a^2＋b^2≥2ab的变式及应用

不等式a^2＋b^2≥2ab出现在普通高中课程标准实验教科书《数学》（必修5）第97页,并运用它证明了基本不等式√ab≤a＋b/2．因此a^2＋b^2≥2ab是一个更基本的不二等式,它有着广泛的应用,特别是它的一些变式在不等式证明和求最值中应用广泛．本文探讨a^2＋b^2≥2ab的一些变式及应用．     

用a~2 b~2≥2ab的变式解竞赛题

高中《代数》必修本下册第8页介绍了一个重要不等式:a~2 b~2≥2ab(a,b∈R),它是证明不等式的一个有力工具,应用十分广泛。但对一些不等式问题,若直接应用公式的原型难以发挥其作用,而应用其变式,往往能化难为易,顺利求解。 变式Ⅰ:a~2 b~2≥2|ab|。 例1 (1993年全国高中数学联赛题)实数x,y满足4x~2-5xy 4y~2=5,设S=x~2 y~2,则1/(S_(max)) 1/(S_(min))=﹎﹎﹎﹎。     

柯西不等式的一个变式及其推广

利用重要不等式证明其他不等式是不等式证明中常用的一种重要方法 ,它可以简化思维 ,缩短证题过程 ,并且常常表现出一种强有力的规律 .柯西不等式是其中运用得较多的一个重要不等式 ,本文将给出柯西不等式的一个变式 ,并由此变式引申出它的一种推广形式 .对于某些不等式的证明 ,运用它们将十分有效 .1　柯西不等式的变式柯西不等式　对于任意两个实数组 Ai、Bi(i =1,2 ,… ,n) ,有不等式(∑ni =1Ai Bi) 2≤ (∑ni=1A2i) (∑ni=1B2i) (1)成立 .当且仅当 Ai=k Bi(i =1,2 ,… ,n)时等号成立 .当上述 Ai、Bi(i =1,2 ,… ,n)均为正实数时 ,令…     

二元基本不等式的变式及应用

二元基本不等式x^2＋y^2≥2xy（x,y∈R）,也称为二元均值不等式或二元重要不等式,它是中学数学内容中最基本、最重要的知识点之一,本文拟给出二元基本不等式的一组优美的变式,并举例说明这组优美不等式中一部分不等式的主要应用．     

柯西不等式及其变形的应用

柯西不等式是著名的不等式,它在代数、几何等方面的广泛应用是众所周知的,它常常作为重要的基础去架设条件与结论间的桥梁,以证明和推广其它不等式及竞赛题,它也是发现新命题的重要工具,有趣的是它对对称命题均能奏效,是一个极有魅力的不等式。当然,我们在解题中并不一定能看出它的直接应用,需要适当地构造使用它的环境,以挖掘出隐含的联系后达到最终目的。本文拟在介绍柯西不等式及其一个变式的基础上介绍它们的应用,给出一些不等式证明题和条件求极值题的新简证法,也将涉及一些重要的竞赛题,读者将会从中体味到有别于其它证法的巧妙构思,领悟到解题的构造性和简捷性。     

积分不等式的证明方法刍议

积分不等式是一类重要的不等式,在数学分析中有着广泛的使用,涉及它的证明的题目很多,方法多样,主要有利用函数的单调性、变限积分、平均值不等式、TayLor公式、Schwarz不等式等基本方法。     

例谈柯西不等式及其变形在解题中的应用

<正>柯西不等式是高中数学中一个的重要不等式,在高考和竞赛中有着广泛的应用.拆、配、凑是应用柯西不等式的关键,合理变形是其主要手段,本文举例说明柯西不等式及其变式在解题中的应用.一、柯西不等式及其变式利用向量或构造二次函数有关知识,可以证明     

浅谈(a~2+b~2)/2≥[(a+b)/2]~2的证明

(a2+b2)/2≥((a+b)/2)~2(人教版第二册第11页第1题)是一个很重要的不等式,证明它有很多方法,用它可以求某些式子的最值,并且可以证明一些不等式,下面给出几种有关它的证明方法以及它的一些应用.     

巧用柯西不等式证(解)几道新题

柯西不等式(a21 a22 … a2n)(b21 b22 … b2n)≥(a1b1 a2b2 … anbn)2及其变式(a21/b1) (a22/b2) … (a2n/bn)≥((a1 a2 … an)2/b1 b2 … bn)(a1,a2,…an;b1,b2,…,bn∈R ),在证(解)不等式中有重要应用,这是众所周知的.然而在使用柯西不等式时:(1)怎样更直接、更有效地使用它,使证(解)过程更简洁;(2)如何在证(解)那些形式上与柯西不等式相差甚远的不等式时使用它.这些却是常被忽视的问题.以下通过几例具体说明.     

