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1.
高级中学数学第二册 (上 )第六章一组不等式 :1 如果a ,b ∈R ,那么a2 b2 ≥2ab(当且仅当a =b时取“=”号 ) (P9性质定理 ) .2 .已知a ,b是正数 ,且a≠b .求证a3 b3>a2 b ab2 (P12 例 3) .3.如果a ,b是正数 ,且a≠b是正数求证a6 b6 >a4 b2 a2 b4 (P16 习题 2 ) .从结构上看 ,三式之间有惊人的相似 ,反映了相关数学的本质属性 .由此类比拓展 ,可以得到更一般性的结论 ,形成新的解题序列 ,发挥教材的效应 .引申 1 如果a ,b是正数 ,那么an bn≥an- 1b abn- 1(n∈N ,n >1 ) (当且仅当a=b时取“=”号 ) .证明 an bn - (an- 1b abn- 1)… 相似文献
2.
如果a,bR,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号).该结论利用作差法极易证明.下面给出其推论及应用.推论1如果a,b是正数,那么a+b2≥ab√(当且仅当a=b时取“=”号).这个定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.其应用极其广泛,常用于求最值、比较大小、求取值范围和证明不等式等.例1若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是A.18B.6C.23√D.234√解3a+3b≥23a·3b√=23a+b√=6(当且仅当a=b=1时取“=”号).即3a+3b的最小值为6.选B.推论2如果a,bR,那么a2+b2≥2|ab|(当且仅当|a|=|b|时取“=”号).证明∵a2+b2=… 相似文献
3.
张伟新 《中学数学研究(江西师大)》2005,(1):33-35
人民教育出版社出版的高中数学第二册(上)(试验修订本·必修)第六章(不等式)第三节(不等式的证明)中有这样一个例题:已知a、b是正数,且a≠b,求证:a3 b3>a2b ab2.教科书上采用了作差变形来证明,这里不再叙述. 相似文献
4.
刘正军 《中学数学研究(江西师大)》2003,(6):16-17
高中数学第二册(上)(试验修订本·必修)P11习题6.2.3 已知a、b都是正数,求证2/1/a+1/b≤√ab≤a+b/2≤√a2+b2/2当且仅当a=b时等号成立. 相似文献
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6.
全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上)第12页例3,笔者用作差法证明这一不等式时发现它是一道有价值的例题。题目为:已知a,b都是正数,且a≠b,求证a^3+b^3〉a^2b+ab^2.同样在第16页中也有一道与之结构相近的习题.题目为:如果a,b都是正数.且a≠b,求证a^6+b^6〉a^4b^2+a^2b^4, 相似文献
7.
赵忠华 《数理天地(高中版)》2002,(2)
现行全日制普通高级中学数学课本(试验修订本·必修)第二册(上)不等式一章中有几道习题,如用柯西不等式去证明,显得比常规方法简捷,兹列举如下: 题1 如果a、b都是正数,且a≠b,求证: (P16题3) 证明因为a,b都是正数,且a≠b,所以 相似文献
8.
若正数 a、b 满足 ab=a b 3,则 ab 的取值范围是(1999年高考理科第(17)题).下面给出此题的六种解法,供参考.解法1 因为 ab=a b 3,a>0,b>0,所以(a-1)b=a 3.且 a-1>0,所以 b=(a 3)/(a-1).ab=(a~2 3a)/(a-1)=(a-1) 4/(a-1) 5≥2 4~(1/2) 5=9.当且仅当 a-1=4/(a-1)即 a=3时取等号. 相似文献
9.
任伟芳 《数学大世界(高中辅导)》2006,(Z2)
证明不等式除用比较法、综合法和分析法外还可以用增量法来证明.本文仅对人教版全日制普通高级中学教科书第二册(上)中颇具典型题目的证明加以说明,供参考.一、利用命题“若a>b,则a=b α(α>0)”【例1】已知a、b正数,且a≠b,求证a3 b3>a2b ab2(第二册(上)P12例3)证明:不妨设a>b 相似文献
10.
高中《代数》(必修)下册P18有如下一道例题: 如果a,b∈R+,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2. 此不等式结构对称和谐,其内涵十分丰富,应用它的推广能简捷巧妙地解决许多数学问题. 一、推广 命题 1 当 a,b∈R+,则a3+b3≥a2b+ab2 等号成立当且仅当a=b. 命题2 若a,b∈R+,m,n∈Z且mn>0,则am+n+bm+n≥ambn+anbm 当且仅当a=b时取“=”号. 由(am+n+bm+n)-(ambn+anbm)=(am-bm)(an-bn)不难得到命题2的证明. 二、应用 相似文献
11.
