不可小觑的法向量

有关法向量的内容在人教版全日制普通高中数学教科书(必修)第二册(下B)第41页中只有寥寥几行,其应用更是只字未提,但用其解决立体几何问题时的简明、方便却不可小觑.同时,法向量也是连接初等数学和高等数学的一座桥梁,所以在高中数学教学中要重视法向量,深入挖掘法向量的应用.※空间距离类问题※1.点到平面的距离)求点到平面的距离可先求出平面的一个法向量,再求出该点与平面上一点连接线段在平面的法向量上的射影长.结论1:(如图1)点P在平面α内的射影为点P',点A为平面α内任意一点,n#为平面α的一个法向量,记d=PP',则d=｜$%AP·#n｜｜#…     

例谈点到平面的距离的求法

空间距离问题包括点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离,其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础,求其他几种距离一般化归为求这三种距离.求点到平面的距离是重点,常用的方法有定义法,向量法和等体积法,下面举例说明.     

浅谈向量积在高中立体几何中的应用

在高中数学学习中,学生在求空间角和距离时常常感到很困难,特别是求平面法向量这个环节,学生往往先设出法向量,然后解方程,准确率低而且无法判断法向量的方向。就此,本人介绍一种求平面法向量的方法——向量积,利用向量积来求空间角和距离非常方便。     

平面法向量在立几计算中的应用

高中数学新教材立体几何部分引入的空间向量是新教材的一个靓点,立体几何中一些传统的(夹角、距离等)计算,借助向量来计算,显得特别简捷明了. 平面的一个法向量是指与平面垂直的一个向量,下面利用平面法向量来求二面角大小,直线和平面所成的角的大小,以及点到平面的距离.     

例谈用法向量求空间距离

利用平面的法向量几乎可以解决所有的立体几何计算问题,尤其在求线线距离和点面间距离时,法向量有着它独有的优势——不用作图而直接计算.本文举例说明法向量在求空     

活用法向量,巧解立体几何题

随着人们对向量认识的加深,向量逐渐成为一个解决问题的重要工具.法向量更是由于其特殊的性质而成为解决传统的立体几何问题的一个特殊工具,它使得表面上非常复杂的求角与距离的题目甚至是证明平行与垂直的题目变得简洁明了,而且还可以使整个解题过程转化为程序化的向量运算,简捷方便,能减轻学生空间想象之困难.一、用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行,然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题.例1已知边长为4姨2的正三角形A BC中,E、F分别为BC和AC的中点,PA⊥面ABC,且PA=2,设平面α过PF…     

用矩阵法求平面的法向量

高中数学课标教材选修2—1第三章主要介绍用向量法解决立体几何中点、线、面的问题.从3.6节以后研究直线与平面、平面与平面的位置关系及夹角、以及点与面的距离都是借助平面的法向量来求解,而教材中介绍求平面的法向量都是采用待定系     

平面法向量在立体几何中的应用

<正>平面法向量在课本中只是给出了定义,而没有提及它的应用,其实法向量是值得我们挖掘的一个问题,在求点到平面的距离,直线与平面所成角以及二面角时,如果能以平面法向量为载体,往往可以收到化难为易的效果,而且还可以使整个解题过程转化为程序化的向量运算,简捷方便,能减轻同学们空间想象之困难。一、平面法向量的概念及求法1.定义:如果向量a⊥α,那么向量a叫做平面α的法向量2.平面法向量的求法:     

空间距离

立体几何中的空间距离一直是高考数学的热点考查内容之一,其中以点与点、点到线、点到面的距离为基本类型,求其他的几种距离一般都可以化归为这三种距离.高考命题主要侧重考查两类方法——空间向量法和综合几何法,空间向量法又可以分为普通基底向量法和空间坐标向量法;而综合几何法主要是将空间距离适当地转化为平面距离问题,再利用平面几何知识破解.     

法向量在立体几何中的运用

在高中立体几何中引入了空间向量,大大降低了立体几何解题的难度,法向量的引入,对于解决空间的角与距离提供了很大的帮助.下面简单介绍法向量在立体几何中运用.一、点到平面的距离.(先确定平面的法向量,再求点与平面上一点连结线段在平面的法向量上的射影长.设n是平面α的一个法向量,P0是平面α外一点,P是平面α内一点,则点P0到平面α的距     

巧用法向量妙解立几问题

历年高考中,关于空间距离,空间角问题,是考察的重点和热点。以法向量为工具求空间角,距离,可以避免纷繁复杂的几何推理和运算,从而使解答过程顺畅、简捷。下面以2006年高考立体几何题为例,说明法向量在求解立体几何问题时的妙用。1.用法向量求点到平面的距离如图1,设A是平面α外一点,AB是α的一条斜线,交平面α于点B,而n!是平面α的法向量,那么向量B"#A在n!方向上的正射影长就是点A到平面α的距离h,∴h=｜"B#A｜·｜cos〈B"#A,n!〉｜=｜B"#A·n!｜｜n!｜例1(06年福建卷、理18)如图2,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点CA=CB=C…     

平面的法向量及其应用

先介绍以下结论 :如果ａ =(ａ1 ,ａ2 ,ａ3) ,ｂ =(ｂ1 ,ｂ2 ,ｂ3)为平面α上的两个不共线向量 ,又ｎ =(ｘ ,ｙ,ｚ) ,且ｎ·ａ=ａ1 ｘ +ａ2 ｙ +ａ3ｚ =0 ,ｎ·ｂ =ｂ1 ｘ+ｂ2 ｙ+ｂ3ｚ=0 ,则ｎ⊥平面α ,向量ｎ叫做平面α的法向量 .利用平面α的法向量ｎ,可解决立体几何中有关线面夹角、线面垂直、面面垂直、求二面角的大小和求点到平面的距离等问题 ,且思路清晰 ,解题快捷、准确 .以下举例说明它的应用 .一、直线与平面垂直要证直线与平面垂直 ,只要直线上的向量与该平面的法向量平行即可 .例 1　在棱长为 1的正方体ＡＢＣＤ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 …     

