构造函数巧证不等式

构造思想方法是一种富有创造性的数学思想方法,纵观近几年高考题与竞赛试题,凡涉及与不等式有关的证明题,不仅综合性强,而且思维量大,直接证明相当繁杂．构造辅助函数证明不等式的关键是根据命题中题设条件的特征构造相应辅助函数,通过求导判断函数的单调性,利用函数的单调性进行证明．本文举例探讨构造辅助函数,利用函数的单调性证明不等式．     

函数观点下的不等式证明

不等式证明是中学数学中的常见问题,在数学竞赛中更是经常碰到.常用的不等式证明方法有初等数学中的综合法(这里常常用到一些重要的不等式)、分析法、比较法和数学归纳法等,高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、极大、极小值等方法.本文介绍构造     

构造辅助函数,简证三类不等式

正不等式的证明是中学数学的重点和难点内容之一,通常在竞赛和高考压轴试题中出现.此类试题往往用数学归纳法、放缩法处理,但技巧性较强,学生在短时间内难以解决.下面介绍一种构造辅助函数,利用凸函数的性质的方法证明三类常见的不等式.1凸函数的定义、判断方法及其性质定义:设f(x)是定义在区间D上的函     

巧构函数证明不等式

不等式的证明问题是高考和各种数学竞赛的热点问题之一.一般的证明方法有:运用均值不等式或柯西不等式;数学归纳法;放缩或裂项化成可求和(积)的数列证明和式(积式)等等.文[1]运用抽屉原理证明一些含有三个变元的不等式,文[2]介绍了一种构造不等式证明数列和式、积式的方法.阅读之后深受启发,本文对某些不等     

利用凸函数的性质证明三类不等式

正不等式的证明是中学数学的重点和难点内容之一,通常在竞赛和高考压轴试题中出现.此类试题往往用数学归纳法、放缩法处理,但技巧性较强,学生在短时间内难以解决.下面介绍一种构造辅助函数,利用凸函数的性质的方法证明三类常见的不等式.1凸函数的定义、     

一题多解求解不等式问题

不等式是中学数学中最重要的内容之一,它作为重要的数学工具知识,渗透在各个数学分支中。不等式内容主要涉及不等式的性质、不等式的证明、不等式的解法等,不等式的证明和应用综合性强,解(证)法灵活,在求解不等式问题时,同学们要尝试一题多解、举一反三。一、证明不等式的方法丰富多样考试大纲要求了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法。此外,证明不等式还有基本不等式法、换元法(三角换元、代数换元)、构造法(构造函数、构造图形)等。     

构造配对式证明不等式

笔者在研究2003年北京市数学竞赛中的一道不等式问题(文中例1)时发现,此题用配对法可以轻松解决.虽然配对法在不等式中的应用有经典的例子(文中例3),但往往是点缀.经过深入研究,笔者认为,构造配对式证明不等式大有可为.我们知道,现实中许多数学问题有着和谐的对称美,如等差数列     

通过构造“零件不等式”证明不等式

不等式的证明已成为各类数学竞赛命题的热门内容之一,证明不等式有很多方法和技巧。本文介绍一种证明对称不等式的方法：先构造若干形式较简单的不等式,再将它们累加（或累积）即得所证不等式．这好比工业上制造复杂机器,先制造出零件,然后将它们组装便成了人们所需要的机器。因此,我们把先构造出的简单不等式称为“零件不等式”,把这种证明不等式的方法称为“构造零件不等式法”。下面,我们通过范例来说明如何用“构造零件不等式法”来证明对称不等式。     

演好用导数证不等式的前奏——构造辅助函数

用导数证明不等式是证不等式的一种重要方法,证明过程往往简捷、明快,特别是证明超越不等式,更是如鱼得水.证明的第一步要考虑如何构造函数,是证明的关键.若函数构造恰当,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式.本文谈谈在用导数证明不等式时,构造辅助函数的几种常用途径.途径一构造差函数直接作差,即构造差函数,是构造辅助函数的最主要方法.例1求证:不等式x-x22<1n(1+x)0,所以y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为x>0,且f(x)在…     

模式化证明不等式

正新课程标准已将不等式证明这块内容纳为理科选修内容(选修4-5),因此大部分同学在高中阶段不能系统的学习和掌握一些重要的不等式(如柯西不等式,排序不等式,伯努利不等式等)以及不等式证明的方法和技巧,但作为高中的数学优秀学生,有志于参加高校的自主选拔考试和各类数学竞赛,而这些考试对不等式的考查要求较高,灵活性较     

巧证不等式

不等式的证明在高考及国内外的数学竞赛中都是比较常见的题型，可谓千姿百态、精彩纷呈。但有些不等式用常见的方法(如比较法、分析法、综合法和反证法等)证明相当繁琐，甚至根本证不出来。因此，恰到好处地利用一定的技巧，是证明较为杂、繁的不等式的关键。为此，这里介绍几种证明不等式的技巧，仅供参考。     