《中学生数理化(高中版)》2002,(12)
52.问:设有正数a、b,满足ab=a b 3, 求ab的取值范围. (湖北秭归县一中三(6)班王立强) 答:ab=a b 3≥2 3.所以ab-2-3≥0.视其为关于(ab)~(1/2)的二次不等式,解得(ab)~(1/2)≥3,或者(ab)~(1/2)≤-1(舍去). ∴ab≥9.ab的取值范围为[9, ∞).当且仅当a=b且(ab)~(1/2)=3时,即a=b=3时取等号. (河南师大附中赵振华) 相似文献
12.
13.
命题 已知a>0,>0,求证√a2+b2/2≥a+b/2≥√ab≥2ab/a+b,当且公当a=b时等号成立.
这是一个均值不等式链. 相似文献
14.
不等式定理之一:如果a、b都为正数,那么(a b)/2≥ab~(1/ab)(当且仅当a=b时,取“=”号)。该不等式表明:变量a、b,当a>0,b>0时,若a b=常数,则在a=b 相似文献
15.
均值不等式的定理: 如果a,b是正数,那么a b/2≥ab(当且仅当a=b时取"="号),我们称a b为a,b的算术平均数,称√ab为a,b的几何平均数. 相似文献
16.
1简单结论
若a,b均为正数,则有
a3 +b3≥a2b+ab2.(1)
这是一道容易的试题,只要作差即可得证,证明过程如下:
a3 +b3-a2b-ab2
=(a2-b2)(a-b)
=(a+b)(a-b)2≥0.
当且仅当a=b时上述等号成立.我们把它称为结论(1).
2精彩应用
案例1 (2017年高考全国Ⅱ卷文科数学试题)已知a>0,b>0,a3 +b3 =2,证明:a+b≤2. 相似文献
17.
文[1],[2],[3]分别对现行高中数学(试验修订本*必修)高二上册P30第4题:已知a,b,c是不相等的正数,求证2(a3 b3 c3)>a2(b c) b2(c a) c2(a b).作了推广,受到启发,本文作另一种形式的推广. 相似文献
18.
由教材例习题引发的思考 总被引:2,自引:0,他引:2
李秀元 《中学数学教学参考》2004,(3):6-7
“如果a ,b∈R ,那么a2 b2 ≥2ab(当且仅当a =b时取“=”号)”,这是高中数学一个非常重要的定理,有着广泛的应用.如果限定a ,b∈R ,则得到a b2 ≥ab ,其中a b2 、ab分别称为正数a、b的算术平均数与几何平均数.对此,《教师教学用书》要求:“掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用.”教材在编写上也不涉及三个正数的情形,对于出现含三个正数的不等式,则是建立在两个正数的基础上,运用不等式的性质相加得到的,不属于三个正数平均值范畴.纵观不等式全章,我发现在所提供的两个正数不等式中,有… 相似文献
19.
任伟芳 《中学数学研究(江西师大)》2006,(2):33-34
证明不等式除用比较法、综合法和分析法外还可以用增量法.本文仅就人教版全日制普通高级中学教科书第二册(上)中颇具典型的几道题加以说明,供参考.一、利用命题“a>6,则 a=b a(a>0)”例1 已知 a、b 是正数,且 a≠b,求证 a~3 b~3>a~2b ab~2(第二册(上)P_(12)例3).证明:不妨设a>b>0,令 a=b a(a>0), 相似文献
20.
杨志明 《中学数学研究(江西师大)》2013,(10):22-24
2013年OlympicRevenge 第3题为:
已知a,b,c,d是满足ab+ ac+ad+ bc+ bd+ cd
=6的正数,求证:1/a2+1+1/b2+1+1/c2+1+1/d2+1≥2.(1)
文[1]退化思考得到
命题4 已知a,b,c是满足ab+bc+ca =3的正数,求证:1/a2+1+1/b2+1+1/c2+1≥3/2.(2)
在(2)式中令a=√tanA/2,b=√3tanB/2,c=√3tanC/2,则命题4可变为: 相似文献