可以揭示三角形“四心”与顶点及各心之间的联系.一、“四心”依托顶点,各具特色结论1设O是ABC所在平面内一点,则O为ABC外心的充要条件是|OA|=|OB|=|OC|(即点O到3个顶点距离相等)(OA OB)·AB=(OB OC)·BC=(OC OA)·CA=0(即O为三边垂直平分线的交点).证明如图1,设ABC的三…     

例谈向量与三角形的交汇

向量与平面几何的交汇已经成为高考数学试题中的一道靓丽风景．三角形是平面几何中的最基本、最重要的几何图形，而且三角形中的线与线的位置关系、数量关系均可用向量形式来表示，这就为向量与三角形的交汇提供了条件．本结合一些典型考题，谈谈向量与三角形的边角、三“线”及四“心”、面积的交汇问题．[第一段]     

平面向量与三角形四心之“趣事”

正向量是数形结合的载体,有方向,大小,双重性,不能比较大小.在高中数学"平面向量"(必修4第二章)的学习中,一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算;另一方面,又以向量为工具,运用数形结合思想解决数学问题和物理的相关问题.在平面向量的应用中,用平面向量解决平面几何问题时,首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示,然后选择适当的基向量,将相关向量表示为基向量的线性组合,把问题转化为基向量的运算问题,最后将运算的结果再还原为几何关系.下面就以三角形的四心为出发点,应用向量相关知识以三角形两边作为基底线性表示"心"的位置,     

平面向量、解三角形

本专题包括平面向量和解三角形两大部分,其中平面向量主要包括向量的概念与运算、平面向量基本定理及其坐标表示、向量的数量积(模与夹角问题)、向量的应用问题等;解三角形主要包括正弦定理、余弦定理及其应用.近些年来,平面向量和解三角形的高考试题难易适中,一般为基础题或中档题,常在选择题、填空题中直接考查向量的概念、性质及其几何意义以及正、余弦定理在解斜三角形中的简单应用;在解答题中考查向量工具在平面几何、三角函数、解析几何等问题中的应用以及运用正、余弦定理等知识解决数学建模问题和与测量和几何计算相关的实际问题.     

(?)∥(?)(?)AB∥CD?（高一、高二、高三）

平面向量中,将方向相同或相反的非零向量定义为平行向量,平行向量也叫做共线向量.也就是说平面几何中的“平行线段(直线)、共线线段(包括重合线段)”在平面向量内看做一个概念,平行即共线,共线即平行.平面向量中“∥”与平面几何中“∥”涵义不同,即AB∥CD与AB∥CD是不等价的.     

巧用向量探究三角形“四心”

三角形的"四心"是三角形的重要性质和特征,但关于"四心"的知识,初中教材介绍不多,高中教材也没有系统的阐述.高考试题中却频频出现,尤其与平面向量知识综合考查更为普遍.笔者就以三角形的"四心"为出发点,应用向量相关知     

例谈平面向量背景下三角形四心问题

本文以高中数学平面向量为载体,探究三角形中的四心问题(即垂心、外心、内心、重心),通过借助平面向量的工具性特征,快速、巧妙地处理三角形中的复杂问题,从而使四心问题达到化繁为简、化难为易的目的 ,本文结合数学实例说明如何进行应用,以便更好地实施课堂教学,提高高考数学复习效率.     

三角形“五心”及其有关的向量问题

近年来,有关三角形“心”的考题已频频出现在高考模拟题和高考试卷中,其考查形式有: 三角形有关“心”的向量表示形式:求三角形有关“心”的轨迹或轨迹方程．三角形有“五心”,即重心、外心、垂心、内心和旁心．三角形的五心有很多有趣的性质,它在平面几何中占在相当重要的地位,并且其与向量有关的问题也丰富多彩．     

三角形的“四心”与平面向量的结合

三角形的“四心”是指三角彤的外心、内心、重心和垂心．三角形的“四心”在高考试题中时常出现，但教材中没有作专门的论述，许多同学对此知识点的掌握是零碎的、模糊的．现通过一些典型题目，结合平面向量知识分析三角形的“四心”．     

向量与三角形的“四心”

<正>三角形的“四心”即重心、垂心、内心、外心,在三角形中有着极其重要的地位,涉及到“四心”的问题既简洁明了,又新颖别致.向量是高中数学的新增内容,是一个具有代数与几何双重属性的量,向量能以独特的形式反映三角形的“四心”所具有的性质.下面例举有关三角形“四心”的向量关系式.     

三角形“四心”的向量视角

三角形“四心”与平面向量有机结合,可拓宽它的应用范围。使很多复杂的几何问题得以解决。若能记住有关三角形“四心”的性质,这样可以大大提高解题速度,简化解题过程,总能起到事半功倍的作用。     

利用向量研究三角形的基本问题

三角形作为平面图形的最基本的形式 ,它含有众多具有独特魅力的问题 ,如三角形组成问题、三角形形状判断问题、三角形的四心问题、三角形性质问题 .我们对这些问题的研究 ,以前往往采用“数”与“形”适当结合的方式进行 ;自从引入平面向量之后 ,由于向量具有数与形的双重功能     

平面向量定“四心”

向量具有“数”和“形的双重身份,是数学中的一种重要工具．现对利用平面向量判定三角形的“四心”即内心、外心、重心、垂心问题说明如下．[第一段]     

平面向量——2006年高考专题复习系列讲座(3)

1考纲要求1.理解向量的概念、掌握向量的几何表示.2.掌握向量的运算,包括向量的加法与减法、实数与向量的积、向量的数量积.3.掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解平面向量的数量积可以处理有关长度、角度、垂直问题,掌握向量平行与垂直的充要条件.4.掌握平面内两点间的距离公式、线段的定比分点公式,并能熟练地应用.5.掌握图形的平移公式,掌握正弦定理及余弦定理,并能初步应用它来解斜三角形.2重点解读“平面向量”是高中新教材增加的重点内容之一,它主要以平面几何、直角坐标系、三角函数等知识为基础,包括平面向量和解三角形两部分.向…     

教什么比怎么教更重要——“平面几何中的向量方法”同课异构的教学启示

2008年12月,中国科协与北京东城区教育委员会在北京开展“聚焦课堂：新课程背景下如何进一步提高课堂教学实效性”的“同课异构”活动。针对高中数学人教A版必修四第二章“平面向量”中的“2．5平面向量应用举例”,北京的两位教师与上海的一位教师各上了一节“平面几何中的向量方法”。笔者有幸参加了这个活动,