应用不等式求值(初二、初三)

不少问题从表面上看似乎与不等式(组)无关,但若仔细考查其条件,发现可用不等式(组) 求解．请看五例． 1．利用绝对值的非负性例1 设x,y,a都是实数,且 |x|=1-a,|y|=(1-a)(a-1-a2), 则|x| y a5 1=＿. 解由 |x|≥0,|y|≥0,知道又-a2 a-1=-(a-(1/2))2-(3/4)<0, 所以要使(*)成立,当且仅当a=1,     

集合问题的错解剖析

空集及其性质在集合这一单元中占有特殊的重要位置,我们必须给予重视,否则,就容易造成错误的推断及解题上的失误.下面就一类习题因忽视空集的性质,而产生的错解进行剖析.例1.已知集合A={x|x~2-x-6≤0},B={x|x~2-2x a-2≤0},且B(?)A,求实数a的取值范围.错解:易得A={x|-2≤x≤3},∵B(?)A,又-(-2)/(2×1)=1∈A,∴由二次函数的性质得△=(-2)~2-4×1×(a-2)≥0,(-2)~2-2(-2) a-2≥0),3~2-2×3 a-2≥0,解得-1≤a≤3.即得实数a的取值范围为〔-1,3〕.     

对一道高考数学题解法的探讨及感悟

<正>2012年浙江高考数学(理)第17题:设a∈R,若x>0,均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则a=.我们审题后可以将题目理解成恒成立的问题.一般来说这类题目难度系数比较大,但注意到题中条件,对任意x>0,该不等式恒成立,那么可以尝试用特殊值法解决问题.解(特殊值法):因为当x>0时不等式恒成立,所以不妨取x=1,由(a-2)(-a)≥00≤a≤2,再取x=2,由(2a-3)(-2a+3)≥0.所以a=32.反思:特殊值法简洁合理快捷,是解决选择题和填空题行     

二次根式运算错解剖析

1.概念模糊 ,混淆不清例 1　若 x3 + 2 x2 =- x x+ 2 ,则 x的取值范围是(　　 )。(A) x<0 ;(B) x≥ - 2 ;(C) - 2≤ x≤ 0 ;(D) - 2 相似文献   

指数及指数函数易错题析

数学爱好者2006·12一、忽视隐含条件致误例1化简(1-a)[(a-1)-(2-a)21]21.错解(1-a)[(a-1)-(2-a)21]21=(1-a)(a-1)-(1-a)41=-(-a)41.错解分析错解中忽略了题中有(-a)12,所以忽略了-a≥0即a≤0,则[(a-1)-2]21≠(a-1)-1.正解由(-a)21知-a≥0故a-1<0,因此,(1-a)[(a-1)-(2-a)21]21=(1-a)(a-1)-(1-a)14=(-a)41.二、思维定势致误例2设a>0,a≠1如果函数y=a2x 2ax-1在-1,1]上的最大值为14,求a的值.错解因为y=(ax 1)2-2,所以,y在[-1,1]上单调递增,因此,当x=1时,y取得最大值,a2 2a-1=14,因此,当a=3或a=-5(舍去),所以,a=3.错解分析错解的原因是将ax当成…     

一个等价条件的应用

在不等式证明中一个常用的绝对值不等式|a b|≤|a| |b|可推得如上两个结论: (Ⅰ)|a b|<|a| |b|ab<0, (Ⅱ)|a b|=|a| |b|ab≥0。这两个结论对解一些方程和不等式有事半功倍之效。例1 解方程 (x (2x-1)~(1/2))~(1/2) (x-(2x-1)~(1/2))~(1/2)=2~(1/2) (第一届国际中学生数学竞赛题) 解:将原方程两边乘以2~(1/2)得:(2x-1 2 (2x-1)~(1/2))~(1/2) 1 (2x-1-2 (2x-1)~(1/2))~(1/2) 1=2令y=(2x-1)~(1/2)(y≥0),则原方程可变为: ((y 1)~2)~(1/2) ((y-1)~2)~(1/2)=2即|y 1| |1-y|=2∵(y 1) (1-y)=2,根据(Ⅱ)得:(y 1)(1-y)≥0,∴-1≤y≤1。又y≥0,∴0≤y≤1即0≤(2x-1)~(1/2)≤1解之得1/2≤x≤1。     

数学奥林匹克初中训练题(10)

第一试 一、选择题(每小题7分,共42分) 1.已知实数a满足|1993-a| (a-1994)~(1/2)=a,那么,a-1993~2的值是( )。 (A)1992 (B)1993 (C)1994 (D)1995 2.已知方程(a 1)x~2 (|a 2|-|a-10|)x a=5有两个不同的实数根,则a可以是( )。     

