对2005年一联赛题解法的改进

2005年全国初中数学联赛第四题是一道平面几何的计算题,它涉及圆,直角三角形,相似三角形等知识,学习了标准答案之后,觉得原解法有值得改进的地方,现先将题目和标准答案抄录于下:(2005年全国初中数学联赛初赛第四题)如图1,AB是⊙O的直径,AB=d,过A作⊙O的切线并在其上取一点C,使AC=AB连结DC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,求AE的长.     

一道竞赛试题的多种证法

2003年“TRULY信利杯”全国初中生数学竞赛试题第11题如下: 如图所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连结AC,与DE交于点P,问EP与PD是否相等?证明你的结论. 这是一道探索型的几何综合题,所考查的知识点较多,解法较为灵活,可从多     

一道赛题的证法荟萃和变式探究

20 0 3年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题的第 11题 ,结构新颖、证法多样 ,颇有探究开发的价值 .本文将整理它的证法 ,探究它的变式并谈一点自己的看法 ,不妥之处 ,请大家斧正 .1　试题证法荟萃图 1问题　如图 1所示 ,已知 AB是⊙ O的直径 ,BC是⊙ O的切线 ,OC平行于弦 AD,过点 D作 DE⊥ AB于点E,连结 AC,与 DE交于点 P.问 PE与 PD是否相等 ?证明你的结论 .证法 1　探究发现 ,线段 PE与 PD相等 .∵ AB是⊙ O的直径 ,BC是切线 ,∴ AB⊥ BC.由 Rt△AEP∽Rt△ABC,得 EPBC=AEAB.又 AD∥ OC,∴∠DAE=∠COB,于是…     

平几赛题在有心圆锥曲线上的推广

《数理天地》初中版03年第6期刊发了2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题的第11题：如图1所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E．连接AC,与DE交于点P．问EP与PD是否相等？证明你的结论．     

一道由考试题的解法探究

题目（2013南京）如图1,AD是⊙0的切线,切点为A,AB是⊙O的弦,过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连结AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D．连结AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且〈BCP=〈ACD。     

一道初中数学联赛平几题证法的探究

2010年全国初中数学联赛平面几何题为： 如图1,已知等腰三角形△ABC中,AB=AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD／／AC,交⊙I于点D,证明：PD是⊙I的切线．     

一道中考试题的解法探究

<正>题目(2013南京)如图1,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦,过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连结AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D.连结AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD.(1)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=9,BC=6,求PC的长.     

用向量法解高考解析几何题

2002年全国初中数学竞赛湖北赛区预赛试题第15题是一道考查学生能力的好题,本文想作一个简单的分析与演变.现附赛题如下:如图1:△ABC的三边满足关系BC=1/2(AB+AC),O、I分别为△ABC的外心、内心,∠BAC的外角平分线交⊙O于E,AI的延长线交⊙O于D,DE交BC于H.求证:(1)AI=BD;(2)OI=1/2AE.     

一道赛题的分析与演变

2002年全国初中数学竞赛湖北赛区预赛试题第15题是一道考查学生能力的好题,本文想作一个简单的分析与演变.现附赛题如下:如图1:△ABC的三边满足关系BC=1/2(AB AC),O、I分别为△ABC的外心、内心,∠BAC的外角平分线交⊙O于E,AI的延长线交⊙O于D,DE交BC于H.求证:(1)AI=BD ;(2)OI=1/2AE.     

以相似三角形为基点 探圆中等积式的证明

多年来 ,圆中等积式的证明问题 ,一直是各省市中考几何压轴题中的一种常见题型 .本文试以相似三角形作为问题化归的基点 ,通过三种代换 ,进而向基点转化的方法 ,对圆中等积式的常见类型的证法进行探讨 .1　基本型 :a·b=c·d或 ab =cd1.1　直接证相似例 1　已知 :如图 1,⊙O1 与⊙O2 内切于P点 ,过P点作直线交⊙O1 于A点 ,交⊙O2 于B点 ,C为⊙O1 上一点 ,过B点作⊙O2 的切线交直线AC于Q点 .求证 :AC·AQ =AP·AB .(2 0 0 4年武汉市中考题 )分析　要证AC ·AQ =AP ·AB △ACP∽△ABQ .连结PC ,过点P作两圆的外公切线MN ,则…     

