af(x)+b f(x)~(1/2)=c的简捷解法

方程af(x)+f(x)~(1/b)=c,一般用代换法来解。但当a、b、c为整数,a>0时,用观察法来解,显得更为简便,下面介绍这种方法。定理:如果存在平方数m≥0,使 c=am+m~(1/b)则方程af(x)+f(x)~(1/b)=c ①与方程(f(x)-m~(1/2))(f(x)+b/a+m~(1/2)=0同解②其中f(x)为x的解析式。证明:设a是方程①的解,则 af(a)+f(a)~(1/b)=am+m~(1/b)∵ f(x),m≥0,     

方程f(x) 1/f(x)=c 1/c

西南师范大学出版社出版的初中数学试验教材(内地版)代版第二册P、136、1(3)题和实验课本高层次代数第2册P、108、3题都是关于x的方程:x 1/x=a 1/a,这个题目非常好。好在它的构造是倒数型、对称型,所以形式简洁美丽,好在它的解也对称、简明、易记,更好在能推广灵活运用也同样有对称美、简洁美。命题一方程:x 1/x=c 1/c(?)x_1=c,x_2=1/c(证略) 如果将未知数x换为x的函数f(x),则有: 命题二方程f(x) 1(f(x))=c 1/c(?)f(x)=c,f(x)=1/c,(其中x为未知数,f(x)为x的函数) 证明:∵f(x)≠0,c≠0。     

∫+∞af(x)dx收敛与limx→+∞f(x)=0的关系

本文讨论了∫+∞af(x)dx收敛与limx→+∞f(x)=0的关系.首先举出反例说明,一般情况下∫+∞af(x)dx收敛不能推出limx→+∞f(x)=0;其次得到∫+∞af(x)dx收敛可以保证至少存在一列{xn}∞n=1(xn→+∞当n→+∞时),使得limx→+∞f(xn)=0成立;最后证明了如果f(x)一致连续、或单调、或∫+∞af′(x)dx收敛,那么只要∫+∞af(x)dx收敛,就有limx→+∞f(x)=0.     

形如“af(x)+b1/f(x)=c”方程的五种解法

<正>解分式方程的一般思想方法是通过去分母,把分式方程转化为整式方程来求解.但对于一部分较特殊的分式方程,若用一般方法求解,则解题过程比较繁杂,因此,应根据分式方程的结构特点,采用特殊的方法和技巧求解.     

妙用f(x)+n/(f(x))=c+n/c的解(初三)

可以证明:形如f(x) n/f(x)=c n/c(其中f(x)为一个含有x的代数式,c,n是不为零的常数)的方程的解为f(x)=c或f(x)=n/c(本文将此重要结论记为(*)).下面通过数例说明如何妙用f(x) n/f(x)=c n/c的解.     

关于f(x+T)=f(x)的变式教学

变式教学的探索有利于开阔学生的视野 ,活跃和锻炼学生的思维f(X +T) =f(x)的变式教学中总结了五点推广 ,供学生巩固和加深对周期函数的认识和应用。     

满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征及其应用

<正>用图象法表示函数具有直观、形象的优点.在解题中我们经常借助于图象理解问题、解决问题,数形结合的思想方法就是生动的体现.本文笔者试图从函数图象的角度,谈谈满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征,以及它们在解决相关问题中的应用.一、两个命题命题1对于函数f(x),f(f(x))=x的充要条件是f(x)的图象关于直线y=x对称.证明因为f(f(x))=x,所以点(f(x),x)在函数f(x)的图象上;又(x,f(x))也     

满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征及其应用

<正>用图象法表示函数具有直观、形象的优点.在解题中我们经常借助于图象理解问题、解决问题,数形结合的思想方法就是生动的体现.本文笔者试图从函数图象的角度,谈谈满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征,以及它们在解决相关问题中的应用.一、两个命题命题1对于函数f(x),f(f(x))=x的充要条件是f(x)的图象关于直线y=x对称.证明因为f(f(x))=x,所以点(f(x),x)在函数f(x)的图象上;又(x,f(x))也     

也谈函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)

§1 对x和y的一切实数值满足方程 f(x+y)=f(X)+f(y) (1)的连续函数是f(x)=Cx,得到了解当然也就掌握了f(x)的一切性质。这里我们准备从另一途径讨论(1),在不求出(1)的解的条件下,讨论满足方程的连续函数f(x)的一些分析性质,下面将证明:     

函数f(x)=x~(k/x)的性质探究

<正>一、问题的引出戚有建老师在《数学通讯》2012年第10期讨论了函数f(x)=x1x的性质及其应用,最后解决了关于x的方程ax=xa(其中a>0,且a≠1,x>0)的根的个数问题.由此我们不禁联想到如何解决类似的问题:讨论关质.     