应用构造法证明不等式竞赛题

<正>不等式的证明,凭借其简单的知识基础、独特的解题构思、发散的证明方向、奇特的推理过程成为数学竞赛中永恒的热点之一.构造法,作为技巧性特别强的一种解题方法,主要通过构造适当的变量、等式、函数、图形、数列、模型等辅助手段,使问题转化,揭示出直观和本质的形式,从而有助于问题的解决.构造法与不等式     

三角换元法解题模式——以全国高中数学联赛(预赛)题为例

<正>现行的高中数学课程标准已降低了对不等式的要求,且将不等式证明这一版块纳为理科选修内容(选修4—5).因此,大部分同学在高中阶段未能系统学习和掌握一些重要的不等式(如均值不等式,柯西不等式,排序不等式,伯努利不等式等)以及不等式证明的方法和技巧.一些数学优秀的高中生,有志于参加高校的自主选拔和各类数学竞赛考试,而这些考试中涉及不等式知识的试题较多且考查要求较高.那么,如何解决这个矛盾呢?考虑到三角函数是高中数学的基础内容,也是     

运用构造法妙证不等式

不等式的证明历来是中学数学教学中的难点,又是高考和竞赛命题的热点．这是因为不等式证明问题形式灵活多变,覆盖知识面广,既有一定的难度而又较为灵活,没有固定的模式可循,是培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力,特别是培养学生创造性思维和创新能力的好题材．高中新课程数学教材中常见的不等式证明方法有：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法和反证法等．本文主要探讨不等式的一种技巧证法——构造法．     

例谈不等式的证明方法

综观2007年全国高考数学的37套试卷,不等式证明是考试的热点,尤其是全国Ⅱ卷,出现了第21、第22题这两道不等式证明试题。故而,应熟练掌握一些不等式的证明方法。证明不等式的方法通常有比较法、分析法、综合法、放缩法、数学归纳法、构造法(构造函数,利用函数单调性)、反证法等。当然,很多不等式证明会同时用到几种方法。     

一类条件为abc=1型不等式的证法探究

<正>在《数学通讯》(上半月刊)的问题征解,《中等数学》数学奥林匹克问题,《数学教学》问题与解答以及各级数学竞赛试题中,经常出现abc=1条件的三元不等式证明试题,笔者对含有"abc=1"的条件不等式的证明进行了深入的探究,总结出五种证明不等式的方法.1运用公式直接证明例1(《数学通讯》学生刊问题287)已知正     

例说构造辅助函数证明不等式

近几年来的高考数学试题,考查与高等数学联系密切的内容是一个重要方面.如1997年高考第24题要求学生构造辅助函数证明不等式,由于中学对此重视不够,导致该题得分率极低(江苏省抽样难度为0.07).其实,辅助函数在数学分析的定理、习题的证明中经常使用,如著名的拉格朗日(Lagrange)微分中值定理的证明等.作为中学教师,应该站在较高的观点上俯视中学数学内容,并在高三复习中重视以高等数学为背景的初等数学题目.这对培养学生的数学能力,提高复习     

辅助函数在数学分析中的应用

辅助函数法是转化数学问题的一种重要手段,通过巧妙的数学变换,将一般问题化为特殊问题,将复杂问题化为简单问题,这种论证思想是数学分析重要而常用的数学思维的具体体现。构造辅助函数是应用微分中值定理的基本方法,可以解决诸如定理证明、不等式证明、求近似值等问题,关于如何恰当地构造和选用辅助函数,现就数学分析中的一些应用做初步的探讨,供同行们参考。     

试论对称不等式的八种证明技法

结构和谐均衡 ,字母轮换出现的不等式称为对称不等式 .这类不等式在中学数学中比比皆是 ,尤其是在各级各类数学竞赛中频频出现 .由于其变量多 ,证明时思维指向不明确 ,故而证明难度大 ,不易入手 .本文拟介绍对称不等式的八种证明技法 ,供读者参考 .1　构造构造法是数学解题的重要方法 .由于对称不等式特点明显 ,结构优美 ,因而 ,蕴含着某些丰富的数量及几何关系 .为此 ,可通过题设和结论 ,构造出相应的数学模型 ,使证明简明流畅 ,形象直观 .例 1　设ｋ >0 ,ｘｉ ∈Ｒ (ｉ =1,2 ,… ,ｎ)且ｘ21ｋ ｘ21 ｘ22ｋ ｘ22 … ｘ2 ｎｋ ｘ2 ｎ=ａ …     

用等项匹配法证明分式不等式

近年来,在国内外的数学竞赛和数学问题中,常出现一些高难度的分式不等式的证明问题。常见证法多是利用柯西不等式、切比雪夫不等式等,有的利用特殊的技巧,证明过程多数较繁,极不利于师生的教与学。本文介绍证明这类不等式的一种简便方法—等项匹配法。 等项匹配法是指把待证明的不等式中的某