《高等数学》(2)复习要求与模拟练习

期末即到,本文根据课程的基本要求,逐章提出复习要求,并给出一套模拟练习,供复习参考。一、复习要求第九章　空间解析几何与向量代数1.掌握两点间的距离公式,会求两点间的距离。掌握向量概念:模、单位向量、方向余弦,特别是向量的坐标表示。熟练掌握向量的数量积和向量积概念、坐标表示,掌握向量平行和垂直判别条件。2.熟练掌握平面的点法式方程,掌握平面的一般方程,会求平面方程、点到平面的距离。3.掌握空间直线的标准方程、参数方程和一般方程,会方程间互化并求直线方程。会用方向向量讨论平面、直线以及它们之间的关系。4.知道球面、椭…     

法向量在立体几何中的简单应用分析

立体几何题采用法向量的方法进行处理,只需要进行准确了计算即可,与传统复杂的运算方法相比,法向量简化的计算的方法,使立体几何题的求解更加便捷.所谓平面的法向量是指一个向量所在的直线垂直与某一个平面,那么该向量就是该平面的法向量.在求距离、求证垂直或平行以及求角的问题中,法向量操作简单,求解思路单一,其关键在于借助直角建立直角坐标系,将空间图形关系用法向量转换为代数关系,使思维的过程缩短,提高了解题的速度.一、求线面夹角法向量简化的计算方法很多,对于不同类型的题目,可以根据条件,采用不同的方法.在法向量简化计算的教学中,     

二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系判定

空间向量引入后,用空间向量解决立体 几何中的垂直、平行、共面、角、距离等问 题,可以减少辅助线,避开复杂的空间想象,降 低了解题的难度,求二面角α ?l ? β 的大小问题可以转化为二面角两个面所对应的法向量与法向量夹角的问题,避免了寻找二面角的平面角的麻烦,一般步骤如下: uv v (1)求平面α ,平面 β 的法向量 m,n . uv v (2)求< m,n >的大小. (3)利用二面角α ? l ? β 与其法向量夹角 uv v关系,得出二面角α ?l ? β 的大小为< m,n > …     

立体几何解题例器——法向量

《数学考试大纲(新课程版)》对“平面的法向量”的要求是“理解”,课本也只是介绍了其定义,而没有介绍其应用.其实,法向量可以用来解决几何里许多棘手的难题:点到面的距离、二面角的平面角等.下面举例来说明其应用.?《中学生数理化》(高中版)/2004.11解题思想方法点到面的距离、二面角的平面角等.下面举例来说明其应用.?一、利用法向量求点到面的距离?图1定理1如图1,设n是平面α的法向量,AB是平面α的一条射线,其中A∈α,则点B到平面α的距离为|AB·n||n|.证明:过点B作平面α的垂线BC,垂足为C,则∠BAC就是斜线AB与平面α所成的角,…     

向量──求空间距离的有力工具

向量除了用来求解有关角度 (包括垂直 )问题 ,还可以用来求各种距离 ,包括两点间的距离 ,点到直线的距离 ,点到平面的距离 ,异面直线之间的距离 ,等等 .具体途径如下 :(1)欲求两点Ｅ、Ｆ之间的距离 ,改为求向量ＥＦ的模 ;(2 )欲求点Ｅ到直线ＡＢ的距离 ,在ＡＢ上取一点Ｆ ,令ＡＦ =λＦＢ ,由ＥＦ⊥ＡＢ或求｜ＥＦ｜的最小值 ,求得参数λ值 ,以确定Ｆ的位置 ,则ＥＦ的模｜ ＥＦ｜即为点Ｅ到直线ＡＢ的距离 .(3 )欲求点Ｅ到平面ＡＢＣ的距离 ,可设ｎ为平面ＡＢＣ的法向量 ,Ｆ为平面上任一点 ,则Ｅ到平面ＡＢＣ的距离ｄ=｜ＥＦ·ｎ｜｜ｎ｜ .(…     

用行列式求平面的法向量

文[1]介绍了求平面法向量的简捷方法——矩阵法.这种方法能快速求解问题,故深得学生青睐.在拍案叫绝之余,笔者尝试寻求其理论依据.1矩阵法求平面法向量的本质设α=(x1,y1,z1),β=(x2,y2,z2)分别为平面γ内两条相交直线的方向向量,n=(x,y,z)为平面γ的法向量.     

巧用法向量 妙解高考题

在新教材中,将空间向量引入到立体几何中,使几何常规问题坐标化、数量化,使复杂的推理转化为代数运算,大大降低了立体几何解题的难度.尤其是法向量的引入,对于解决空间的角与距离提供了很大的帮助.本文结合2005年全国高考数学两道试题,例谈平面法向量及其应用.【例1】(湖北题/文史)如图1所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(Ⅰ)求BF的长;(Ⅱ)求点C到平面AEC1F的距离.分析:此题命题意图主要是考查线面关系和空间距离的求解等基础知识,同时考查空间想像力和推理与运算能力.在解…     

例谈用向量法解立体几何问题

利用平面的法向量几乎可以解决所有的立体几何计算和一些证明的问题,尤其在求点面距离、空间的角（斜线与平面所成的角和二面角）时,法向量有着它独有的优势,本文对其进行归纳、分析.