直线与圆典型问题剖析

直线与圆的基础知识是解析几何部分的基石,是解决很多数学问题行之有效的途径.将这部分知识学活、学实十分必要,现举若干典型问题加以剖析,以期对大家有所帮助. 例1已知直线l的倾斜角为α,且-1≤tanα≤1,则α的范围____. 解:因为-1≤tanα≤1,所以又0≤α<π,因此,3/4π≤α<π或0≤α≤π/4. 文华点精:由倾斜角的范围确定出分界线0,是本题的关键,也是容易出错的地方. 例1直线(a+2)x+(1-a)y-3=0与(a-1)x+(2a+3)y+2=0 互相垂直,则a的值为____. 解:A1=a+2,A2=a-1,B1=1-a,B2=2a+3.因为两直线垂直,所以(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,整理得a=±1. 文华点精:此题极易漏解,需分a=1,a≠1两种情况讨论.其实本题     

也谈一类无理函数值域的求法

文[1]中介绍了求函数f(x)=(1/2)(ax b)-(1/2)(cx d)的三种方法,本文将进一步说明,对于此类无理函数,有两种求其值域的通法。 1.利用函数的单调性求函数f(x)=(1/2)(ax b) (1/2)(cx d)的值域。 此法的依据是下面定理: 定理 函数f(x)=(1/2)(ax b)±(1/2)(cx d)(a,b,c,d均为常数,且ac≠0),记g(x)=a*((1/2)(cx d))±c*((1/2)(ax b)),A={x|g(x)≥0},B={x|g(x)≤0},则当时,f(x)在A上是增函数,当时,f(x)在B上是减函数。     

利用配方法解竞赛题

配方法是数学竞赛试题中最常用的解题方法之一 ,以下从几个方面例析配方法在解竞赛题中的运用 .一、通过配方 ,利用“和、差、积”三方的转化解题例 1　 ( 1999年全国初中数学竞赛试题 )已知 1a -| a| =1,那么代数式 1a + | a|的值为 (　　 )( A) 52 .　　　 ( B) - 52 .( C) - 5.( D) 5.解 :由已知 ,可得到 a,1a + | a|都是正数 ,所以 ( 1a- | a| ) 2 =1,1a2 + | a| 2 =3,( 1a + | a| ) 2 =5.∴ 1a + | a| =5,故选 ( D) .例 2　 ( 1998年全国初中数学竞赛试题 )如果方程x2 + px + 1=0 ( p >2 )的两根之差为 1,那么 p等于(　　 )( A) 2 .…     

积分计算的化简

积分的计算有很强的技巧性,有些题目利用一般方法计算很繁琐,甚至有的很难得到正确结果.而恰当地利用被积函数与积分区间的对称性可以使积分计算化繁为简.如此可以达到事半功倍的效果.定理1:设 f(x)在[-a,a]上连续,且为奇函数,则∫_(-a)~af(x)dx=0;若 f(x)在[-a,a]上为偶函数,则∫_(-a)~af(x)dx=2∫_0~af(x)dx.此定理的证明许多教材已经给出,在此省略.注:定理中的函数必须是对称区间上的奇、偶函数,才会有定理的结论.例1:计算 I=∫_-1~1|x|In(x (1 x~2)~(1/2))dx解;因为区间[-1,1]为对称区间,且被积函数 f(x)=|x|In(x (1 x~2)~(1/2))为连续的奇函数,所以由定理1,可得 I=0.     

成人高考数学综合练习题及答案

<正> 代数一、填空: 1、计算:[(-2)~2]~(-(1/2))+2°/(2~(1/2)) -1/(|1-2~(1/2)|)=-(2~(1/2)+1)/2 2、把x~5y-x~3y+2x~2y-xy分解因式为xy(x~2+x-1)(x~2-x+1) 3、已知((2a+b~(-1))~2+|2-a~2|)/(a+2~(1/2))=0,则(a-b)/(a+b)=(3/5) 4、计算1/2lg25+lg2-lg0.1~(1/2)-log_29×log_32=-(1/2) 5、设A={x:|x|<2}, B={x:x~2-4x+3≤0},则A∩B=1≤x<2;A∪B=-23的解集为{x:x>4}∪{x:0相似文献   

考场答题"增加思考量减少演算量"的7个途径

高考答题是能力与时间的角逐 ,能力“到位”还要讲究思路和方法 ,一般在“巧解”上作文章 ,这就要积累平时的解题经验与捕捉他人之“玉” .本文提供 7个途径 ,供取长补短 .1　适时代换 ,减轻负担例 1　设a为实数 ,函数f(x) =x2 |x -a| 1,x∈R .求f(x)的最小值 .解　令 |x -a|=t (t≥ 0 ) ,则f(x) =|(x -a) a|2 |x -a| 1≥|t-|a||2 t 1=t2 -( 2 |a|-1)t a2 1=[t-( |a|-1/ 2 ) ] 2 |a| 3 / 4.①设g(t) =[t -( |a|-1/ 2 ) ] 2 |a| 3 /4.当 |a|-1/ 2≤ 0 ,即 -1/ 2≤a≤ 1/ 2时 ,g(t)在 [0 , ∞ )上递增 ,从而g(t) min=g( 0 )=a2 1.当 …     

