关于一类不定方程正整数解的问题

利用初等数论知识推导并证明了不定方程1/a+1/b=1/c的正整数解的一般公式,并且推导出了不定方程1/a2+1/b2=1/c2的全部正整数解,并对不定方程1/an+1/bn=1/cn(n≥3)是否有正整数解做了讨论,解决了这一类不定方程的正整数解的问题.     

由不定方程5/(121)=(1/x)+(1/y)+(1/z)(x＜y＜z)的正整数解而产生的一个命题

参考文献中"5121=125+1759+1208725"是5121的第一类好表法,我们通过讨论认为:由于5121的第一类好表法不是唯一的,该问题就是讨论"不定方程5121=1x+1y+1z(xb,a|n,b|n,m|a+b,且     

关于不定方程a~x=b~y+c~z

设a,b,c都是大于1的整数,而且(a,b)=(b,c)=(a,c)=1,考虑不定方程a~x=b~y+c~2,x≥0,y≥0,z≥0的整数解。本文给出了当max(a,b,c)=17时,方程的全部解。     

构造一元二次方程解无理方程

例 1　解方程 a - x + x - b =a - b.解 :设 m =a - x ,n =x - b,则 m + n =a - b,又因为 m2 + n2 =a - b,即 ( m + n) 2 - 2 mn =a - b,∴ m n =0 .由韦达定理知 ,m ,n为方程 u2 - a - bu =0的两个根 ,∴ m =0 ,n =a - b,或 m =a - b,n=0 .由此可解得 x1=a,x2 =b.经检验 ,它们都是原方程的根 .例 2　解方程 x + 12 x - 1- 2 x - 1x + 1=22 .解 :设 m =x + 12 x - 1,n =- 2 x - 1x + 1,则 m + n =22 ,m n =- 1,由韦达定理知 ,m,n是方程 u2 - 22 u - 1=0的两个根 ,∴ m =2 ,n =- 22 或 m =- 22 ,n =2 .由此可解得 x =1,经检验 ,x =1是原方程…     

做错题以后……

欢欢看着作业本上的红“”,心里不是滋味,于是她拿了作业本来到了乐乐老师的办公室,寻求帮助,以便解开心中的疑团.让我们先看一下,欢欢解的题及她的解法吧!题目已知△ABC中,三边分别为a、b、c,m是大于1的正整数.若a=m2+1,b=2m,c=m2-1,你能判断这个三角形的形状吗?为什么?解这个三角形不是直角三角形.理由∵a2+b2=(m2+1)2+(2m)2=m4+6m2+1,c2=(m2-1)2=m4-2m2+1,∴a2+b2≠c2.∴这个三角形不是直角三角形.欢欢:我不知道这题错在什么地方.书上说“如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形”,现在这个题目不满足a2+b2…     

一次不定方程(组)的整数解(初一)

本文介绍一次不定方程(组)整数解的判定和求法. 1.如何判定整系数方程ax+by=c有无整数解定理1 整系数方程ax+by=c如果有整数解,则必有(a,b)|c;反之,如果(a,b)|c,则该方程有整数解.((a,b)表示a、b的最大公约数;(a,b)|c表示(a,b)整除c).     

初一数学第一章奥赛题精解

例1 设m和n为大于0的整数,且3m+2n=225,如果m和n的最大公约数为15,求m+n的值.(第11届“希望杯”初一试题)解因为(m,n)=15,故可设m=15a,n=15b,且(a,b)=1.因为3m+2n=225,所以3a+2b=15.因为a,b为正整数,所以可得a=1,b=6或a=b=3,但(a,b)=1,所以a=1,b=6.从而m+n=15(a+b)=15×7=105.     

构造完全平方式 解数学竞赛试题

完全平方式a2±2ab+b2具有非负性,利用这一特性,能够解决许多疑难问题.现以竞赛试题为例,进行分类介绍.一、构造完全平方式,求代数式的值例1　(第八届“希望杯”数学邀请赛初二第一试试题)已知a=-2000,b=1997,c=-1995,那么a2+b2+c2+ab+bc-ac的值是.解:原式=12[(a2+2ab+b2)+(b2+2bc+c2)+(a2-2ac+c2)]=12[(a+b)2+(b+c)2+(a-c)2].当a=-2000,b=1997,c=-1995时,a+b=-3,b+c=2,a-c=-5,∴原式=12[(-3)2+22+(-5)2]=19.评注:本题是求代数式值的问题.若直接代入计算很繁琐,而采用构造完全平方式的方法,就简便多了.二、构造完全平方式,解不定方程例2　(…     

不定方程mx+2y+z=n(m≥3,n≥m+3)的正整数解数

给出了不定方程mx+2y+z=n(m≥3,n≥m+3)的正整数解以及非负整数解的个数的计算公式.同时也给出了将正整数n拆分成若干个1,2和m的拆分数的表达式.进一步给出了x1+2x2+3x3+4x4=n的正整数解的个数以及关于一般情形下的不定方程的正整数解的个数的递推关系.     

利用判别式解题

一元二次方程根的判别式主要用于判断方程根的情况,灵活运用它还可以解决其它问题.一、用于求值例1如果代数式(2m-1)x2+2(m+1)x+4是完全平方式,求m的值.解:∵代数式(2m-1)x2+2(m+1)x+4是完全平方式,∴(2m-1)x2+2(m+1)x+4=0有两个相等的实数根.∴△=〔2(m+1)〕2-4×4(2m-1)=0.解之,得m=1或m=5.二、用于求最值例2已知a、b都是正实数,且a3+b3=2,求a+b的最大值.解:设a+b=k,则b=k-a,将b=k-a代入a3+b3=2,并以a为主元整理,得3ka2-3k2a+k3-2=0.∵a是正实数,则关于a的方程必有实数根,∴△=(-3k2)2-12k(k3-2)≥0,解得0相似文献