两圆外切的若干性质及其应用

人教版九年义务教育初中几何第三册p .14 4页有这样一道例题 :已知 :如图 1,⊙O1 和⊙O2 外切于点A ,BC是⊙O1 和⊙O2 的公切线 ,B、C为切点 .求证 :AB⊥AC .图 1解题过程不难理解 ,关键在于作出两圆的内公切线 ,下面简证如下 :证明 :过点A作⊙O1 和⊙O2 的内公切线交BC于点O ,因为OB、OA是⊙O1 的切线 ,所以OB =OA .同理OC =OA ,所以OB =OC =OA .即OA =12 BC ,所以AB⊥AC .这个例题的基本特点是△ABC构成了直角三角形 ,我们不妨称△ABC为切点三角形 ,容易证明切点三角形具有如下性质 :( 1)切点三角形是以两圆的公共点…     

从一道条件互不相容的错题谈谈命题的严谨性

<正>本文对一道条件互不相容的错题进行深入分析,以阐述试题命制的严谨性和科学性.一、原题呈现如图1,已知AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,过O点作OF⊥AB交⊙O于点D,交AC于点E,交BC的延长线于点F,点G是EF的中点,连结CG.     

数学奥林匹克问题

本期问题 初69.已知m为奇数.试证:k~m (2k)~m … (1998k)~m是k 2k … 1998k的倍数. (杨晋 安徽省芜湖市第13中学,241002) 初70.如图,已知P是⊙O的直径AB延长线上的一点,且PB=(1/2)AB,过P作⊙O的切线,切点为D,过A作AC⊥PD于C交⊙O于E,连结PE交⊙O于F,连结AF并延长交PC于G,过C作CH⊥AP于H,连结EH和GH.求证:EH⊥GH.     

一道中考几何题的多方位探索

题目　如图 1,CB与⊙O相切于点B ,半径OA⊥OC ,AB、OC相交于点D .求证 :( 1)CD =CB ;( 2 )AD·DB =2CD·DO .( 2 0 0 1,江苏省连云港市中考题 )1　试题探源该题源于人民教育出版社 ( 1994年版 )《几何》(第三册 )第 117页B组第 2题 :图 2如图 2 ,OA和OB是⊙O的半径 ,并且OA⊥OB ,P是OA上任一点 ,BP的延长线交⊙O于Q ,过Q的⊙O的切线交OA的延长线于R .求证 :RP =RQ .2　试题的证法探索对于题目 ( 1)欲证CD =CB ,可根据已知条件和圆的有关性质 ,通过作辅助线 ,有很多不同的证法 ,其中以连结OB或过点A作⊙O的切线证明…     

数学问题与解答

1984年第4期问题解答 46.△ABCC是⊙O的内按三角形,过B、C分别作⊙O的切线XA、YC.从O作OP∥AB交XB于P,作OQ∥AC交YC于Q.证明:PQ与⊙O相切.     

再究赛题

题目如图1所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E．连结AC与DE交于点P．问EP与PD是否相等？证明你的结论．     

对一道中考试题解法的探究

试题:(2011年武汉市初中毕业升学考试第22题)如图1,PA为⊙O的切线,A为切点.过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.(1)求证:PB为⊙O的切线;     

说明平行的四种常用方法

一、同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行. 例1如图1,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC,PA是⊙O的切线,A为切点,割线PBD过圆心,交⊙O于另一点D,试说明PA∥BC.解∵PA是⊙O的切线,∴∠PAB=∠2.∵AB=AC,∴∠1=∠2.∴∠PAB=∠1.∴PA∥BC.     

一堂“收不回来的课”及其评析

在学习了切线的性质和判定这部分内容后 ,我准备上一堂习题课 ,备课时安排了知识点的梳理、三个例题及一些练习 当我按计划进行了三、四分钟的复习之后 ,我给出了第一个例题 (人教社几何课本第三册 p .1 0 1第 8题 ) :图 1— 1MN是⊙O的切线 ,AB是⊙O的直径 ,求证 :点A、B与MN的距离的和等于⊙O的直径 .即 :已知 ,如图 1— 1 ,MN切⊙O于点P ,AB是⊙O的直径 ,AC⊥MN于点C ,BD⊥MN于点D ,求证 :AB =AC BD .对于这个题目 ,以前多次讲解过 ,较简单的方法是 :连结OP ,证明OP是梯形ACDB的中位线 ,则可得结果 .果然 ,在画图后 ,…     

对一道中考试题的探究

一、中考试题例1如图1,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AC平分∠DAB.(1)求证:AD⊥DC;(2)若AD=2,AC=$5,求AB的长.(2006年江苏省南通市课改实验区中考题)解析:(1)如图1,连接CB,由AB为⊙O的直径,知∠ACB=90°.∵CD切⊙O于点C,∴∠ACD=∠B,又AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠BAC,从而有∠ADC=∠ACB=90°,即AD⊥DC.(2)由(1)知Rt△ADC∽Rt△ACB'AADC=AACB,∴AB=AACD2=($25)2=2.5.二、试题探源上述试题源于几何第三册(人教大纲版)93页例2.例2如图2,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为…