利用柯西不等式的变式简解竞赛题

柯西不等式是高中数学中重要的不等式之一,它有如下重要变式： 若xi,yi∈R＋（i=1,2,...n,n∈N^＊,n≥2）,则有x^21/y1＋x^22/y2＋...＋x^2n/yn≥（x1＋x2＋...＋xn）^2/y1＋y2＋...＋yn,当且仅当x1/y1=x^2/y2=...=xn/yn时等号成立．     

一道习题的变脸及应用(高二)

人教版数学第二册(上)第11页习题第一题: 求证 证明如下:由基本不等式a2 b2≥2ab得 2(a2 b2)≥a2 2ab b2,所以所以 该结论不仅对称和谐、简捷优美,而且它的变式也和谐优美,常用变式有:     

分析特征明确思路，强化基本不等式应用

不等式是高中数学的重要内容之一,而基本不等式√ab≤a＋b/2（a≥O,b≥O）的应用则是重中之重,它具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能,同时也是证明不等式及求函数最值的重要工具．明确基本不等式的应用条件,灵活使用基本不等式是成功解题的关键,使用时要注意“一正、二定、三相等”的条件限制．     

谈谈基本不等式a 2+b 2≥2 ab 的变形引伸与应用

众所周知，基本不等式是不等式中的一个重要内容，它在求解不等式的有关问题时有着十分广泛的应用，因而受到了大家的普遍重视．但是，对基本不等式的应用，我们往往局限于公式的本身，而忽略变形引伸后所得结果，导致其解题功能得不到充分的发挥．下面以a^2 b^2≥2ab变形引伸与应用为例，谈谈笔者在这方面的做法与体会．     

巧用权方和不等式求解一类最值问题

<正>权方和不等式是柯西不等式的变式与推广形式,是数学中一个重要不等式,在高考竞赛中有着广泛的应用.对处理分式型不等式、多元最值问题,使用权方和不等式有事半功倍的作用,通过合理的配凑、变形、换元可使求最值变得更简洁.本文分类例析,揭示它在求解一类最值问题中的妙用.一、权方和不等式结论 (权方和不等式)设a_i,b_i>0(i=1,2,3,…n),     

柯西不等式的3种变式及其应用

应用柯西不等式的3个变式,简捷地解决国内外数学竞赛及数学问题中一类较高难度的不等式证明及最值问题,充分显示了这些变式的独特功效和神奇魅力。     

二、不等式

不等式不仅是高中的主体内容,也是升入大学的预备知识.不等式这一单元可分为三部分,第一是不等式的性质,它是解不等式和证明不等式的理论基础,特别要注意不等式两边同乘(除)一个数(式)的情况.第二是解不等式,它是这一单元的重点,应掌握各类不等式的解法及含参数的讨论问题.解不等式的关键是步步变形,寻求同解.第三是证明不等式,它是一个难点,对于难点应抓好主要方法,如比较法、分析法、综合法及数学归纳法,适当掌握一些代换与放缩的技巧.还要注意不等式是求函数定义域和值域的重要工具,平均值不等式是求函数最值的重要方法.下面举例     

谈高中数学教学的“一题多变”

变式教学是使新课程三维目标得到落实的重要手段.数学教师在课堂上,以"不等式恒成立"与"不等式有解问题"为例,进行"一题多变"的教学实践.     

一类分式不等式的证明不同解题策略的比较

对一类轮换对称分式不等式的证明,本刊曾先后发表文[1]、文[2]、文[3]和文[4].其中文[1]用a^2＋b^2≥2ab的变式（a^2）/b）≥2a-b（b〉0）（以下简称变式（1））;文[2]用a^2-ab＋（b^2）/4≥0的变式（a^2）/b≥a-b/4（b〉0）（以下简称变式（2））;文[3]和文[4]利用不等式等号成立的条件,配凑后使用均值不等式来证明.     

活用a^2＋b^2≥2ab的变式证明一类不等式

不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ是我们最熟悉的基本不等式，它有许多变式：（１）ａ２＋ｂ２≥１２（ａ＋ｂ）２；（２）（ａ＋ｂ）２≥４ａｂ；（３）１ａ＋１ｂ≥４ａ＋ｂ（ａ＞０，ｂ＞０）；（４）ａｂ＋ｂａ≥２（ａｂ＞０）；（５）ａ２ｂ≥２ａ－ｂ（ａ≥０，ｂ＞０）；（６）ａ３ｂ≥２ａ２－ａｂ≥３２ａ２－１２ｂ２（ａ≥０，ｂ＞０）．以上６个不等式当且仅当ａ＝ｂ时取等号．这６个变式的证明都较简单，下面通过举例仅介绍变式（５）、（６）的应用．例１　已知ａ＞１，ｂ＞１，ｃ＞１，求证：ａ２ｂ－１＋ｂ２ｃ－１＋ｃ２ａ－１≥…     

利用柯西不等式的变式速解题

正武增明老师在《高中数学教与学》2013年第11期发表的文章《柯西不等式的应用技巧》中给出:利用柯西不等式证明某些不等式或求某些多元函数的最值的方法.本文向读者介绍解决这类问题的另一种简单快捷的方法,那就是利用柯西不等式的变式解题.柯西不等式有如下重要变式:若y_i∈