完善一道例题的解法

本刊1989年第4期《用辅助问题法解题》一文中的例2及其分析是: 例2 已知|ab|+1=|a|+|6|,求log_(a+1)(b+3)的值。分析 :把已知条件|ab|+1=|a|+|b|转化为(|a|-1)(|b|-1)=0。原题转化为:已知|a|=1,|b|=1,求log_(a+1)(b+3)的值。只要心算就知本题结     

第九届江苏省初中数学竞赛试题及参考答案

一、选择题 1.下列四式中与(a-3)(1/(3-a)~(1/2))相等的是(D)。 (A)(a-3)~(1/2) (B)-(a-3)~(1/2) (C)(3-a)~(1/2) (D)-(3-a)~(1/2) 2.在△ABC中,∠C=Rt∠,AC=4,BC=6,则斜边上的高为(C)。 (A)24/13(13~(1/2)) (B)16/13(13~(1/2)) (C)12/13(13~(1/2)) (D)8/13(13~(1/2))     

构造数轴 巧妙解题

借助数轴可巧解有关问题,现举例如下.一、代数方面1.求最大值例1已知0≤a≤4,那么|a-2|+|3-a|的最大值等于()(A)1(B)5(C)8(D)3解:此题即为在数轴上0≤a≤4的范围内,求出表示数a的点分别到表示数2和数3的点的两个距离之和的最大值.由图1可知,当a=0时,|a-2|=2,|3-a|=3,上述距离之和为最大,最大值为5.故选(B).2.求最小值例2已知x是有理数,则|x+29/251|+|x-100/221|的最小值是.解:构造数轴如图2,其中A、B两点分别表示数-29251和212010.根据绝对值的几何意义,|x+29251|+|x-212001|表示数轴上数x对应的点P到点A和点B的距离之和,易知当P在线段…     

放射思维 重在创新——看特殊值法的奇巧妙效

1用特殊值法求代数式的值例1(“长江杯”竞赛)已知x2 y2=1,z2 w2=1,xz yw=0,则xy zw=.析解:取满足题设条件的最简特殊值:x=1,y=0,z=0,w=1,则xy zw=|x0 0x|=0.例2(南京中考)当a<0时,化简|a2-2a|的结果是().(A)a(B)-a(C)3a(D)-3a析解:由题设a<0,可取a=-1,代入a2-2a得3.再考察各选     

解绝对值方程的几个思路

绝对值是初中数学中的重要概念 .掌握了绝对值概念和一元一次方程知识之后 ,就可解一些比较简单的绝对值方程 ,这是初中数学竞赛中常见题型 .现在我们例举常用方法 ,介绍绝对值方程的解题思路 .一、运用 | x| =a (a为非负数 ) ,则 x =± a例 1　 (第一届“希望杯”初一竞赛题第二试试题 )方程 |1990 x - 1990 |=1990的根是 .解 :方程两边同除以 1990 ,可化简得 :|x - 1|=1,去掉绝对值号 ,可得 x - 1=± 1,∴ x1=2 ,x2 =0 (注意 :这两根都适合 )例 2　 (太原市 1992年初中数学竞赛题 )方程||2 x - 1|- 1|=2的解的个数是 (　　 )( A) 1.　 ( …     

寻找隐含条件 巧解根式问题

在根式问题的解答过程中,常会遇见条件不明显或隐含条件求解题,对这种问题,如果不认真仔细审题,寻求相关的隐含条件,将会造成这样那样的错解或无从着手的困难,以下举说明。例1把(a-1)-a1-1的根号外面的因式移到根号内,则原式等于()·A·1-a;B·a-1;C·-a-1;D·-1-a·错解:(a-1)-a1-1=-(aa--11)2=-(a-1)=1-a故选答案A·分析:本题是公式a2=|a|=a(a≥0)-a(a<0)的理解和逆向应用。即①当a≥0时,有a=a2;②当a<0时,有-a>0,从而有a=-(-a)=-(-a)2=-a2<0,又由二次根式的定义知-a1-1≥0,即得a-1<0这个隐含条件。正解:(a-1)-a1-1=-[-(a-1)]-a1-1=--(a…     

解答二次根式竞赛题的若干方法

纵观近几年的各类初中数学竞赛,与二次根式有关的问题屡见不鲜.为顺利地解答它们,下面举例介绍若干方法.一、定义法例互 在实数范围内,代数式|2～1/(-(x-4)~2)-1|-2的值为()(A)1;(B)2;(C)3;(D)以上答案都不对.(1995年省江苏省初中数学竞赛题)解 由根式的定义知-(X-4)～2≥0.故(X-4)～2≤0.又(X-4)～2≥0 ∴(X-4)～2=0∴原式=||2～(1/(-0-1))|-2|=1.应选A.例2 实数a满足|1992-a|+2～(1/(a-1993)=a,那么a-1992～2的值是()(A)1991;(B)1992;(C)1993;(D)1994.(1992年“希望杯”初二数学邀请赛题)解 注意到a-199≥0,那么a≥1993>1992.∴(a-1992)+2～(1/(a-1993))=a.∴2～(1/(a-1993))=1992.∴a-1993=1992～2.故a-1992～2=1993.应选C.二、平方法