有关函数f(x)题型解析

有关函数概念是中学数学的一个重要组成部分,一般是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成。函数f(x)中的“f”就是表示自变量到函数的一种对应关系。下面就能用解析表示的一类函数几种常见题型作初浅的探讨。     

函数g(x)=f(x)/x的单调性

高中数学第四册复习题九的第3题: 求证:如果0x_2/x_1。不难看出,原题等价于: 求证:y=tgx/x(00。若利用教材第50页获得的结论:“若0相似文献   

函数条件f(α+x)=f(α-x),f(x+α)=f(x-α)的应用

通过对函数条件f(α+x)=f(α-x),f(x+α)=f(x-α)的讨论,以结论的形势给出了它们所对应的函数性质,并辅以一定例子说明它们的应用.     

对于函数f(x)=sinx/x的分析

本文就重要函数f(x)=sinx/x讨论它的分析学特征:连续性、可微性、可积性等问题。     

简谈函数f(x)=ax+b/x与f(x)=ax-b/x的本质联系

在高中数学中,我们经常碰到下列两类函数:f(x)=ax+xb与f(x)=ax-xb(a,b∈R+),由于这两类函数在历年高考中经常出现,因此广大师生对它们的性质已经有一个初步的认识(如图1、2).但是绝大多数人认为这两个函数除了定义域和奇偶性外,几乎没有其他相似之处,因此是两个没有什么联系的孤立函数.然而事实并非如此,下面就谈谈本人在这一方面的几点浅见.1它们都有两条渐近线,都是y轴和直线y=ax图1以函数f(x)=ax+xb为例.取其图象上任意一点P(x0,ax0+xb0),它到直线y=ax的距离为d1,到y轴的距离为d2,则d1=|ax0-(ax0+xb0)|a2+1=|x0ba2+1|,d2=|x0|,所以xl0i…     

f(x)=f~(-1)(x)f(x)=x?(高一、高三)

在本刊第3期《用函数单调性解非函数题》一文中,有这样一个结论: 若函数f(x)在区间I上是单调函数且存在反函数,则f(x)=f-1(x)<=>f(x)=x. 下面用它来解两道题. 题1 两抛物线弧y=√7-3x,x=√7-3y的交点有( )个.     

函数y=f(x)的解析表达式的几种求法

画函数的图象、求函数的极值、判断函数的奇偶性、确定函数的单调区间等,一般都要以解析式y=f(x)为基础。因之,求出f(x)是必要的。下面介绍几种求法。一待定系数法例1.已知:f(x)为有理整函数且 f(2x)+f(3x+1)=13x~2+6x-1 求:f(x) 解:设f(x)=ax~2+bx+c 则f(2x)+f(3x+1) =13ax~2+(6a+5b)x+a+b+2c ∵ 13ax~2+(6a+5b)x+(a+b+2c) =13x~2+6x-1比较系数得则f(x)=x~2-1。二换元法例2若:f[f(x)]=(x+1)/(x+2)求:f(x)     

由函数f(x)确定数列x_(n+1)=f(x_n)的敛散性

本文叙述了由函数f(x)的单调性、不动点及数列的初值x_0来确定数列x_(n+1)=f(x_n)的敛散性的方法.     

函数f(x)=lnx/x的性质及其应用

本文就函数f（x）=lnx/x（x〉0）的性质和图像及其应用进行探讨，以供参考．     

不带解析式的函数f(x)的解题思路

现行高中数学教材对不带解析式的函数f(x)的有关问题没有涉及,但在众多的资料中累累用到。由于f(x)没有具体的表达式,所以学生对这类问题往往感到无从下手。下面就这类问题的常见形式及解答基本思路谈谈个人的看法,供读者参考。一利用函数的定义域这类问题适用于已知函数的定义域, 例1。(1)定义在[-2、2]上的奇函数f(x)是减函数且满足条件f(1+a)+f(a)<0,求a的取值范围,(2)若奇函数f(x)在[1、7]上递减,该函数在[-5、